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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\lfoot{\small Métropole--La Réunion}
\rfoot{\small 17 septembre 2009}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Métropole--La Réunion~\decofourright\\17 septembre 2010}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un groupe de chercheurs étudie l'élimination d'un médicament dans le sang. Pour cela, on a injecté ce médicament par intraveineuse à un patient volontaire. On a fait une première mesure à un instant que l'on appelle instant initial. À partir de cet instant initial on a mesuré pendant 24 heures la concentration en gramme par litre $\left(\text{g.L}^{-1}\right)$ de médicament restant dans le sang du patient. Pour les 12~premières heures, on a ainsi obtenu la courbe suivante :

\bigskip

\psset{xunit=0.7cm,yunit=7cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(16,1.3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=0.2,comma=true]{->}(0,0)(-1,-0.1)(16,1.25)
\multido{\n=0+1}{17}{\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,1.2)}
\multido{\n=0.0+0.1}{13}{\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed,linecolor=orange](0,\n)(16,\n)}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0}{12}{0.5 x mul 1.2 add 2.71828 0.4 x mul exp div}
\uput[d](14,0.02){$t$ le temps en heure}
\rput(4.5,1.25){La concentration en gramme par litre $\left(\text{g.L}^{-1}\right)$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On répondra aux questions du 1. par simple lecture graphique. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est, en $\left(\text{g.L}^{-1}\right)$, la concentration du produit dans le sang du patient à l'instant initial? 
		\item Que devient cette concentration au bout de 2 heures? 
		\item Pour que la personne ait le droit de conduire, il faut que la concentration de médicament dans le sang soit inférieure à $0,4~\left(\text{g.L}^{-1}\right)$. À partir de combien de temps après l'instant initial la personne peut-elle alors prendre le volant?
	\end{enumerate} 
\item On admet que l'on peut modéliser cette situation par la fonction $f$. Si $t$ mesure le temps en heure, la concentration $f(t)$ à l'instant $t$ est donnée par la formule : 

\[f(t) = (0,5t + 1,2)\text{e}^{-0,4t},~ \text{pour tout}~ t~ \text{élément de}~ [0~;~24].\]
 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant ce modèle, retrouver les résultats des deux questions 1. a. et 1. b. 
		\item On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$.
		 
Vérifier que, pour tout $t$ de [0~;~24], $f'(t) = (- 0,2 t + 0,02)\text{e}^{-0,4t}$. 
		\item La fonction $f$ est-elle décroissante sur [0~;~24] ? Justifier. 
		\item En utilisant ce modèle et à l'aide de la calculatrice, déterminer à partir de combien d'heures après l'instant initial, la concentration devient inférieure à $0,06~\left(\text{g.L}^{-1}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

On s'est aperçu que 35\,\% des personnes qui entraient dans un magasin de chaussures étaient des hommes. D'autre part, parmi les personnes qui entrent dans ce magasin, 40\,\% des femmes et 55\,\% des hommes ont fait au moins un achat.

\medskip
 
On interroge au hasard une personne à la sortie du magasin.

\medskip
 
On note $A$ l'évènement : \og la personne interrogée a fait au moins un achat \fg{} et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.
 
On note $F$ l'évènement : \og la personne interrogée est une femme \fg{} et $\overline{F}$ évènement contraire de $F$.
 
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter sur la copie l'arbre de probabilité donné ci-dessous.

\medskip
\psset{nodesep=1.75pt}
\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$F$}}
	  { 
		  \TR{$A$}
		  \TR{$\overline{A}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{F}$}}
	  {
		  \TR{$A$}
		  \TR{$\overline{A}$}  
	  }
	
}
\end{center}
 
\medskip

\item Déterminer la valeur de $p(A)$.
 \item Sachant qu'elle n'a fait aucun achat, quelle est la probabilité que la personne interrogée soit un homme ? 

\emph{On arrondira au centième.} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

On considère la suite $v$ de terme général $v_{n}$ définie par :
 
\[v_{0} = \np{1000}~ \text{et, pour tout entier naturel}~ n,~  v_{n+ 1} = v_{n} \times 1,005 + 30.\]
 
On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l c l|}\hline 
Entrées&:&Deux nombres entiers S et N\\ 
Traitement& :&\multicolumn{1}{|l|}{Pour K allant de 1 à N}\\
&& \multicolumn{1}{|l|}{Donner à S la valeur S $\times 1,005$}\\ 
Afficher&:&	 S\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip
 
\textbf{Partie A :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $v_{1}$ et donner une valeur arrondie au millième de $v_{4}$. 
\item Faire fonctionner cet algorithme pour S = \np{1000} et N = 4. Dans l'affichage final arrondir le résultat au millième. 
\item Transformer l'algorithme proposé afin qu'il affiche en sortie finale $v_{4}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Partie B :}

\medskip
 
On place \np{1000}~\euro{} sur un livret qui rapporte 0,5\,\% par mois à intérêts composés. Chaque fin de mois, on y verse la somme de 30~\euro. Ce livret est bloqué pour 5~ans ce qui signifie que, sur cette période, il est donc impossible de retirer de l'argent.
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier qu'à la fin du premier mois, la somme présente sur le livret est égale à \np{1035}~\euro. 
\item Donner un algorithme qui permet d'afficher en sortie finale la somme présente sur ce livret au bout d'une année.
 
\emph{On ne demande pas de calculer cette somme.} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Deux dessins sont donnés en annexe. Ils sont à compléter et à rendre avec la copie.\\
On laissera apparents les traits de construction. Aucune autre justification n'est demandée.}
 
\medskip
  
Des piquets de même hauteur et régulièrement espacés sont plantés sur l'un des bords d'une route rectiligne. Dans le dessin ci-dessous, on a représenté ces piquets en perspective parallèle par les segments [A$_{1}$B$_{1}$], [A$_{2}$B$_{2}$], [A$_{3}$B$_{3}$] et [A$_{4}$B$_{4}$].

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(11,6)
\psline(0.7,0.4)(7.2,3.6)
\psline(4.9,0)(10.4,2.8)
\psline(2.3,1.2)(2.3,2.5)\uput[ul](2.3,1.2){A$_{1}$}\uput[ul](2.3,2.5){B$_{1}$}
\psline(3.6,1.8)(3.6,3.2)\uput[ul](3.6,1.8){A$_{2}$}\uput[ul](3.6,3.2){B$_{2}$}
\psline(4.9,2.5)(4.9,3.9)\uput[ul](4.9,2.5){A$_{3}$}\uput[ul](4.9,3.9){B$_{3}$}
\psline(6.2,3.1)(6.2,4.6)\uput[ul](6.2,3.1){A$_{4}$}\uput[ul](6.2,4.6){B$_{4}$}
\end{pspicture}
\end{center} 

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip 

Un lampadaire représenté par le segment [LS] est disposé sur l'autre bord de la route conformément au dessin en perspective parallèle donné en \textbf{annexe 1}.

\medskip
 
Tracer en \textbf{annexe 1} l'ombre sur le sol de chacun des quatre piquets du lampadaire. La source lumineuse est située au point S. On repassera les ombres des piquets en couleur.

\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip
  
On dessine la même route en perspective centrale sur le dessin donné en \textbf{annexe 2}, les plans frontaux étant perpendiculaires à la route. On a représenté le premier et le troisième piquet par les segments $\left[\texttt{a}_{1}\texttt{b}_{1}\right]$ et $\left[\texttt{a}_{3}\texttt{b}_{3}\right]$. Les points $\texttt{a}_{1},~\texttt{b}_{1},~\texttt{a}_{3}$ et $\texttt{b}_{3}$ sont les images respectives par la perspective centrale des points A$_{1}$,~ B$_{1}$, A$_{3}$ et B$_{3}$.
 
\begin{enumerate}
\item Placer le point de fuite principal F. 
\item Tracer la ligne d'horizon ($\delta$). 
\item Dessiner en \textbf{annexe 2} les images des deuxième et quatrième piquets. 
\end{enumerate}

\begin{landscape}

\begin{center}
\textbf{\large Annexe 1 (à compléter et à rendre avec la copie)\\
Exercice 4}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(14,8)
\psline(0.3,0.5)(9,4.8)
\psline(5.8,0)(13.3,3.7)
\psline(2.3,1.5)(2.3,3.4)\uput[ul](2.3,1.5){A$_{1}$}\uput[ul](2.3,3.4){B$_{1}$}
\psline(4.1,2.4)(4.1,4.3)\uput[ul](4.1,2.4){A$_{2}$}\uput[ul](4.1,4.3){B$_{2}$}
\psline(5.9,3.3)(5.9,5.2)\uput[ul](5.9,3.3){A$_{3}$}\uput[ul](5.9,5.2){B$_{3}$}
\psline(7.8,4.2)(7.8,6.1)\uput[ul](7.8,4.2){A$_{4}$}\uput[ul](7.8,6.1){B$_{4}$}
\psline(10.5,2.3)(10.5,7.05)\uput[ul](10.5,2.3){L}\uput[ul](10.5,7.05){S}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{landscape}

\begin{landscape}

\begin{center}
\textbf{\large Annexe 2 (à compléter et à rendre avec la copie)\\
Exercice 4}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(21,10)
\psline(2,1.7)(7.3,6.3)
\psline(7.2,0)(8.6,5.9)
\psline(3.3,2.85)(3.3,6.2)\uput[ul](3.3,2.85){$\texttt{a}_{1}$}\uput[ul](3.3,6.2){$\texttt{b}_{1}$}
\psline(6,5.25)(6,7)\uput[ul](6,5.25){$\texttt{a}_{3}$}\uput[ul](6,7){$\texttt{b}_{3}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}