\documentclass[10pt]{article} 
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} 
\usepackage[normalem]{ulem} 
\usepackage{fancybox} 
\usepackage{ulem} 
\usepackage{dcolumn} 
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}} 
\usepackage[dvips]{color} 
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} 
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm} 
\setlength{\textheight}{23,5cm} 
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} 
\newcommand{\N}{\mathbb{N}} 
\newcommand{\D}{\mathbb{D}} 
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} 
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} 
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} 
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} 
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} 
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} 
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} 
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% 
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% 
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% 
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% 
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} 
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} 
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} 
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} 
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} 
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} 
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} 
\setlength{\voffset}{-1,5cm} 
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel} 
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2000}}  
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole septembre 2000~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textsl{Les résultats seront donnés à} $10^{-3}$ \textsl{près}.

\medskip

Une entreprise confie à une société de sondage par téléphone une enquête sur la qualité de ses produits. Chaque enquêteur a une liste de personnes à contacter.

Lors du premier appel téléphonique, la probabilité pour que le correspondant soit absent est 0,4. Sachant que le correspondant est présent, la probabilité pour qu'il accepte de répondre au questionnaire est $0,2$.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item On note : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]A$_1$ l'évènement \og la personne est absente lors du premier appel \fg{} ; 
\item[$\bullet~$]R$_1$ l'évènement \og la personne accepte de répondre au questionnaire 
lors du premier appel \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Quelle est la probabilité de R$_1$ ? 
\item Lorsqu'une personne est absente lors du premier appel, on lui 
téléphone une seconde fois, à une heure différente, et, alors, la probabilité pour qu'elle soit absente est $0,3$. Et, sachant qu'elle est présente lors du second appel, la probabilité pour qu'elle accepte de répondre au questionnaire est encore $0,2$.

Si une personne est absente lors du second appel, on ne tente plus de la 
contacter.
 
On note :
 
A$_2$ l'évènement \og la personne est absente lors du second appel \fg{} ;
 
R$_2$ l'évènement \og la personne accepte de répondre au questionnaire lors du 
second appel \fg{} ;
 
R l'évènement \og la personne accepte de répondre au questionnaire \fg.

Montrer que la probabilité de R est $0,176$. (On pourra utiliser un arbre). 
\item Sachant qu'une personne a accepté de répondre au questionnaire, 
quelle est la probabilité pour que la réponse ait eu lieu lors du premier 
appel ? 
\item On suppose que les sondages auprès des personnes d'une même liste 
sont indépendants. Un enquêteur a une liste de $20$~personnes à contacter. Quelle est la probabilité pour qu'une au moins des $20$ personnes de la liste accepte de répondre au questionnaire ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire} (hors-programme en 2002)
 
\medskip

\parbox[c]{0.35\textwidth}{Les questions \textbf{1)} et \textbf{2)} 
sont indépendantes.\\ 
L'espace est muni d'un repère orthonormal direct.\\ 
ABCDEFGH est le cube représenté ci-contre. Son arête $a$ pour longueur 1, le 
centre de la face ABCD est le point I.\\ 
Aucune figure n'est demandée sur la copie.}\hfill 
\parbox[c]{0.55\textwidth}{ 
\begin{pspicture}(7,6) 
\psline(0,0)(4.2,0)(5.8,1.3)(5.8,5.5)(4.2,4.2)(4.2,0) 
\psline(5.8,5.5)(1.6,5.5)(0,4.2)(0,0) 
\psline(0,4.2)(4.2,4.2) 
\psline[linestyle=dashed](1.6,5.5)(1.6,1.3)(5.8,1.3)(0,0)(1.6,1.3) 
\psline[linestyle=dashed](1.6,1.3)(4.2,0) 
\uput[l](0,0){A} \uput[r](4.2,0){B} \uput[r](5.8,1.3){C} \uput[ul](1.6,1.3){D} 
\uput[l](0,4.2){E} \uput[r](4.2,4.2){F} \uput[ur](5.8,5.5){G} 
\uput[ul](1.6,5.5){H} \uput[u](2.9,0.7){I} 
\end{pspicture}}

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer $\vect{\text{BC}} \wedge \vect{\text{BA}}$. 
		\item En déduire l'ensemble ($\mathcal{E}$) des points $M$ de l'espace 
tels que : 

\[\left(\vect{\text{BC}} \wedge \vect{\text{BA}}\right) \wedge \vect{\text{B}M} = \vect{0}.\]
 
	\item Déterminer l'ensemble ($\mathcal{F}$) des points $M$ de l'espace 
tels que : 

\[\left(\vect{\text{BC}} \wedge \vect{\text{BA}}\right) \cdot \vect{\text{B}M} = 0.\]
 
	\end{enumerate} 
\item On appelle P le barycentre du système $\{ (\text{A},\: 2) ; (\text{C},\: - 1)\}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que P est le symétrique de C par rapport à A. 
		\item Soit ($\mathcal{G}$) l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que : 
\[\left\| 2 \vect{M\text{A}} - \vect{M\text{C}}\right\| = 
\left\|-~\vect{M\text{A}} + 2 \vect{M\text{B}} - 
\vect{M\text{C}}\right\|.\] 
Déterminer l'ensemble ($\mathcal{G}$).

Montrer que le point A appartient à l'ensemble ($\mathcal{G}$). 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct 
\Ouv. L'unité graphique est 4~cm. 
On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $a,~ b,~ c$ et $d$ telles que :
 
\[a = 1, \quad b = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}, \quad c = 
\dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}, \quad d = 
\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}.\]
 
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner la forme exponentielle de $c$ et la forme algébrique
de $d$. 
		\item Représenter les points A, B, C et D.
		\item Montrer que le quadrilatère OACB est un losange. 
	\end{enumerate} 
\item Montrer que les points D, A et C sont alignés.
\item Déterminer l'angle $\theta$ et le rapport $k$ de la similitude 
directe $s$ de centre O qui transforme A en C. 
\item On note F et G les images par la similitude directe $s$ des points D 
et C respectivement. Montrer que les points F, C et G sont alignés. 
\item Déterminer l'affixe $f$ du point F. 
\item On considère la transformation $\varphi$ qui à tout point $M$, 
d'affixe $Z$, associe le point $M'$ d'affixe $Z'$ telle que : 
\[Z' = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} \overline{Z} + \dfrac{3}{2} + \text{i} 
\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\] 
Pour toute droite $\delta$ du plan, on notera $\sigma_{\delta}$ la symétrie orthogonale d'axe $\delta$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $r$ la transformation qui à tout point $M_1$ d'affixe $Z_1$, 
associe le point $M'_1$ d'affixe $Z'_1$, telle que : 

\[Z'_1 = \text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}Z_1 + \dfrac{3}{2} + \text{i} 
\dfrac{\sqrt{3}}{2}\] 

Déterminer la nature de $r$ et donner ses éléments caractéristiques. 
		\item En utilisant les nombres complexes, donner une mesure de 
l'angle $\left(\vect{\text{AO}},~\vect{\text{AB}}\right)$, 
puis déterminer la droite $\Delta$ telle que :
 
\[r = \sigma_{\Delta} \circ \sigma_{(\text{AO})}.\] 

		\item Montrer que $\varphi = r \circ \sigma_{(\text{AO})}$. En déduire la nature de $\varphi$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}
 
\textbf{Enseignement obligatoire et de spécialité}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij. L'unité graphique est 4~cm sur l'axe des abscisses et 2~cm sur l'axe des ordonnées.
 
\bigskip 

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = (2 + \cos x)\text{e}^{1-x}.\]

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le repère 
\Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout $x$ de $\R$ : $f(x) > 0$. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout $x$ de $\R~ :~ \sqrt{2} \cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos x + \sin x$.
		\item En déduire que, pour tout $x$ de $\R~ :~ 2 + \cos x + \sin x > 0$. 
		\item Montrer que $f$ est strictement décroissante sur $\R$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout $x$ de $\R~ :~ 
\text{e}^{1-x} \leqslant f(x) \leqslant3 \text{e}^{1-x}$. 
		\item En déduire les limites de $f$ en $+\infty$ et en $- \infty$.
		\item Interpréter géométriquement le résultat obtenu lors du calcul de la limite de $f$ en $+ \infty$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, sur l'intervalle $[0~;~\pi$], l'équation $f(x) = 3$ admet une solution unique $\alpha$. 
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. 
	\end{enumerate} 
\item Représenter la courbe $(\mathcal{C})$ sur [0~;~4]. 
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On veut calculer l'aire, $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Montrer que : $\mathcal{A} = 2\text{e} - 2 + 
\displaystyle\int_0^1 \cos t \text{e}^{ 1-t}\: \text{d}t$.
\item On pose I = $\displaystyle\int_0^1 \cos t~ \text{e}^{1 -t}\: \text{d}t$ et J = $\displaystyle\int_0^1 \sin t~ \text{e}^{1 - t}\: \text{d}t$.
	\begin{enumerate} 
		\item À l'aide de deux intégrations par parties, montrer que : I =  $- \cos 1 + \text{e} - $ J et J =  $- \sin 1 + 1$. 
\item En déduire la valeur de I. 
\end{enumerate} 
\item Déterminer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en unités d'aire, puis donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ à $10^{-2}$ près par défaut. 
\end{enumerate} 

\bigskip 

\textbf{Partie C}

\medskip
 
Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par : $h (x) = - 1 - \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}$. 
\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la fonction $h$ admet des primitives sur $\R$. 
		\item Calculer la primitive $H$ de la fonction $h$, qui prend en 0 la valeur $(1 + \ln 3)$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer $\ln \left(f(x)\right)$ pour tout $x$ de $\R$. 
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $H$.
		\item Déterminer le tableau de variations de $H$. 
	\end{enumerate} 
\item On appelle $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction définie 
sur $\R$ par 

$x \mapsto 1 - x + \ln (2 + \cos x)$. (On ne demande pas de 
représenter $\Gamma$). 

On appelle $\Delta$ la droite d'équation $y = - x + 1$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier la position relative de $\Gamma$ et de $\Delta$. 
		\item Déterminer les abscisses des points communs à $\Gamma$ et 
$\Delta$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Établir une équation de la tangente T à $\Gamma$ au point d'abscisse $0$.
		\item Étudier la position relative de $\Gamma$ et T. 
	\end{enumerate} 
\item Montrer que la courbe $\Gamma$ est contenue dans une bande du plan 
limitée par deux droites parallèles dont on donnera des équations. 
\end{enumerate} 
\end{document}