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%Merci à Nicolas Lince pour le sujet
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{17 juin 2025}}
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\thispagestyle{empty}


\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole 17 juin 2025~\decofourright\\[7pt] Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

On compte quatre groupes sanguins dans l'espèce humaine: A, B, AB et O.

Chaque groupe sanguin peut présenter un facteur rhésus. Lorsqu'il est présent, on dit que le rhésus est positif, sinon on dit qu'il est négatif.

Au sein de la population française, on sait que:


\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item 45\,\% des individus appartiennent au groupe A, et parmi eux 85\,\% sont de rhésus positif;
\item 10\,\% des individus appartiennent au groupe B, et parmi eux 84\,\% sont de rhésus positif;
\item 3\,\% des individus appartiennent au groupe AB, et parmi eux 82\,\% sont de rhésus positif.
\end{itemize}
\smallskip

On choisit au hasard une personne dans la population française. 

On désigne par:

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $A$ l'évènement \og La personne choisie est de groupe sanguin A \fg{} ;
\item $B$ l'évènement \og La personne choisie est de groupe sanguin B \fg ;
\item $AB$ l'évènement \og La personne choisie est de groupe sanguin AB \fg ; 
\item $O$ l'évènement \og La personne choisie est de groupe sanguin O \fg ;
\item $R$ l'évènement \og La personne choisie a un facteur rhésus positif \fg.
\end{itemize}

\medskip

Pour un évènement quelconque $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$ et $p(E)$ la probabilité de $E$.

\medskip

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Recopier l'arbre ci-contre en complétant les dix pointillés.
\item Montrer que $p(B \cap R) = 0,084$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item On précise que $p(R) = \np{0,8397}$.

Montrer que $p_O(R) = 0,83$.
\item On dit qu'un individu est \og donneur universel \fg lorsque son sang peut être transfusé à toute personne sans risque d'incompatibilité.

Le groupe O de rhésus négatif est le seul vérifiant cette caractéristique.

Montrer que la probabilité qu'un individu choisi au hasard dans la population française soit donneur universel est de \np{0,0714}.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.42\linewidth}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A~$}\taput{\ldots}}
	{\TR{$R$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{R}$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$B~$}\taput{\ldots}}
	{\TR{$R$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{R}$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$AB~$}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$R$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{R}$} \tbput{\ldots}
	}
	\pstree{\TR{$O~$}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$R$} \taput{}
	\TR{$\overline{R}$} \tbput{}
	}
}
\end{center}
\end{minipage}

%%% question 5

\begin{enumerate}[start=5]
\item Lors d'une collecte de sang, on choisit un échantillon de $100$ personnes dans la population d'une ville française. Cette population est suffisamment grande pour assimiler ce choix à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de $100$~personnes
associe le nombre de donneurs universels dans cet échantillon.

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
		\item Déterminer à $10^{-3}$ près la probabilité qu'il y ait au plus 7 donneurs universels
dans cet échantillon.
		\item Montrer que l'espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$ est égale à $7,14$ et
que sa variance $V(X)$ est égale à $6,63$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item Lors de la semaine nationale du don du sang, une collecte de sang est organisée dans $N$ villes françaises choisies au hasard numérotées 1,2, 3, ... , $N$ où $N$ est un entier naturel non nul.

On considère la variable aléatoire $X_1$ qui à chaque échantillon de 100 personnes de la ville 1 associe le nombre de donneurs universels dans cet échantillon.

On définit de la même manière les variables aléatoires $X_2$ pour la ville 2, ... , $X_N$ pour la ville $N$.

On suppose que ces variables aléatoires sont indépendantes et qu'elles admettent la même espérance égale à $7,14$ et la même variance égale à $6,63$.

On considère la variable aléatoire $M_N = \dfrac{X_1 + X_2 + \ldots + X_N}{N}$.
	\begin{enumerate}
		\item Que représente la variable aléatoire $M_N$ dans le contexte de l'exercice ?
		\item Calculer l'espérance $E(M_N)$.
		\item On désigne par $V(M_N)$ la variance de la variable aléatoire $M_N$.

Montrer que $V(M_N) = \dfrac{6,63}{N}$.
		\item Déterminer la plus petite valeur de $N$ pour laquelle l'inégalité de Bienaymé- Tchebychev permet d'affirmer que:

\[P(7 < M_N < 7,28) \geqslant 0,95.\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. On admet~ qu'elle est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa
fonction dérivée seconde.

\smallskip

Dans un repère orthogonal, on a tracé ci-dessous:

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item la courbe représentative de $f$, notée $\mathcal{C}_f$ sur l'intervalle ]0~;~3] ; 
\item la droite $T_{\text{A}}$,tangente à $\mathcal{C}_f$ au point A(1~;~2) ;
\item la droite $T_{\text{B}}$ tangente à $\mathcal{C}_f$ au point B(e~;~e).
\end{itemize}

\smallskip

On précise par ailleurs que la tangente $T_{\text{A}}$ passe par le point C(3~;~0).

\begin{center}
\psset{xunit=3.75cm,yunit=3.75cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.2,-1.05)(3.3,3.3)
\uput[ur](1,2){A}\uput[ul](2.71828,2.71828){B}\uput[ur](3,0){C}\uput[ur](-0.2,3.15){$T_{\text{A}}$}
\uput[d](2.71828,0){e}\uput[l](0,2.71828){e}\uput[d](0.2,0){0,2}
\uput[dr](3,3.2){$T_{\text{B}}$}\uput[u](0.2,2.45){\red $\mathcal{C}_f$}
\multido{\n=0.0+0.2}{17}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,-1)(\n,3.3)}
\multido{\n=-1+1}{5}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(3.3,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(3.3,3.3)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(1,1)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.01}{3.3}{x}
\psplotTangent[linewidth=1pt]{1}{3}{x ln dup mul 2 mul x ln 3 mul sub 2 add x mul}
\psplotTangent[linewidth=1pt]{2.71828}{4}{x ln dup mul 2 mul x ln 3 mul sub 2 add x mul}
\psdots(1,2)(2.71828,2.71828)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](0,2.7128)(2.71828,2.71828)(2.71828,0)
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchsep=8pt,hatchcolor=blue,linecolor=blue]{(\psline(2.71828,2.71828)(1,-0.718)(1,2)\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.71828}{x ln dup mul 2 mul x ln 3 mul sub 2 add x mul}}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.35pt,linecolor=red]{0.0025}{3.3}{x ln dup mul 2 mul x ln 3 mul sub 2 add x mul}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{center}\textbf{Partie A :} Lectures graphiques\end{center}

On répondra aux questions suivantes en les justifiant à l'aide du graphique.

\medskip
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre dérivé $f'(1)$.
\item Combien de solutions l'équation $f'(x) = 0$ admet-elle dans l'intervalle ]0~;~3] ?
\item Quel est le signe de $f''(0,2)$ ?
\end{enumerate}


\begin{center}\textbf{Partie B :} étude de la fonction $f$\end{center}

On admet dans cette partie que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par

\[f(x) = x[2(\ln x)^2 - 3\ln x + 2 ]\]

où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $2X^2- 3X + 2 = 0$.

En déduire que $\mathcal{C}_f$ ne coupe pas l'axe des abscisses.
\item Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$.

On admettra que la limite de $f$ en 0 est égale à 0.
\item On admet que pour tout $x$ appartenant à $]0~;~ +\infty[$, \: $f'(x) = 2(\ln x)^2 + \ln x - 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ appartenant à $]0~;~ +\infty[$,\: $f''(x)= \dfrac 1x(4\ln x + 1)$.
		\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ et préciser la valeur exacte de l'abscisse du point d'inflexion.
		\item Montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de la tangente $T_{\text{B}}$ sur l'intervalle $]1~;~ +\infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie C :} Calcul d'aire\end{center}

\begin{enumerate}
\item Justifier que la tangente $T_{\text{B}}$ a pour équation réduite $y = 2x - \e$.


\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que

\[\displaystyle\int_1^{\e} x\ln x\, \text{d}x = \dfrac{\e^2 + 1}{4}.\]
\item On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine hachuré sur la figure, délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, la tangente $T_{\text{B}}$, et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \e$.

On admet que $\displaystyle\int_1^{\e} x(\ln x)^2\,\text{d}x = \dfrac{\e^2 - 1}{4}$.

En déduire la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en unité d'aire.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip

On munit l'espace d'un repère orthonormé \Oijk.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère les points A$(-1~;~0~;~5)$ et B$(3~;~2~;~-1)$.

\textbf{Affirmation 1 :} Une représentation paramétrique de la droite (AB) est 
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& \phantom{-}3 - 2t\\
y &=&\phantom{-}2- \phantom{2}t\\
z&=&- 1 + 3t
\end{array}\right.\:\text{avec } t \in \R.\]

\textbf{Affirmation 2 :}  Le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}5\\ -2\\1\end{pmatrix}$  est normal au plan (OAB).

\item  On considère :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item la droite $d$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}x &=&15+ \phantom{-}k\\y &=& \phantom{1}8 - \phantom{-}k\\z &=& - 6 + 2k \end{array}\right.$ avec \:$k\in \R$ ;

\item la droite $d'$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}x&=&1 + 4s\\ y &=& 2 + 4s\\z&=&1- 6s \end{array}\right.$ avec $s \in \R$.
\end{itemize}

\textbf{Affirmation 3 :} Les droites $d$ et $d'$ ne sont pas coplanaires.
\item On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x- y + z + 1 = 0$.

\textbf{Affirmation 4 :}  La distance du point C$(2~;~-1~;~2)$ au plan $\mathcal{P}$ est égale à $2\sqrt 3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

Une équipe de biologistes étudie l'évolution de la superficie recouverte par une algue marine appelée posidonie, sur le fond de la baie de l'Alycastre, près de l'île de Porquerolles.

La zone étudiée est d'une superficie totale de 20 hectares (ha), et au premier juillet 2024, la posidonie recouvrait 1 ha de cette zone.

\begin{center}\textbf{Partie A :} étude d'un modèle discret\end{center}

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la superficie de la zone, en hectare, recouverte
par la posidonie au premier juillet de l'année $2024 + n$. Ainsi, $u_0 = 1$.

\smallskip

Une étude conduite sur cette superficie a permis d'établir que pour tout entier
naturel $n$ :

\[u_{n+1} = - 0,02u_n^2 + 1,3u_n.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la superficie que devrait recouvrir la posidonie au premier juillet 2025 d'après ce modèle.
\item On note $h$ la fonction définie sur [0~;~20] par 

\[h(x) = - 0,02x^2 + 1,3x.\]

On admet que $h$ est croissante sur [0~;~20].
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n,\: 1 \leqslant u_n  \leqslant u_{n+1} \leqslant 20$.
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge. On note $L$ sa limite.
		\item Justifier que $L = 15$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.65\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item Les biologistes souhaitent savoir au bout de combien de temps la surface recouverte par la
posidonie dépassera les 14 hectares.
	\begin{enumerate}
		\item Sans aucun calcul, justifier que, d'après ce modèle, cela se produira.
		\item Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'en fin d'exécution, il affiche la réponse à la question des biologistes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\begin{Verbatim}[frame=single]
def seuil():
  n=0
  u= 1
  while ...... :
    n=......
    u=......
  return n
\end{Verbatim}
\end{minipage}

\begin{center} \textbf{Partie B :} étude d'un modèle continu\end{center}

On souhaite décrire la superficie de la zone étudiée recouverte par la posidonie au cours du temps avec un modèle continu.

Dans ce modèle, pour une durée $t$, en année, écoulée à partir du premier juillet 2024, la superficie de la zone étudiée recouverte par la posidonie est donnée par
$f(t)$, où $f$ est une fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ vérifiant :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $f(0) = 1$ ;
\item $f$ ne s'annule pas sur $[0~;~ +\infty[$ ;
\item $f$ est dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ ;
\item $f$ est solution sur $[0~;~ +\infty[$ de l'équation différentielle 

\[(E_1) : \quad y' =0,02y(15 - y).\]

\end{itemize}

On admet qu'une telle fonction $f$ existe; le but de cette partie est d'en déterminer une expression.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(t) = \dfrac{1}{f(t)}$.

Montrer que $g$ est solution de l'équation différentielle 

\[(E_2) : \quad y' = - 0,3y + 0,02.\]

\item Donner les solutions de l'équation différentielle $(E_2)$.
\item En déduire que pour tout $t \in  [0~;~ +\infty[$ :

\[f(t)=  \dfrac{15}{14\e^{-0,3t} + 1}.\]

\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ l'inéquation $f(t) > 14$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{document}