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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{22 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Métropole~\decofourright\\22 juin 2011}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

\medskip

Trois annexes sont à rendre impérativement avec la copie

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Chaque résultat sera exprimé sous forme d'entier ou de fraction irréductible. Un arbre est donné en annexe $1$. Il est   à compléter et à rendre avec la copie.}

\medskip
 
On utilise dans cet exercice un jeu de 32 cartes et un jeu de 52 cartes.

Chacun de ces deux jeux de cartes contient un seul valet de trèfle.
 
On lance un dé non truqué à 6 faces. Les faces de ce dé sont numérotées par les nombres 1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5 et 6.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Si le résultat est impair, on tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. 
\item[$\bullet~~$] Si le résultat est 2 ou 4, on tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.
\item[$\bullet~~$] Si le résultat est 6, on tire (en regardant les cartes) systématiquement le valet de trèfle du jeu de 32 cartes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[] A : l'évènement \og Le résultat affiché par le dé est impair \fg. 
\item[] B : l'évènement \og Le résultat affiché par le dé est 2 ou 4 \fg. 
\item[] C : l'évènement \og Le résultat affiché par le dé est 6 \fg. 
\item[] V : l'évènement \og La carte tirée est le valet de trèfle \fg. 
\item[] $\overline{\text{V}}$ : l'évènement contraire de V.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités des évènements A, B et C. 
\item Compléter par les probabilités qui conviennent, l'arbre donné en \textbf{annexe 1}. 
\item Montrer que la  probabilité de l'évènement V 	est égale à $\dfrac{233}{\np{1248}}$. 
\item On a tiré le valet de trèfle. Quelle est la probabilité que l'on ait obtenu 6 lors du lancer du dé ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 } \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Un repère est donné en annexe. La figure est à compléter et à rendre avec la copie.}

\medskip 

On cherche une fonction dont l'allure de la courbe représentative dans un repère orthonormé prend la forme d'une rampe d'escalier.

\medskip
 
Soit $F$ une fonction définie sur l'intervalle [0~;~3] et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère.
 
On souhaite que la fonction $F$ remplisse les cinq conditions suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] (1) Le point D de coordonnées (0~;~4) est un point de la courbe $\mathcal{C}$. 
\item[] (2) La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point D passe par le point E de coordonnées $\left(2~;~\dfrac{5}{2}\right)$.
\item[] (3) $F$ est décroissante sur l'intervalle [0~;~3]. 
\item[] (4) $\mathcal{C}$ passe par le point B de coordonnées (3~;~0). 
\item[] (5) La tangente (T) à $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $3$ est l'axe des abscisses. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite (DE) sur le graphique donné en \textbf{annexe 2}. 
		\item Démontrer que la droite (DE) a pour équation $y = - \dfrac{3}{4}x + 4$. 
		\item Sur le même graphique de l'annexe 2, tracer le dessin d'une courbe représentative d'une fonction $F$ vérifiant les cinq conditions imposées. 
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~3] par : $f(x) = 5 + \dfrac{1}{4}(x - 4)\text{e}^x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(0)$. La condition (1) est-elle vérifiée ? 
		\item Démontrer que la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie par $f'(x) =  \dfrac{1}{4}(x - 3)\text{e}^x$ pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~3J. 
		\item Calculer $f'(0)$. La condition (2) est-elle vérifiée ? Justifier précisément la  réponse. 
		\item La condition (3) est-elle vérifiée ? Justifier précisément la réponse. 
		\item La courbe représentative de $f$ correspond-elle au problème posé, autrement dit les  conditions (1) à (5) sont-elles vérifiées ? Justifier précisément la réponse.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Dans tout cet exercice, les nombres s'écrivent en base 10.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le nombre $n$ est un entier naturel. Que signifie $n$ est congru à 3 modulo 10 ? 
\item Démontrer que 347 est congru à 7 modulo 10. 

\medskip

On admet dans la suite de cet exercice que tout entier naturel $n$ est congru à son chiffre des unités modulo $10$. 

\item On considère l'algorithme suivant : 

\medskip

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.3}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{l |X}
\multicolumn{1}{l}{Entrée :}&$n$  un entier naturel.\\ 
\multicolumn{1}{l}{Initialisation : }& Donner à $u$ la valeur initiale $n$.\\ 
Traitement :& Tant que $u \geqslant  10$\\
& \hspace{1.25cm}Affecter à $u$ la valeur $u  - 10$.\\ 
\multicolumn{1}{l}{Sortie :}& Afficher $u$.\\
\end{tabularx}

\medskip

\end{center} 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la valeur affichée en sortie par cet algorithme pour $n =  11$ ? 
		\item Quelle est la valeur affichée en sortie par cet algorithme pour $n  = 35$ ? 
		\item Pour un entier naturel $n$ quelconque, quel est le nombre entier naturel affiché en sortie par cet algorithme ? 
	\end{enumerate}
\item \textbf{Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\smallskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le chiffre des unités de $11^{\np{2011}}$. 
		\item Déterminer le chiffre des unités de $9^{\np{2011}}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Un dessin est donné en annexe. Il est à compléter et à rendre avec la copie. Les traits de constructions devront  apparaître clairement.}

\smallskip
 
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(10,6)
\psframe(0,0)(6.4,3.5)%ABFE
\psline(6.4,0)(9.4,1.8)(9.4,5.3)(6.4,3.5)%BCGF
\psline(9.4,5.3)(3.1,5.3)(0,3.5)%GHE
\psline(7.85,0.85)(7.85,4.35)%IJ
\psline(1.45,0.85)(1.45,4.35)%KL
\psline(0,0)(3.1,1.8)(9.4,1.8)%ADC
\psline(3.1,1.8)(3.1,5.3)%DH
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](6.4,0){B} \uput[r](9.4,1.8){C} \uput[dr](3,1.8){D} 
\uput[ul](0,3.5){E} \uput[dr](6.4,3.5){F} \uput[ur](9.4,5.3){G} \uput[ul](3,5.3){H}
\uput[d](7.85,0.85){I} \uput[u](7.85,4.35){J} \uput[d](1.45,0.85){K} \uput[u](1.45,4.35){L}
\end{pspicture}
\end{center}

On considère une maquette de décor de théâtre de base rectangulaire ABCD posée sur un sol horizontal. Le point I est le milieu du segment [BC] et le point K celui du segment [AD].

\medskip
 
Six poteaux de même longueur [AE], [BF], [CG],  [DH], [IJ] et [KL] soutiennent le toit rectangulaire EFGH de cette maquette. Ils sont verticaux au sol.

\medskip
 
Les longueurs AB et EF sont égales, ainsi que les longueurs BC et FG.
 
La figure ci-dessus représente cette maquette en perspective parallèle.

\medskip 

Les images des points A, B, C, \ldots   dans la représentation en perspective centrale seront notées avec des lettres minuscules : a, b, c, \ldots

\smallskip
  
Sur la figure en annexe 3 sont tracés les segments [ab] et [ad] représentant en perspective centrale les côtés [AB] et [AD] de la maquette ainsi que la ligne d'horizon $\Delta$. La droite (ab) est parallèle à la ligne d'horizon. La face ABFE se trouve dans un plan frontal. 

\begin{enumerate}
\item Justifier que les droites (ad) et (bc) ont le même point de fuite w. Placer w sur la figure de l'\textbf{annexe 3}. 
\item Placer le point c représentant le point C. 
\item On désigne par O le centre du rectangle ABCD. Il s'agit du point où devra se trouver l'acteur pour être placé au centre de la scène. Construire le centre o  image du point O. 
\item Placer les points k et i représentant respectivement K et I. 
\item Sachant que la longueur des poteaux est la moitié de la longueur AB, représenter les six poteaux dans cette perspective centrale. 
\item Finir la représentation de la maquette. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1 - à rendre impérativement avec la copie}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 1}
\end{flushleft}

\vspace{3cm}

\pstree[treemode=R]{\TR{}}{
\pstree{\TR{A}}{
\TR{V}
\TR{$\overline{\text{V}}$}
}
\pstree{\TR{B}}{
\TR{V}
\TR{$\overline{\text{V}}$}
}
\pstree{\TR{C}}{
\TR{V}
\TR{$\overline{\text{V}}$}
}
}
\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe 2 - à rendre impérativement avec la copie}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 2}
\end{flushleft}

\vspace{3cm}

\psset{unit=2.75cm}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(4.333,4.333)
\psaxes[linewidth=1.5pt,arrowsize=2pt 5]{->}(0,0)(4.33,4.33)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=6,gridcolor=lightgray,subgridgridcolor=lightgray](0,0)(4.333,4.333)
\uput[d](4.3,0){$x$}\uput[l](0,4.3){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}
\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 3 - à rendre impérativement avec la copie}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 4}
\end{flushleft}

\vspace{3cm}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(13,10)
\psline(10.3,2)(2.2,2)(4.2,4.2)
\psline(0.8,8.3)(13,8.3)
\uput[d](10.3,2){b}\uput[dl](2.2,2){a}\uput[ul](4.2,4.2){d}
\uput[u](13,8.3){$\Delta$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}