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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.} 
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2001}}   
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\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole juin 2001~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Soient trois points de l'espace A, B, C non alignés et soit $k$ un réel de 
l'intervalle $[- 1~;~1]$.

On note $G_k$ le barycentre du système $\left\{\left(\text{A},~k^2+ 1\right),~ (\text{B},~k),~ (\text{C},~- k)\right\}$. 
\begin{enumerate} 
\item Représenter les points A, B, C, le milieu I de [BC] et construire 
les points G$_1$ et G$_{-1}$. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout réel $k$ de l'intervalle $[- 1~;~1]$, on a l'égalité : 
\[\vect{\text{A}G_k} = - \dfrac{k}{k^2 + 1}\vect{\text{BC}}.\] 
		\item Établir le tableau de variation de la fonction $f$ définie sur $[- 1~;~1]$ par
		 
\[f(x) = - \dfrac{x}{x^ 2 + 1}.\]
 
		\item En déduire l'ensemble des points $G_{k}$ quand $k$ décrit l'intervalle $[- 1~;~1]$.		 
	\end{enumerate}
Pour la suite de l'exercice, aucune figure n'est demandée sur la copie.
  
\item Déterminer l'ensemble E des points $M$ de l'espace tels que : 
\[\left\|2\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} - 
\vect{M\text{C}}\right\| = \left\|2\vect{M\text{A}} - 
\vect{M\text{B}} + \vect{M\text{C}}\right\|.\]
\item Déterminer l'ensemble F des points $M$ de l'espace tels que : 
\[\left\|2\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} - 
\vect{M\text{C}}\right\| = \left\|2\vect{M\text{A}} - 
\vect{M\text{B}} - \vect{M\text{C}}\right\|.\] 
\item L'espace est maintenant rapporté à un repère orthonormal 
\Oijk. Les points A, B, C ont pour coordonnées respectives 
(0~;~0~;~2), $(- 1~;~2~;~1)$ et 

$(- 1~;~2~;~5)$. Le point $G_{k}$ et les ensembles 
(E) et (F) sont définis comme ci-dessus. 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les coordonnées de G$_1$ et G$_{-1}$.
		 
Montrer que les ensembles (E) et (F) sont sécants. 
		\item Calculer le rayon du cercle $\mathcal{C}$ intersection de (E) et 
(F). 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct 
\Ouv{} [unité graphique : 6 cm].

On considère la suite $(\alpha_n)$ de nombres réels définie par 
$\alpha_0 = \dfrac{\pi}{2}$ et, pour  tout entier naturel $n,~\alpha_{n + 1} = \alpha_n + \dfrac{5\pi}{6}$. Pour tout entier naturel $n$, on appelle $M_n$ le point du cercle $\mathcal{C}$ de 
centre O et de rayon 1 tel que l'angle $\left(\vect{u},~\vect{\text{O}M_n} \right)$ ait pour mesure $\alpha_n$.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Placer les douze points M$_0$,~ M$_1$,~ M$_2$,~$\ldots$, M$_{11}$. 
\item On appelle $z_n$ l'affixe de $M_n$. Montrer que, pour tout entier 
naturel $n$, on a l'égalité : $z_n = 
\text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{5n\pi}{12}\right)}$. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer, pour tout entier naturel $n$, les propriétés 
suivantes : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] les points $M_n$ et $M_{n + 6}$ sont diamétralement opposés ; 
\item[$\bullet~$] les points $M_{n}$ et $M_{n+12}$ sont confondus. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité $z_{n + 4} = \text{e}^{-\frac{2\text{i}\pi}{3}}z_n$.
 
En déduire que la distance $M_n M_{n + 4}$ vaut $\sqrt{3}$ puis que le triangle

$M_nM_{n+ 4}M_{n +8}$, est équilatéral.
 
On admettra que tous les triangles équilatéraux ayant pour sommets des 
points $M_n$ sont de la forme $M_nM_{n+ 4}M_{n +8}$. 
	\end{enumerate} 
\item Douze cartons indiscernables au toucher, marqués M$_0$,~M$_1$, 
~M$_2$,~$\cdots$,~M$_{11}$ sont disposés dans une urne. On tire au hasard et 
simultanément trois cartons de l'urne. Calculer la probabilité d'obtenir 
les trois sommets d'un triangle équilatéral. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} [unité graphique : 6~cm].
 
On considère la transformation $f$ du plan qui, à tout point $M$ d'affixe 
$z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par $z' = 
z\text{e}^{\frac{5\text{i}\pi}{6}}$ et on définit une 
suite de points ($M_n$) de la manière suivante :
 
M$_0$ a pour affixe $z_{0} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$ et, pour tout entier naturel $n,~ M_{n+1} = f(M_{n})$.

On appelle $z_{n}$ l'affixe de $M_n$. 
\begin{enumerate} 
\item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de 
$f$.

Placer les points M$_{0}$,~ M$_{1}$,~ M$_{2}$. 
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a l'égalité 

\[z_{n} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{5n\pi}{6}\right)}\]
 
(on pourra utiliser un raisonnement par récurrence).
\item Soient deux entiers $n$ et $p$ tels que $n$ soit supérieur ou 
égal à $p$. Montrer que deux points $M _{n}$ et $M_{p}$ sont confondus si, et 
seulement si, $(n - p)$ est multiple de 12. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item On considère l'équation (E) : $12x - 5y = 3$ où $x$ 
et $y$ sont des entiers relatifs. Après avoir vérifié que le couple (4 ; 9) 
est solution, résoudre l'équation (E).
		\item En déduire l'ensemble des entiers naturels $n$ 
tels que $M_{n}$ appartienne à la demi-droite [O$x$). 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. 
Toutes les courbes demandées seront représentées sur un même graphique 
(unité graphique : 2~cm). 

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
$\star~$Étude d'une fonction $f$

\medskip

On définit la fonction $f$ sur $]0~;~+~\infty[$ par : 

\[f(x) = \ln \left(\sqrt{1 + x} - 1\right).\] 

\begin{enumerate} 
\item Calculer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$.
\item Étudier le sens de variation de $f$ sur $]0~;~+~\infty[$. 
\item Soit $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans 
\Ouv~ et A le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse 3.
 
Calculer l'ordonnée de A. Soit B le point de $\mathcal{C}$ 
d'abscisse $\dfrac{5}{4}$, P le projeté orthogonal de B sur l'axe 
$\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$ et H le projeté orthogonal de B sur 
l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{v}\right)$.

Déterminer les valeurs exactes des coordonnées des points B, P et H. Placer 
les points A, B, P et H dans le repère \Ouv~ et représenter la courbe $(\mathcal{C})$. 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,25cm}
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
$\star~$Utilisation d'une rotation

\medskip

Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. À tout 
point $M$ du plan d'affixe $z$ la rotation $r$ associe le point $M'$ 
d'affixe $z'$. 
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner $z'$ en fonction de $z$.
		 
On note $z = x + \text{i}y$ et $z' = x' + \text{i}y'~ (x,~ y,~ x',~ y'$ réels). 
Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$, puis exprimer $x$ 
et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$. 
		\item Déterminer les coordonnées des points A$'$, B$'$ et P$'$ images respectives des points A, B et P par la rotation $r$. 
	\end{enumerate} 
\item On appelle $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = 
\text{e}^{- 2x} + 2\text{e}^{- x}$ et 
($\Gamma$) sa courbe représentative dans le repère \Ouv. 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que lorsqu'un point $M$ appartient à $(\mathcal{C})$, son image $M'$ par $r$ appartient à ($\Gamma$).\\ 
On admet que lorsque le point $M$ décrit $(\mathcal{C})$, le point $M'$ décrit ($\Gamma$).
		\item Tracer sur le graphique précédent les points A$'$, B$'$, P$'$ et la courbe ($\Gamma$) (l'étude des variations de $g$ n'est pas demandée). 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm} 
\textbf{Partie C}

$\star~$Calcul d'intégrales

\medskip

On rappelle que l'image d'un domaine plan par une rotation est un domaine plan de même aire. 
\begin{enumerate} 
\item Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{\ln 2} g(x)\: 
\text{d}x$.

Interpréter graphiquement cette intégrale. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer, en unités d'aire, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine 
plan $\mathcal{D}$ limité par les segments [AO], [OH] et [HB] et l'arc de courbe 
$(\mathcal{C})$ d'extrémités B et A. 
		\item On pose I = $\displaystyle\int_{\frac{5}{4}}^3 \ln \left(\sqrt{1 + x} - 1\right)\:\text{d}x.$\\ 
Trouver une relation entre $\mathcal{A}$ et I puis en déduire la valeur exacte de l'intégrale I. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\end{document}