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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small  septembre 1994}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat A1 et B Métropole septembre 1994~\decofourright 
}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Un document statistique donne les renseignements  suivants,
concernant la région Rhône-Alpes :

\og La population totale augmente régulièrement de 1,2\,\% par an;
La population agricole diminue régulièrement de 3\,\% par an.

Au 1\up{er} janvier 1990, la population totale est de \np{4650000}~habitants, et la population agricole représente 9\,\% de la
population totale.\fg

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle était la population théorique totale au 1\up{er} janvier
1991 ?
		\item Quelle était celle au 1\up{er} janvier 1992 ?
		\item On désigne par $p(n)$ la population totale prévue au 1\up{er}
janvier $(1990 + n)$, où $n$ est un entier positif.
		
Démontrer que $p(n) = (1,012)^n \times p(0)$.
		\item Quelle population totale peut-on prévoir au 1\up{er} janvier
1995 ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la population agricole au 1\up{er} janvier 1990 ?
		\item On désigne par $a(n)$ la population agricole au 1\up{er}
janvier $(1990 + n)$. Calculer $a(n)$.
		\item Quelle population agricole peut-on prévoir au 1\up{er}
janvier 1995 ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer le rapport $r(n) = \dfrac{a(n)}{p(n)}$ en fonction de $n$.
		\item Calculer la valeur minimale de $n$ pour laquelle
$r(n) \leqslant 0,03$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 Série B} \hfill 5 points}

\medskip

 
On s'intéresse aux visiteurs de la \og Tour Mathématiques \fg. 

Cette tour a trois étages. Elle est desservie par un ascenseur et par un escalier. 

Neuf visiteurs sur dix utilisent l'ascenseur et, parmi ceux-ci : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item la moitié va au troisième étage ; 
\item un tiers va au deuxième étage ; 
\item les autres vont au premier étage. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Les autres visiteurs utilisent l'escalier, et, parmi ceux-ci : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item la moitié va au deuxième étage ; 
\item les autres vont au premier étage.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On interroge un visiteur, au hasard, à la sortie de la tour. Quelle est la probabilité pour que : 
	\begin{enumerate}
		\item il soit allé au deuxième étage, en ascenseur ? 
		\item il soit allé au deuxième étage ? 
		\item il soit monté à pied, sachant qu'il est allé au deuxième étage ? 
		
(On donnera les valeurs exactes des résultats.) 
	\end{enumerate}
\item Les tarifs affichés pour la visite de la tour sont les suivants :

\begin{center} 

\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{X}
Ascenseur : \\ 
Premier étage \dotfill 17 F\\ 
Deuxième étage \dotfill 34 F\\ 
Troisième étage \dotfill 51 F\\ 
Escalier, quel que soit l'étage\dotfill 7 F \\
\end{tabularx}
\end{center}
Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque visiteur, associe le prix qu'il a payé pour la visite. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$. 
		\item Calculer son espérance mathématique E($X$), sa variance $V(X)$ et son écart-type.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Le but de ce problème est la représentation graphique de la
fonction $f$ définie dans $]2~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = x - 3 - \dfrac{\ln x}{x - 2}\]

dans le plan P muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique
2~cm.

\begin{center}

\textbf{Partie A}

\textbf{ÉTUDE D'UNE FONCTION AUXILIAIRE}

\end{center}

Soit $g$ la fonction définie sur $I = ]0~;~+ \infty[$ par

\[g(x) = 1 - \dfrac{2}{x} - \ln x.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $g'(x) = \dfrac{2 -  x}{x^2}$.
\item Dresser le tableau de variations de $g$ sur $I$, et en déduire le
signe de $g(x)$ sur $I$. On ne demande aucun calcul de limite.
\end{enumerate}

\begin{center}

\textbf{Partie B}

\textbf{ÉTUDE DE \boldmath $f$ \unboldmath ET DE SA COURBE REPRÉSENTATIVE $C$ DANS P}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f$ pour la valeur 2. Quelle est la
conséquence graphique ?
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x - 2} = 0$. En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Montrer que la droite D d'équation $y = x - 3$ est
asymptote à $C$. Montrer que $C$ est située au-dessous de
D.
	\end{enumerate}
\item  Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
	
Vérifier que $f'(x) = 1 - \dfrac{g(x)}{(x - 2)^2}$. En déduire le signe de
$f'(x)$ puis le tableau de variations de $f$.
\item  Dans le plan P, construire D, puis en tenant compte des
résultats obtenus dans les questions précédentes, construire
$C$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On constate graphiquement que l'équation $f(x) = 0$
admet, dans l'intervalle ]3~;~4[, une solution unique, $\alpha$.
		
Justifier rigoureusement ce résultat.
		\item Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
		
Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}