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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Métropole}}
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\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole juin 1998~\decofourright}}}

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans tout l'exercice, $A$ et $B$ étant deux évènements, $P(A)$ désigne la
probabilité de $A$ ; $P(B / A)$ la probabilité de $B$ sachant que $A$ est 
réalisé.

\begin{enumerate}
\item Le nombre de clients se présentant en cinq minutes dans
une station-service est une variable aléatoire $X$ dont on donne la loi de
probabilité :
 
\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$i$					&	0	&	1 	&2\\ \hline
$p_{i} = P(X = i)$	&0,1	&	0,5	&0,4\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Définir et représenter graphiquement la fonction de répartition 
de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette station-service, la probabilité qu'un client achète de l'essence est $0,7$ ; celle qu'il achète du gazole est $0,3$. Son choix est
indépendant de celui des autres clients. On considère les évènements suivants :

$C_{1}$ \og en cinq minutes, un seul client se présente \fg{} ;

$C_{2}$ \og en cinq minutes, deux clients se présentent \fg{} ;

$E$ : \og en cinq minutes, un seul client achète de l'essence \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P\left(C_{1}~\cap~  E\right)$.
		\item Montrer que $P\left(E/C_{2}\right) = 0,42$ et calculer $P\left(C_{2} \cap  E\right)$.
		\item En déduire la probabilité qu'en cinq minutes un seul client achète de
l'essence.
	\end{enumerate}
\item Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de clients achetant de l'essence en cinq minutes ; déterminer la loi de probabilité de $Y$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
\Ouv.

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation :
\[(1)~~\dfrac{z - 2}{z - 1} = z\]
 
On donnera le module et un argument de chaque solution.
\item Résoudre dans $\C$ l'équation :

\[(2)\qquad \dfrac{z-2}{z - 1} = \text{i}.\]

On donnera la solution sous forme algébrique.
\item Soit $M$,~ A et B les points d'affixes respectives :
$z$, 1 et 2.
On suppose que $M$ est distinct des points A et B.
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter géométriquement le module et un argument de $\dfrac{z - 2}
{z - 1}$.
		\item Retrouver géométriquement la solution de l'équation (2).
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer, à l'aide d'une interprétation géométrique,
que toute solution de l'équation dans $\C$ : 

\[\left(\dfrac{z - 2}{z - 1}\right)^n = \text{i},\]

où $n$ désigne un entier naturel non nul donné, a pour partie réelle	
$\dfrac{3}{2}$.
		\item Résoudre alors dans $\C$ l'équation 

\[(3)~~\left(\dfrac{z - 2}{z - 1}\right)^2 = \text{i}.\]

On cherchera les solutions sous forme algébrique.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2  \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans le plan orienté, une unité étant choisie, on considère un rectangle ABCD
tel que AB = $\sqrt{2}$, AD = 1 ; $(\vect{\text{AB}},\: \vect
{\text{AD}})$ est un angle droit direct ; I désigne le
milieu de [AB].

\textbf{A.} Soit $\mathcal{E}$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que 
$M\text{D}^2 - M\text{B}^2 = 1$.

\begin{enumerate}
\item Vérifier que les points C et I appartiennent à $\mathcal{E}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer et construire l'ensemble 
$\mathcal{E}$.
		\item En déduire que les droites (BD) et (CI) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B.} Le plan est rapporté au repère orthonormé direct (A ;~$\vect{u} 
,~\vect{v})$ avec $\vect{u} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\vect{\text{AB}}$
et $\vect{v} = \vect{\text{AD}}$.

Soit S une similitude directe qui, au point $M$ d'affixe $z$, associe le point
 $M'$ d'affixe $z'$, telle que $z' = az + b, a$ et $b$ étant des nombres
 complexes, avec $a \neq 0$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les nombres $a$ et $b$ pour que  S(D) = C et S(C) = B.
\item Soit T la similitude directe qui, au point 
$M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que 

\[z' = -~\dfrac{\text{i}\sqrt{2}}{2}z + \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 
\text{i}.\]

Déterminer le rapport et l'angle de T.
\item Montrer que la similitude T transforme B en I.
\item En déduire une autre justification de l'orthogonalité
des droites (BD) et (CI).
\item Montrer que le centre $\Omega$ de la similitude T est le
point d'intersection des droites (BD) et (CI).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

Les tracés des courbes seront faits dans un plan rapporté à un repère orthonormal
\Oij{} (unité : 2~cm).

On rappelle qu'une fonction $f$ est majorée par une fonction $g$ (ce qui signifie aussi que $g$ est minorée par $f$) sur un intervalle $I$ si et seulement si, pour tout $x$ appartenant à $I,\:f(x) < g (x)$. 

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $[0~;~+~\infty[$ par :

\[f(x) = \ln (1 + x) ~\text{et}~g(x) = \dfrac{2x}{1 + x}.\]

On notera $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ et $\Gamma$ celle de $g$.
 
On se propose de démontrer que $f$ est minorée par $g$ sur $[0~;~+ \infty[$.

Soit $h$ la fonction définie sur $[0~;~+~\infty[$ par $h(x) =  f(x) - 
g(x)$.

\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de $h$ sur $[0~;~+~\infty[$~;  calculer 
$h(0)$.

(L'étude de la limite de $h$ en $+ ~\infty$ n'est pas demandée.)

\item En déduire que pour tout réel $x$ positif ou nul,

\[(1) \qquad \dfrac{2x}{x + 2} <  \ln (1 + x).\]

\item Construire dans le même repère les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ et
 montrer qu'elles admettent en 0 une même tangente $D$ que l'on tracera.
 (On justifiera rapidement le tracé de ces courbes.)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

$k$ désignant un réel strictement positif, on se propose de déterminer toutes
 les fonctions linéaires $x \mapsto~kx$ , majorant la fonction $f~:~ x 
 \mapsto \ln (1 + x)$ sur $[0~;~+~\infty[$.
 
Soit $f_k$ la fonction définie sur $[0~;~+~\infty[$ par $f_k(x) = \ln(1 + 
x) - kx$.
 
\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de $f_1$, définie sur $[0~;~+~\infty[$ par
$f_1(x) = \ln(1 + x) - x$.
\item Étudier la limite de $f$, en $+ \infty[$ et donner la valeur de $f_1$ en 
0.
\item Montrer que pour tout réel $x$ positif ou nul

(2) \qquad	$\ln(1 + x) \leqslant x.$
\item En déduire que si $k \geqslant 1$ alors : pour tout $x \geqslant 0,~f(x) \leqslant kx$.
\item Le réel $k$ vérifie les conditions : ~$0 < k < 1$ .

Montrer que la dérivée de $f_k$ s'annule pour $x = \dfrac{1 - k}{k}$ et étudier
 le sens de variation de $f_k$. (L'étude de la limite de $f_k$ en $+ ~\infty$
n'est pas demandée.)
\item En déduire les valeurs de $k$ strictement positives telles que pour tout

$ x \geqslant 0,~f(x) < kx.$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer

\[\text{I} = \displaystyle\int_0^1 \ln(1 + x)\: \text{d}x.\]

(On remarquera éventuellement que : $\dfrac{x}{1 + x} = 1 - \dfrac{1}{1 + x}$.

En déduire le	calcul	de	J =$\displaystyle\int_0^1 (x - \ln(1 + x)\:  \mathrm{d}x$
puis de K = $\displaystyle\int_0^1 \left[\ln(1 + x) - \dfrac{2x}{x + 2}\right]\:
 \mathrm{d}x$.
 
(Pour le calcul de K on pourra vérifier que : $\dfrac{2x}{x + 2} = 2 - 
\dfrac{4}{2 + x}$.)

Interpréter géométriquement les valeurs des intégrales J et K en utilisant les
courbes $\mathcal{C},~ \Gamma$ et la droite D obtenues dans la partie 
\textbf{A}.
\item Soit $u$ la fonction définie sur [0~;~1] de la façon suivante :

\[u(0) = 1 ~\text{et~si}~x \neq 0,~u(x) = \dfrac{\ln (1 + x)}{x}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $u$ est dérivable sur ]0~;~1].
		\item On admet que $u$ est dérivable sur [0~;~1 ] et on pose :

\[\text{L} = \displaystyle\int_0^1 u(x) \:  \text{d}x.\]

En utilisant les inégalités (1) et (2) obtenues dans les parties \textbf{A} et \textbf{B}, montrer que :

\[\displaystyle\int_0^1 \dfrac{2}{x + 2} \:  \text{d}x < L < 1.\]
 
En déduire une valeur approchée de $L$ à $10^{-1}$ près.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}