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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise}  
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{juin 2013}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~ Baccalauréat STG Mercatique  Centres étrangers \decofourright\\ juin 2013}}


\vspace{0,25cm}

\emph{Calculatrice autorisée, conformément à la circulaire \no 99-186 du 16 novembre 1999.\\
Le candidat doit traiter les quatre exercices.\\
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète
ou non fructueuse, qu'il aura développée.\\
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.}

L'annexe doit impérativement être rendue avec la copie.

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une absence de réponse ou pour une réponse inexacte.}

\medskip

On s'intéresse à l'évolution de la population d'une ville. En 2010, la population de cette ville était de \np{20000}~habitants.

On travaille avec l'hypothèse d'une baisse de 3\,\% par an.

On note $u_n$ la population de cette ville en $(2010 + n)$ avec cette hypothèse. On a ainsi $u_0 = \np{20000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La population de cette ville en 2011 était de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \np{19400} habitants &\textbf{b.~~} \np{19700} habitants& \textbf{c.~~} \np{20600} habitants &\textbf{d.~~} 600 habitants
\end{tabularx}
\medskip
\item On peut dire que la suite $\left(u_n\right)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} géométrique de raison 1,03&\textbf{b.~~} arithmétique de raison $- 3$\\
\textbf{c.~~} géométrique de raison 0,97&\textbf{d.~~} arithmétique de raison $- \dfrac{3}{100}$\end{tabularx}
\medskip
\item La population de cette ville sera inférieure à \np{10000~}habitants à partir de l'année :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 2022& \textbf{b.~~} 2027 &\textbf{c.~~} 2033& \textbf{d.~~} 2050
\end{tabularx}
\medskip
\item En 2012, la population de la ville était en réalité de \np{19169}~habitants. La baisse moyenne annuelle entre 2010 et 2012 a été de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} environ 4,2\,\% &\textbf{b.~~} environ 2,1\,\% &\textbf{c.~~} environ 0,4\,\% &\textbf{d.~~} environ 0,21\,\%
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\begin{center}
\emph{Dans cet exercice, les probabilités seront données sous forme décimale.}
\end{center}

Un boulanger vend des bonbons en vrac. Ceux-ci sont dans un bocal qui contient 60\,\% de bonbons
à la banane et 40\,\% de bonbons au citron. 

Parmi les bonbons à la banane, 35\,\% sont acidulés et parmi ceux au citron, 75\,\% sont acidulés.

Un client choisit au hasard un bonbon dans le bocal et le mange. On suppose que tous les bonbons
ont la même probabilité d'être choisis.

On note :

$B$ l'évènement: « le bonbon choisi est à la banane »,

$C$ l'évènement: « le bonbon choisi est au citron »,

$A$ l'évènement: « le bonbon choisi est acidulé ».

On note $\overline{A}$ l'évènement contraire de l'évènement $A$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre pondéré, donné en annexe, qui résume la situation.
\item Calculer la probabilité que le client mange un bonbon à la banane acidulé.
\item Démontrer que la probabilité de l'évènement $A$ est : $p(A) = 0,51$.
\item Sachant que le client mange un bonbon acidulé, quelle est la probabilité qu'il soit à la banane ?

Arrondir au centième.
\item Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,1~;~ 4] dont on a représenté ci-dessous la courbe $(L)$ dans un repère orthogonal. La courbe $(L)$ coupe l'axe des abscisses aux points A et C.

Elle passe par les points S et B d'abscisses respectives 1 et 2.

\begin{center}
\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.4,-1.1)(4.5,1.7)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridcolor=cyan,subgridcolor=cyan,gridwidth=0.2pt,subgridwidth=0.2pt](-1,-2)(5,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.2,-1.1)(4.5,1.7)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(4.5,1.7)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](0.158,0)(1,1)(2,0.69)(3.146,0)
\uput[ur](0.158,0){A} \uput[u](1,1){S}\uput[ur](2,0.69){B}\uput[ur](3.146,0){C}
\uput[ur](3.75,-0.48){$(L)$}
\uput[d](4.4,0){$x$}
\uput[l](0,1.6){$f(x)$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{4}{x ln x sub 2 add}
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(0.5,1)(1.5,1)
\end{pspicture*}
\end{center}

\textbf{Partie A : lectures graphiques}

\medskip

Déterminer graphiquement :

\begin{enumerate}
\item $f(1)$ et $f'(1)$.
\item  Les signes de $f(2)$ et de $f'(2)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0,1~;~4] par 

\[f(x) = \ln (x) - x + 2.\]

\begin{enumerate}
\item Soit R le point de coordonnées $(\text{e}~;~3 - \text{e})$. Justifier que le point R appartient à la courbe (L).
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0,1~;~4] et l'on note $f'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que : $f'(x) = \dfrac{1 - x}{x}$.
		\item Étudier le signe de $f'$ sur l'intervalle [0,1~;~4].
		\item En déduire le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [0,1~;~4].
	\end{enumerate}
\item On sait que l'abscisse de A, notée $a$, est environ égale à 0,158 et que celle de C, notée $c$, est environ égale à 3,146.
	
En déduire une solution de l'énigme suivante :

\og \emph{Je suis un nombre réel. Je n'ai pas le même signe que mon logarithme népérien ($\ln$).\\
La différence entre moi-même et mon logarithme népérien est égale à 2. Qui suis-je ?} \fg
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne, en millions de m$^3$, l'évolution de la production d'eau fournie aux parisiens entre 2002 et 2011. Les cellules des lignes 4 et 5 sont au format \ pourcentage arrondi à 0,1\,\% \fg.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\scriptsize}m{1.5cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
&A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K\\ \hline
1&Année&2002&2003&2004&2005&2006&2007&2008&2009&2010&2011\\ \hline
2&Rang de l'année&1&2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ \hline
3&Production totale annuelle en millions de m$^3\: (y_i)$&249 & 246 &225 &217 &217 &208 &200 &199 &201 &197\\ \hline
4&Taux d'évolution par rapport à l'année précédente&&$-1,2$\,\%&-8,5\,\%& $-3,6$\,\% & 0,0\,\% & $-4,2$\,\%& $-3,9$\,\%& $-0,5$\,\%& $1,0$\,\%& $-2,0$\,\%\\ \hline
5&Taux d'évolution par  rapport à 2002&& $-1,2$\,\% &$-9,6$\,\% &$-12,9$\,\%& $-12,9$\,\%& $-16,5$\,\%& $-19,7$\,\%& $-20,1$\,\%& $-19,3$\,\% & $-20,9$\,\%\\ \hline
\multicolumn{12}{r}{\scriptsize \emph{Source : Mairie de Paris, Direction de la propreté de l'eau, 2011.}}\\
\end{tabularx}
\end{center}

On s'intéresse à l'évolution de la production totale annuelle d'eau.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier par un calcul que le taux d'évolution, en pourcentage, entre 2002 et 2003 est environ de $- 1,2$\,\%.
		\item Donner une formule qui, entrée dans la cellule D4, permet par recopie vers la droite d'afficher le contenu des cellules E4 à K4.
	\end{enumerate}
\item Donner une formule qui, entrée dans la cellule D5, permet par recopie vers la droite d'afficher le contenu des cellules E5 à K5 pour obtenir les taux d'évolution par rapport à l'année 2002.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une représentation du nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ est donnée dans un repère orthogonal en \textbf{annexe}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $(D)$ d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis à $10^{- 3}$.
\item Pour la suite, on prendra comme équation de la droite $(D)$ \::\: $y = - 6x + 248$.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $(D)$ dans le repère figurant en annexe.
		\item On estime que la tendance à la baisse observée dans la production de l'eau va encore se poursuivre durant les cinq prochaines années.
		
À l'aide de l'ajustement affine précédent, calculer la production totale annuelle d'eau que l'on
peut estimer pour 2015.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE}
\vspace{0,5cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2}

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$B$}\taput{\ldots}}
	{\TR{$A$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$C$}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$A$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 4}

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.08cm}
\begin{pspicture*}(-1,-10)(15,110)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=6,subgriddots=6](0,0)(15,110)
\multido{\n=0.0+0.5}{31}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,110)}
\multido{\n=0+5}{23}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(15,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=150,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(15,110)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4,linecolor=blue](1,99)(2,96)(3,75)(4,67)(5,67)(6,58)(7,50)(8,49)(9,51)(10,47)
\uput[d](14.8,0){$x$}
\uput[l](0,108){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}