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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STT A. C. C. -- A. C. A.}  
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 1998}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT   Métropole~\decofourright\\[6pt]A. C. C. -- A. C. A. septembre 1998}}
\medskip

\textbf{Durée : 2 heures}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice\hfill 8 points}

\medskip

Une loterie comporte 300 billets qui ont tous été vendus. Chaque billet porte
3 cases à gratter :

$\bullet~~$ 200 billets font apparaître après grattage la mention PERDU ;

$\bullet~~$ les 100 autres billets sont numérotés de 001 à 100, avec un chiffre par case.

Le numéro 013 gagne un vélo à 990 F ; le numéro 007 gagne un baladeur à
290~F ; les numéros terminés par le chiffre 0 gagnent 100~F ; ceux terminés par
le chiffre 5 gagnent 50~F.

\smallskip

L'imprimeur facture 250~F la série de 100~billets numérotés et 1 F par billet marqué
PERDU.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner le nombre de billets se terminant par le chiffre 0, le nombre de billets
se terminant par le chiffre 5.
\item Quelle est la valeur totale des lots mis en jeu ? En déduire la dépense totale
pour l'organisateur de la loterie.
\item Le prix d'un billet est fixé à 25~F. Tous les lots ont été réclamés.
Quel est le bénéfice de la loterie?
\item Pierre a acheté un billet pris au hasard parmi les 300 billets.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'il gagne un lot de valeur supérieure ou égale à
100~F?
		\item Il gratte la case centrale: le chiffre 0 apparaît. Il déclare alors : \og J'ai maintenant 2 chances sur 10 de gagner quelque chose \fg.
		
Est-ce vrai ou faux ? Justifier cette réponse en utilisant la liste possible de tous
les billets avec le chiffre 0 dans la case centrale.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème\hfill 12 points}

\medskip

Le but de ce problème est d'étudier le bénéfice réalisé chaque jour par un artisan
en fonction de la production.

Soit \Oij{} un repère orthogonal du plan. On choisira sur l'axe des abscisses
1~cm pour 1~unité, en commençant la graduation à $10$. Sur l'axe des ordonnées
1~cm représente $100$~francs.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit B la fonction définie sur l'intervalle [10 ; 25] par

\[B(x) = - x^3 + 30x^2 - 153x.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction dérivée $B'$ de la fonction $B$. 

Vérifier que

\[B'(x) = 3(x - 3)(17 - x).\]

\item Étudier le signe de la fonction $B'$ sur l'intervalle [10~;~25]. En déduire le
tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [10~;~25].
\item Recopier et compléter le tableau suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&10 &15 &20 &23 &25\\ \hline
$B(x)$&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Placer dans le repère \Oij{} les points correspondant à ce tableau puis tracer
la courbe représentative de la fonction $B$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un artisan a observé que pour un produit donné, le coût total $C$, en francs, de
sa production varie en fonction de la quantité $x$ de pièces produites chaque jour,
de la façon suivante :

\[C(x) = x^3 - 30x^2 + 400x.\]

$x$ est un entier compris entre 10 et 25.

\medskip

L'artisan vend les pièces fabriquées au prix unitaire de $247$~francs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le prix de vente de $x$ pièces ?
\item Montrer que le bénéfice réalisé pour $x$ pièces fabriquées et vendues est
$B(x)$, où $B$ est la fonction étudiée dans la partie A.
\item Pour combien de pièces fabriquées et vendues l'artisan réalise-t-il un bénéfice
maximal ?
\item Quel est ce bénéfice maximum ? 

Quel est le bénéfice réalisé alors sur une pièce vendue ? 
\item Par lecture graphique, déterminer le nombre de pièces que doit vendre l'artisan
s'il veut gagner au moins \np{1000}~F.
\end{enumerate}
\end{document}