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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STT Comptabilité et gestion -- Informatique et gestion}  
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT   Métropole~\decofourright\\[6pt]Comptabilité et gestion -- Informatique et gestion juin 1998}}
\medskip

\textbf{Durée : 3 heures}
\end{center}
    
\vspace{0,3cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Soit $P$ la fonction polynôme, définie sur $\R$ par 

\[P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 11 x - 6.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que : $P(x) = (2x + 1 )\left(x^2 + x - 6\right)$.

Résoudre l'équation $P(x) = 0$.
\item Résoudre dans $\R$ les équations:
	\begin{enumerate}
		\item $2(\ln x)^3+ 3(\ln x)^2 - 11 (\ln x) - 6 = 0$.
		\item $2\text{e}^{2x} + 3\text{e}^{x} - 11 - 6 \text{e}^{- x} = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau suivant montre l'évolution annuelle du prix, en francs, du m$^2$ habitable,
dans une grande ville française.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&1988&1989&1990&1991&1992&19932&1994&1995&1996&1997\\ \hline
Prix&\np{11700}&\np{11000}&\np{11000}&\np{10500}&\np{10200}&\np{10000}&\np{9500}&\np{9200}&\np{9000}&\np{8800}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire, dans un repère orthogonal, le nuage de points associé à ce
tableau statistique.

On prendra comme unités :

En abscisse : 1 cm pour une année en commençant à 1988.
En ordonnée : 1 cm pour 500 F, en commençant à \np{6500}~F.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage de points et placer
G sur le graphique.
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G$_1$ associé aux années allant de
1988 à 1992, puis celles du point moyen G$_2$, associé aux années allant de
1993 à 1997.
		\item Placer G$_1$ et G$_2$ dans le graphique précédent puis déterminer une équation
de la droite $\left(\text{G}_1\text{G}_2\right)$.
	\end{enumerate}
\item On admet que la droite $\left(\text{G}_1\text{G}_2\right)$ réalise un ajustement convenable du nuage et que l'évolution du prix du m$^2$ habitable reste la même les années suivantes.

Déterminer alors le prix du m$^2$ en l'an 2000.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal. (Unité graphique : 1 cm)

La courbe (C) représentée ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction
$f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = a + bx\text{e}^{-x}\]

où $a$ et $b$ sont deux réels.

La droite (T) est la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse $0$.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,dotscale=0.8}
\begin{pspicture*}(-6.5,-4.1)(6.5,5.1)
\multido{\n=-4+1}{10}{\multido{\na=-6+1}{13}{\rput(\na,\n){\psset{dotscale=0.5}$\bullet$}}}
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-6.5,-4.1)(6.5,5.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,1)
\psplot{-6}{3.1}{2 x add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-1.5}{6.5}{2 x 2.71828 x exp div add}
\uput[u](2.5,4.5){T} \uput[u](5.5,2){\blue (C)}
\end{pspicture*}
\end{center}

\textbf{La partie A est, dans une large mesure, indépendante de la partie B}

\medskip

\textbf{A - Expression de } \boldmath $f$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
\item Lire sur le graphique $f(0)$ et $f '(0)$.
\item Déduire de 1. et 2. la valeur de $a$ et celle de $b$.

\end{enumerate}

Dans la suite du problème on prend $f(x) = 2 + x\text{e}^{-x}$.

\medskip

\textbf{B - Variation de } \boldmath $f$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x,\: f'(x) = \text{e}^{-x}(1 - x)$.

Étudier le signe de $f'(x)$. En déduire les variations de $f$.
\item Déterminer, en justifiant vos calculs, la limite de $f$ en $- \infty$.
\item Déterminer, en justifiant vos calculs, la limite de $f$ en $+ \infty$. Interpréter graphiquement ce résultat.

(On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$).
\item Donner le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C - Calcul d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $G$ définie sur $\R$ par : 

\[G(x) = - (x + 1 )\text{e}^{-x}\]

est une primitive sur $\R$ de la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $g(x) = x\text{e}^{-x}$.

En déduire une primitive de $f$ sur $\R$.
\item Déterminer l'aire de la portion de plan comprise entre la courbe (C), l'axe
des abscisses, les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$. 

On donnera d'abord la valeur exacte de cette aire puis une valeur arrondie à deux décimales.
\end{enumerate}
\end{document}