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%Tapuscrit : François Couloignier 
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\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small 22 juin 2012}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small 22 juin 2012}
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\rfoot{\small  22 juin 2012}
\cfoot{\thepage}
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%\thispagestyle{empty}
\everymath{\displaystyle}
\renewcommand{\labelitemi}{\textbullet}

\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L
Métropole 22 juin 2012~\decofourright}}
\end{center}

\textbf{Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute
trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, la clarté et
la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans
l'appréciation des copies.} 

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}\label{exo1}\bigskip

\medskip

Un club a 100 adhérents. Leur répartition est décrite dans le
tableau suivant ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabular}{|*3{c|}}
\hline
~              & Hommes & Femmes \\ \hline
Marié(e)s ~    & 48     & 27     \\ \hline
Célibataires ~ & 12     & 13     \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}\bigskip

On choisit un adhérent au hasard.

On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item \textbf{H} l'évènement : \og l'adhérent choisi est un homme \fg{} ;
\item \textbf{F} l'évènement : \og l'adhérent choisi est une femme \fg{} ;
\item \textbf{M} l'évènement : \og l'adhérent choisi est marié \fg{} ;
\item \textbf{C} l'évènement : \og l'adhérent choisi est célibataire \fg.
\end{itemize}\medskip

\textbf{Dans cet exercice, on donnera les valeurs exactes de chaque
probabilité.}

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'évènement \textbf{F} ainsi que
celle de l'évènement \textbf{M}.
\item Déterminer la probabilité que l'adhérent choisi soit marié
sachant que c'est une femme.

Les évènements \textbf{F} et \textbf{M} sont-ils indépendants ?
Justifier la réponse.
\item Déterminer la probabilité que l'adhérent choisi soit un homme
sachant qu'il est célibataire.
\end{enumerate}
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}\label{exo2}\bigskip

\emph{\textbf{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même
incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte
dans l'évaluation.}
}\bigskip

Soient $f$, $g$ et $h$ trois fonctions définies sur $[0~;~+\infty[$ par :
\[ f(x) = \frac{1}{2}(x + 1)- \ln(x + 1) ~ , \hspace{2cm} 
g(x)= 0,5\,\text{e}^{-x} ~ , \hspace{2cm}
h(x) = \frac{1}{2x + 2} \]

On note $(C_f)$, $(C_g)$ et $(C_h)$ les courbes représentatives de $f$,
$g$ et $h$ dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij

On note $f\,^\prime$ la fonction dérivée de $f$.
\begin{enumerate}
\item Soit A le point de coordonnées $\left( 0~;~\frac 12 \right)$ dans
le repère \Oij. Démontrer que le point A est commun aux trois courbes
$(C_f)$, $(C_g)$ et $(C_h)$.
\item Démontrer que pour tout nombre réel $x$, $f\,^\prime (x) =
\frac{x - 1}{2(x + 1)}$
\item Démontrer que les 3 courbes $(C_f)$, $(C_g)$ et $(C_h)$ admettent
la même tangente au point A.
\item Démontrer qu'une seule des trois fonctions $f$, $g$ et $h$ n'est
pas décroissante sur $[0\,;+\infty[$
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}\label{exo3}
\bigskip

Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $u(n)$ le nombre entier
naturel qui s'écrit dans le système décimal avec $n$ chiffres tous
égaux à 1.

Par exemple $u(3)=111$.
\begin{enumerate}
\item Existe-t-il un entier $n$ tel que $u(n)$ soit divisible par 2 ?
Justifier la réponse.
\item Donner une condition nécessaire et suffisante sur $n$ pour que le
nombre entier $u(n)$ soit divisible par 3.\medskip

\textbf{Dans toute la suite de l'exercice on s'intéresse au problème
suivant : \og Trouver des entiers naturels non nuls \boldmath $n$ tels que
$u(n)$ soit divisible pa $n+1$.~\fg}\medskip

\item Montrer que 6 est une solution de ce problème.
\item On considère l'algorithme suivant :\bigskip


\tt{
\begin{tabular}{lll}
 Entrée         &:& $n$ un entier naturel non nul \\
 Initialisation &:& A = 0 , U = 0 et D = 1\\
 Traitement     &:& tant que A < $n$ :\\
                & &
                 \begin{tabular}{c|l}
                  ~ & affecter à A la valeur A + 1 ;\\
                    & affecter à U la valeur 10 $\times$ U + 1;\\
                    & affecter à D la valeur D + 1;\\
                    & affecter à R la valeur du reste de\\
                    & la division de U par D ;\\
                    & Si R = 0 alors afficher U , D et \og OUI \fg.\\
                 \end{tabular}
\end{tabular}
}\bigskip

Donner les affichages pour $n$ = 10. Interpréter les affichages de cet
algorithme relativement au problème posé.                  
\end{enumerate}
\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}\label{exo4}\bigskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-3)(5,3)
\pnode(0,0){I}	\pnode(-5,-2.5){A}	\pnode(2.5,0|A){B}
\psRelNode(I)(A){-1}{C}
\psRelNode(I)(B){-1}{D}
\psRelNode(I)(A){0.75}{A1}
\psRelNode(I)(B){0.75}{B1}
\psRelNode(I)(C){0.75}{C1}
\psRelNode(I)(D){0.75}{D1}

\pnode(A|0,0.5){M}
\pnode(I|0,1.5){P}

\pspolygon[linewidth=1.3pt](A)(B)(C)(D)
\pspolygon(A1)(B1)(C1)(D1)
\psline[linewidth=1.5pt](A)(M)
\psline[linewidth=1.5pt](I)(P)
\psline[linestyle=dashed](A)(C)
\psline[linestyle=dashed](B)(D)

\uput[210](A){A}	\uput[-60](B){B}	\uput[60](C){C}	\uput[120](D){D}
\uput[150](A1){A$_1$}	\uput[0](B1){B$_1$}	\uput[100](C1){C$_1$}	\uput[180](D1){D$_1$}
\uput[-90](I){I}	\uput[0](P){P}	\uput[90](M){M}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

Le dessin ci-dessus représente, en perspective parallèle, un terrain
ABCD qui a la forme d'un carré de centre I.

A l'intérieur de ce terrain, A$_1$B$_1$C$_1$D$_1$ est une aire de jeu
dont la forme est celle d'un carré. Celui-ci a pour centre I et ses bords
sont parallèles à ceux du carré ABCD.

Les segments [IP] et [AM] représentent deux piquets plantés
verticalement, la hauteur de [AM] étant le double de celle de
[IP].\bigskip

\textbf{\emph{Un dessin est donné en annexe. Il est à compléter au
fur et à mesure de la résolution de l'exercice et à rendre avec la
coipie. Les candidats sont invités à laisser apparents les traits de
construction.}}\bigskip

\textbf{Le dessin en annexe} est une représentation en perspective
centrale du terrain ABCD dans laquelle le plan (ABM) est frontal.

Les points a, b, c, d, m et b$_1$ représentent respectivement les points
A, B, C, D,      M et B$_1$.\bigskip

\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\alph{enumi}}}
\begin{enumerate}
\item La ligne ligne d'horizon (h) est parallèle à la droite (ab).
Compléter cette représentation en perspective centrale par le point w,
point de fuite principal, la ligne d'horizon (h), ainsi que les 2 points de
distance w$_1$ et w$_2$.
\item Construire les points i, a$_1$, c$_1$ et d$_1$ représentant les
points I, A$_1$, C$_1$ ,D$_1$ puis représenter le piquet [IP].
\end{enumerate}\bigskip

\vfill
\textbf{Annexe - Exercice 4} (à compléter et à rendre
avec la copie)

\begin{pspicture}(-2,-1)(16,15)
\pnode(0,0){a}	\pnode(0,5){m}	\pnode(10,0){b}	\pnode(3.7,6.5){d}	\pnode(8.4,6.5){c}
\psdots[dotscale=0.5](9,1)
\uput[dr](9,1){b$_{1}$}
\pspolygon(a)(b)(c)(d)
\psline(a)(m)
\uput[210](a){a}	\uput[-45](b){b}	\uput[60](c){c}	\uput[120](d){d}	\uput[90](m){m}

%\psset{linecolor=gray}
%\psIntersectionPoint(a)(d)(b)(c){w}
%\psRelLine(d)(w){1.05}{v}	
%\psRelLine(c)(w){1.05}{v}
%\psParallelLine(a)(b)(w){1}{v}
%\psParallelLine(a)(b)(w){-1}{v}
%\psIntersectionPoint(a)(c)(w)(v){w1}
%\psIntersectionPoint(b)(d)(w)(v){w2}
%\psRelLine(c)(w2){1.05}{v}	
%\psRelLine(d)(w1){1.05}{v}
\end{pspicture}
\end{document}