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%Tapuscrit : Denis Vergès 
%Corrigé : François Hache
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\renewcommand*{\tabularxcolumn}[1]{m{#1}} %centrage vertical des cellules d'un tableau tabularx
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

%%%%   Commandes perso FH
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%   displaystyle
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit
%\renewcommand{\d}{\,\text{d}}%  le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i\,}}%  le i des complexes
\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%      plus petit ou égal
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent

\newcommand*{\point}[4]{
\psdots(#1,#2)
\uput[#3](#1,#2){#4}
}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom

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\DecimalMathComma% pas d'espace après la virgule en mode mathématique

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pdfsubject = {Baccalauréat ES},
pdftitle = {Métropole ES/L - 12 septembre 2014},
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} 

\renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES/L }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small  12 septembre 2014}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES/L Métropole 12 septembre 2014~\decofourright\\[10pt]
Corrigé}}
 \end{center}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\subsection*{Exercice 1 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Avant de réaliser une opération marketing en début de saison, un revendeur de piscines fait une étude dans son fichier client. Il s'intéresse à deux caractéristiques :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Le type de piscine déjà installée (piscine traditionnelle, piscine en bois, coque en résine) ; 
\item[$\bullet~~$] l'existence d'un système de chauffage.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Il obtient les résultats suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 50\,\% des clients choisissent une piscine traditionnelle, et parmi eux, 80\,\% ont fait installer un système de chauffage; 
\item[$\bullet~~$] 40\,\% des clients choisissent une piscine avec coque en résine, dont 60\,\% seront chauffées; 
\item[$\bullet~~$] les autres clients ont préféré une piscine en bois.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On choisit au hasard la fiche d'un client dans le fichier informatique du revendeur de piscine, chaque fiche ayant la même probabilité d'être tirée. 
On note les évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item $T$ : \og Le client choisit une piscine traditionnelle \fg{} ; 
\item $R$ : \og Le client choisit une piscine avec coque en résine\fg{} ; 
\item $B$ : \og Le client choisit une piscine en bois\fg{} ; 
\item $C$ : \og Le client fait installer un chauffage \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
%On note $p(T)$ la probabilité de l'évènement $T$ et $p_{T}(C)$ la probabilité de l'évènement $C$ sachant que l'évènement $T$ est réalisé. 

%Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ l'évènement contraire de l'évènement $A$. 

%\emph{Lorsque ce sera nécessaire, les résultats demandés seront arrondis au millième.}

%\medskip
% 
%\textbf{Partie A}
%\medskip

\subsubsection*{Partie A} 
 
\begin{enumerate}
\item% Construire un arbre pondéré représentant cette situation. L'arbre pourra être complété tout au long de cet exercice. 
D'après le texte, $P(T)=0,5$ et $P(R)=0,4$ donc $P(B)=1-0,5-0,4=0,1$.

On peut également dire que $P_T(C)=0,8$ donc $P_T(\overline C)=1-0,8=0,2$.

De même $P_R(C)=0,6$ donc $P_R(\overline C)=1-0,6=0,4$.


On construit un arbre pondéré représentant la situation:

\medskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=3cm]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$T$}\taput{0,5}}
	  { 
		  \TR{$C$}\taput{0,8}
		  \TR{$\overline{C}$}\tbput{\red 0,2}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$R$}\taput{0,4}}
	  {
		  \TR{$C$}\taput{0,6}
		  \TR{$\overline{C}$}\tbput{\red 0,4}	
	  }
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$}\tbput{\red 0,1}}
	  {
		  \TR{$C$}\taput{}
		  \TR{$\overline{C}$}\tbput{}	
	  }	
}
\end{center}

\medskip

\item% Montrer que la probabilité que le client choisisse une piscine traditionnelle chauffée est $0,4$. 
L'événement \og{}le client choisit une piscine traditionnelle chauffée\fg{} est l'événement $T \cap C$.

$P(T \cap C)= P(T) \times P_T(C)=0,5\times 0,8 = 0,4$ 

\item On sait aussi que 70\,\% des clients ont choisi de faire installer un chauffage pour leur piscine donc $P(C)=0,7$.

	\begin{enumerate}
	
		\item% Calculer la probabilité $p(B \cap C)$. 
D'après la formule des probabilités totales:

$P(C)= P(T \cap C) + P(R \cap C) + P(B \cap C)$; 
or $P(R \cap C) = P(R) \times P_R(C)=0,4\times 0,6 = 0,24$

Donc $P(C)= P(T \cap C) + P(R \cap C) + P(B \cap C) \iff 0,7 = 0,4 + 0,24 + P(B \cap C)$ \\
et donc $P(B \cap C) = 0,06$.

		\item% En déduire $p_{B}(C)$ et compléter l'arbre pondéré précédent.
$P(B \cap C) = P(B) \times P_B(C)$; or $P(B)=0,1$ et $P(B \cap C) = 0,06$ donc $0,06 = 0,1 \times P_B(C)$ ce qui entraine $P_B(C)=0,6$.

$P_B(\overline C)= 1 - P_B(C) = 1-0,6=0,4$

On peut ainsi compléter l'arbre pondéré:

\medskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=3cm]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$T$}\taput{0,5}}
	  { 
		  \TR{$C$}\taput{0,8}
		  \TR{$\overline{C}$}\tbput{0,2}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$R$}\taput{0,4}}
	  {
		  \TR{$C$}\taput{0,6}
		  \TR{$\overline{C}$}\tbput{0,4}	
	  }
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$}\tbput{0,1}}
	  {
		  \TR{$C$}\taput{\red 0,6}
		  \TR{$\overline{C}$}\tbput{\red 0,4}	
	  }	
}
\end{center}

\medskip

	\end{enumerate} 

\item Sachant que la piscine du client dont la fiche a été tirée est chauffée, la probabilité que ce soit une piscine traditionnelle est $P_C(T)$:
$P_C(T) = \dfrac{P(C \cap T)}{P(C)} = \dfrac{0,4}{0,7} = \dfrac{4}{7}$

\end{enumerate}

%\bigskip
% 
%\textbf{Partie B}
%
%\medskip
 
\subsubsection*{Partie B} 
 
On prélève un lot de $120$ fiches dans le fichier client du revendeur.
 
On s'intéresse, dans un tel lot, au nombre de clients ayant choisi d'installer un chauffage pour leur piscine. On modélise ce nombre par la variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 84$ et d'écart-type $\sigma = 5$.

%\medskip
 
\begin{enumerate}

\item La probabilité qu'il y ait entre 74 et 94 piscines chauffées est $P(74 \pp X \pp 94)$.

Or $\mu=84$ et $\sigma=5$ donc $74 = \mu - 2\sigma$ et $94 = \mu + 2\sigma$.

On sait, que si une variable aléatoire $X$ suit une loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type $\sigma$,
\mbox{$P(\mu - 2\sigma \pp X \pp \mu+2\sigma) \approx 0,95$} donc la probabilité qu'il y ait entre 74 et 94 piscines chauffées est environ de 0,95. 

\item Deux tiers de 120 est égal à 80.

La probabilité qu'au moins deux tiers des clients du lot aient choisi d'installer un chauffage pour leur piscine est $P(X \pg 80)$.

\`A la calculatrice, on trouve $P(X \pg 80) \approx 0,79$. 


\end{enumerate} 

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

%\newpage

\subsection*{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et L}

\medskip

On comptait 700~élèves dans un lycée lors de la rentrée de 2012.
 
À la fin de chaque année scolaire, après le départ des nouveaux bacheliers et des élèves quittant l'établissement, le lycée conserve 70\,\% de son effectif pour l'année suivante.
 
Il reçoit $240$~nouveaux élèves à chaque rentrée.

%\medskip
 
\begin{enumerate}

\item% Calculer le nombre d'élèves dans le lycée aux rentrées 2013 et 2014. 
Il y a 700 élèves à la rentrée 2012; le lycée en conserve 70\,\% soit $700\times \dfrac{70}{100} = 490$. 

Le lycée reçoit 240 nouveaux élèves: $490+240=730$.

Le nombre d'élèves du lycée à la rentrée 2013 est 730.

Il y a 730 élèves à la rentrée 2013; le lycée en conserve 70\,\% soit $730\times \dfrac{70}{100} = 511$. 

Le lycée reçoit 240 nouveaux élèves: $511+240=751$.

Le nombre d'élèves du lycée à la rentrée 2013 est 751.

\item On définit la suite $\left(a_{n}\right)$ par : 
$a_{0} = 700$ et, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = 0,7 \times a_{n} + 240$.
 
Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n} = a_{n} - 800$; donc $a_n=u_n+800$.

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,7$. 
%Préciser son premier terme. 

$u_{n+1} = a_{n+1}-800 = 0,7\times a_n+240 - 800 = 0,7(u_n+800)-560=0,7 \times u_n+560-560=0,7\times u_n$

$u_0=a_0-800 = 700-800=-100$

Donc la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,7$ et de premier terme $u_0=-100$.

		\item% Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 
La suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,7$ et de premier terme $u_0=-100$ donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_0 \times q^n = -100\times 0,7^n$.

		\item% En déduire l'expression de $a_{n}$ en fonction de $n$. 
$a_n=u_n+800$ donc $a_n= 800 -100\times 0,7^n$ pour tout entier naturel $n$.

	\end{enumerate}
	
\item  On choisit de modéliser le nombre d'élèves du lycée par les termes de la suite  $\left(a_{n}\right)$.
 
Il faudra agrandir le lycée dès que l'effectif sera supérieur ou égal à $780$~élèves. 

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que résoudre l'inéquation $800 - 100 \times 0,7^n \geqslant 780$ revient à résoudre l'inéquation $0,7^n \leqslant  0,2$. 
$\begin{array}[t]{@{} l @{\ \iff\ } l}
800-100 \times 0,7^n \pg 780 & 800 - 780 \pg 100 \times 0,7^n\\[3pt]
 & \dfrac{20}{100} \pg 0,7^n\\[7pt]
 & 0,2 \pg 0,7^n\\
 & 0,7^n \pp 0,2
\end{array}$

		\item% En quelle année faudra-t-il agrandir le lycée ?
Il faudra agrandir le lycée quand le nombre d'élèves aura dépassé 780, ce qui revient à résoudre l'inéquation $a_n \pg 780$ c'est-à-dire 	$800-100 \times 0,7^n \pg 780$; d'après la question précédente, cela revient à résoudre l'inéquation $0,7^n \pp 0,2$:

$\begin{array}{@{} l @{\ \iff\ } l l}
0,7^n \pp 0,2 & \ln \left (0,7^n\right ) \pp \ln 0,2 & \text{croissance de la fonction ln sur } \cg 0\,;\, +\infty\cd \\
 & n\times \ln 0,7 \pp \ln 0,2 & \text{propriété de la fonction ln}\\[3pt]
 & n \pg \dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,7} & \text{car } \ln 0,7 <0
\end{array}	$

Or $\dfrac{\ln 0,2}{\ln 0,7} \approx 4,5$ donc $n\pg 5$.

\smallskip

$2012+5=2017$ donc il faudra agrandir le lycée en 2017.
		
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}

%\newpage

\subsection*{Exercice 2 \hfill 5 points}

Pour satisfaire ses adhérents, un club de sport a instauré trois niveaux d'apprentissage:
 
\begin{center}
DÉBUTANT (D), CONFIRMÉ (C) et EXPERT (E).
\end{center}
 
Au 1\up{er} septembre 2012, lors de l'inscription, le club comptait:
 
\begin{center}
30\,\% de débutants, 50\,\% de confirmés et 20\,\% d'experts.
\end{center}
 
%\setlength\parindent{5mm}
\begin{list}{\textbullet}{D'une année sur l'autre, on constate que:}
\item parmi les adhérents de niveau débutant, 40\,\% restent à ce niveau et 60\,\% passent au niveau confirmé; 
\item parmi les adhérents de niveau confirmé, 60\,\% restent à ce niveau et 40\,\% passent au niveau expert; 
\item parmi les adhérents de niveau expert, 80\,\% restent à ce niveau, 10\,\% redescendent au niveau confirmé et les autres 10\,\% préfèrent reprendre les bases au niveau débutant.
\end{list}
%\setlength\parindent{0mm}
 
On considère qu'il n'y a pas de nouveaux venus ni de départs dans le club.

\medskip
 
Soit $P_{n} = \begin{pmatrix} d_{n} & e_{n} & e_{n} \end{pmatrix}$ la matrice ligne décrivant l'état probabiliste de la répartition parmi les trois niveaux d'apprentissage D, C et E au 1\up{er} septembre de l'année $2012 + n$ pour tout entier naturel $n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Donner sans justification la matrice $P_{0}$.
$P_0 = \begin{pmatrix} 0,3 & 0,5 & 0,2 \end{pmatrix}$
puisqu'il y a 30\,\% de débutants, 50\,\% de confirmés et 20\,\% d'experts en 2012 c'est-à-dire quand $n=0$.
		 
		\item% Traduire la situation par un graphe probabiliste de sommets D, C et E.
On traduit la situation par un graphe probabiliste:

\begin{center}
{
\begin{pspicture}(-2,-6)(8,1)
%\psgrid[subgriddiv=2](0,0)(-2,-6)(8,1)
\psnode(0,0){D}{\red \bf D}
\psnode(6,0){C}{\bf C}
\psnode(3,-4.2){E}{\blue \bf E}

\psset{nodesep=3pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}

\ncarc[linecolor=red]{->}{D}{C} \Aput{\red 0,6} 
%\ncarc[linecolor=red]{->}{X}{Z} \Aput{\red 0,6}
\nccircle[angleA=60,linecolor=red]{->}{D}{.5cm} \Bput{\red 0,4}

%\ncarc{->}{C}{D} \Aput{0,6}
\ncarc{->}{C}{E} \Aput{0,4} 
\nccircle[angleA=-60]{->}{C}{.5cm} \Bput{0,6}

\ncarc[linecolor=blue]{->}{E}{D} \Aput{\blue 0,1} 
\ncarc[linecolor=blue]{->}{E}{C} \Aput{\blue 0,1}
\nccircle[angleA=180,linecolor=blue]{->}{E}{.5cm} \Bput{\blue 0,8}

\end{pspicture}
}
\end{center}


	\end{enumerate}
\end{enumerate}
		 
On donne la matrice   de transition $M$, ainsi que $M^5$ et $M^{10}$, en respectant l'ordre D, C, E des sommets :
 
\[M = \begin{pmatrix} 0,4 &\emph{\textbf{0,6}} &0\\0&0,6& 0,4\\ 0,1& 0,1& \emph{\textbf{0,8}}
\end{pmatrix} \qquad 
M^5 = \begin{pmatrix}0,085& 0,331& 0,584\\
0,097 &0,293&0,610\\
0,104& 0,298& 0,598\end{pmatrix} \qquad
M^{10} = \begin{pmatrix}0,100  &0,299& 0,601\\
0,100&0,300&0,600\\ 
0,100& 0,300 &0,600\end{pmatrix}\]

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
 
\item Dans la matrice $M$ on lit \emph{\textbf{0,6}} et \emph{\textbf{0,8}} en italique gras. 

	\begin{enumerate}

		\item% Préciser, à l'aide d'une phrase, à quoi correspondent ces deux valeurs en lien avec la situation étudiée. 
Le nombre $0,6$ situé sur la première ligne et la deuxième colonne de la matrice $M$ correspond aux 60\,\% d'adhérents débutants qui deviennent confirmés l'année suivante.

Le nombre $0,8$ situé sur la troisième ligne et la troisième colonne de la matrice $M$ correspond aux 80\,\% d'adhérents experts qui restent experts l'année suivante. 

		\item% Calculer $P_{1}$. 
D'après le cours, on peut dire que, pour tout $n$, $P_{n+1}=P_n \times M$.
On a donc:

$P_1 = P_0 \times M =
\begin{pmatrix}
0,3 & 0,5 & 0,2
\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} 0,4 & 0,6 &0\\0&0,6& 0,4\\ 0,1& 0,1& 0,8
\end{pmatrix}\\
\phantom{P_1} =
\begin{pmatrix}
0,3 \times 0,4 + 0,5 \times 0 + 0,2 \times 0,1 &
0,3 \times 0,6 + 0,5 \times 0,6 + 0,2 \times 0,1 &
0,3 \times 0 + 0,5 \times 0,4 + 0,2 \times 0,8
\end{pmatrix} \\
\phantom{P_1} =
\begin{pmatrix}
0,14 & 0,5 & 0,36
\end{pmatrix}$

		\item% Déterminer la répartition prévisible, en pourcentages, des adhérents dans ce club de sport au 1\ier{} septembre 2017. Les résultats seront donnés à $0,1$\,\% près.
La répartition prévisible des adhérents au 1\ier{} septembre 2017 est donnée par $P_5$ car $2017=2012+5$.

%$P_5=P_4\times M = P_3 \times M \times M = P_2 \times M \times M \times M = P_1 \times M^4 = P_0 \times M^5$

D'après le cours, on sait que, pour tout $n$, $P_n=P_0 \times M^n$; donc $P_5=P_0\times M^5$.

$P_5 = P_0\times M^5=
\begin{pmatrix}
0,3 & 0,5 & 0,2
\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}0,085& 0,331& 0,584\\
0,097 &0,293&0,610\\
0,104& 0,298& 0,598\end{pmatrix}
\approx
\begin{pmatrix}
0,095 & 0,305 & 0,600
\end{pmatrix}$

Donc en 2017 il devrait y avoir 9,5\,\% de débutants, 30,5\,\% de confirmés et 60,0\,\% d'experts.
  
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}

		\item% En calculant $P_{10}$, émettre une conjecture sur la matrice P correspondant à l'état probabiliste stable. 
$P_{10}=P_0 \times M^{10} = 
\begin{pmatrix}
0,3 & 0,5 & 0,2
\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix}0,100  &0,299& 0,601\\
0,100&0,300&0,600\\ 
0,100& 0,300 &0,600\end{pmatrix} \approx
\begin{pmatrix}
0,100 & 0,300 & 0,600
\end{pmatrix}
$

On peut conjecturer que la matrice
$\text P =
\begin{pmatrix}
0,1 & 0,3 & 0,6
\end{pmatrix}$
correspond à l'état probabiliste stable.

		\item% Vérifier cette conjecture. 
On vérifie d'abord que $0,1+0,3+0,6=1$ donc la matrice P correspond à un état probabiliste.

La matrice P correspond à l'état probabiliste stable si $\text P \times M = \text P$.

$\text P \times M =
\begin{pmatrix}
0,1 & 0,3 & 0,6
\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} 
0,4 & 0,6 &0\\0&0,6& 0,4\\ 0,1& 0,1& 0,8
\end{pmatrix}\\
\phantom{\text P \times M} =
\begin{pmatrix}
0,1 \times 0,4 + 0,3 \times 0 + 0,6 \times 0,1 &
0,1 \times 0,6 + 0,3 \times 0,6 + 0,6 \times 0,1 &
0,1 \times 0 + 0,3 \times 0,4 + 0,6 \times 0,8
\end{pmatrix}\\
\phantom{\text P \times M} =
\begin{pmatrix}
0,1 & 0,3 & 0,6
\end{pmatrix} = \text P$

Donc la matrice P correspond à l'état probabiliste stable.


		\item% Quelle conclusion peut-on en tirer pour la répartition des adhérents?
On peut conclure qu'à long terme, la répartition dans le club de sport tendra vers  10\,\% de débutants, 30\,\% de confirmés et 60\,\% d'experts.
		
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

%\newpage

\subsection*{Exercice 3 \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On considère une fonction $f$ définie sur $\R$ et deux fois dérivable. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f''$, dérivée seconde de la fonction $f$, dans un repère orthonormé. 

Les points suivants appartiennent à la courbe : A$(-2~;~0)$ ; B$(0~;~-6)$ et C(3~;~0). 

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-4,-8.5)(9.5,5.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=6]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4,-7.5)(9.5,5.5)
\uput[ur](-2,0){A}\uput[dr](0,-6){B}\uput[ul](3,0){C}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.2}{9.5}{x dup mul x sub 6 sub  2.71828 x 0.5 mul exp div}
\rput(2.7,-7.6){Courbe représentative de la fonction $f''$}
\end{pspicture*}
\end{center}
 
%\emph{Dans tout cet exercice, chaque réponse sera justifiée à partir d'arguments graphiques.}

%\medskip
 
\begin{enumerate}

\item% La courbe représentative de $f$ admet-elle des points d'inflexion ? 
La courbe représentative de la fonction $f$ admet un point d'inflexion si cette courbe traverse sa tangente, autrement dit si la dérivée seconde de $f$ s'annule et change de signe.

D'après sa courbe représentative, la fonction $f''$ s'annule et change de signe en $x=-2$ et $x=3$; donc la courbe représentant la fonction $f$ admet deux points d'inflexion, aux points d'abscisses $-2$ et $3$. 

\item Sur l'intervalle $\cd - 2~;~3\cg$, la courbe représentant la fonction $f''$ est située en dessous de l'axe des abscisses, donc $f''\pp 0$. Cela veut dire que, sur cet intervalle, la fonction dérivée première $f'$ est décroissante, et donc que la fonction $f$ est concave.  

\item% Parmi les deux courbes données ci-dessous, une seule est la représentation graphique de la fonction $f$ : laquelle ? Justifier la réponse.

On donne les deux courbes:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Courbe 1& Courbe 2 \\ \hline
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.04cm}
\begin{pspicture*}(-6,-15)(7.5,92)
\multido{\n=-6+1}{+14}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1)(\n,92)}
\multido{\n=0+10}{+10}{\psline[linestyle=dotted](-6,\n)(7.5,\n)}
\def\psvlabel#1{\scriptsize{#1}}%
\def\pshlabel#1{\scriptsize{#1}}%
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(-6,-5)(7.5,92)
\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.5}{x dup mul 4 mul 20 x mul add 32 add 2.71828 0.5 0.5 x mul sub exp mul}
\end{pspicture*}&\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.04cm}
\begin{pspicture*}(-6,-15)(7.5,92)
\multido{\n=-6+1}{+14}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1)(\n,92)}
\multido{\n=0+10}{+10}{\psline[linestyle=dotted](-6,\n)(7.5,\n)}
\def\psvlabel#1{\scriptsize{#1}}%
\def\pshlabel#1{\scriptsize{#1}}%
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(-6,-5)(7.5,92)
\psplot[linecolor=cyan,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.5}{x dup mul 4 mul 28 x mul add 56 add 0.606531 x exp mul}
\end{pspicture*}\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

La courbe 1 représente une fonction qui admet  en $x=-2$ un minimum ; au point d'abscisse $- 2$, la courbe ne traverse pas sa tangente, donc le point d'abscisse $- 2$ n'est pas un point d'inflexion. Donc la courbe 1 ne représente pas la fonction $f$.

La fonction $f$ est représentée par la courbe 2. 


\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

%\newpage

\subsection*{Exercice 4 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\cd 0,5~;~10\cg$ par : 
$f(x) = - x^2 - 4x + 15 + 6\ln (x)$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 

%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Vérifier que $f'(x) = \dfrac{-2x^2 - 4x + 6}{x}$.
$f(x) = - x^2 - 4x + 15 + 6\ln (x)$ donc $f'(x)=-2x -4 +\dfrac{6}{x} = \dfrac{-2x^2-4x+6}{x}$.


\item% Étudier le signe de la fonction $f'$ sur $\cd 0,5~;~10\cg$, en déduire le tableau de variations  de $f$ sur $\cd 0,5~;~10\cg$. 
Sur $\cd 0,5~;~10\cg$, $x>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $-2x^2-4x+6$.

On étudie le signe de $-2x^2-4x+6$ sur $\cd 0,5~;~10\cg$:

$\Delta = (-4)^2-4\times (-2)\times 6 = 16+48=64=8^2$;
$x'=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4-8}{-4}=1$;
$x''=\dfrac{4+8}{-4}=-3$

$f(0,5)=12,75 + 6\,\ln 0,5 \approx 8,6$;
$f(1)=10$; $f(10)=6\,\ln 10-125 \approx -111,2$

D'où le signe de $f'$ et les variations de $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0,5  & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & 10 \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{10}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{12,75+6\, \ln 0,5} &   &  &  &   \Rnode{min2}{6\, \ln 10 - 125} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $	
}
\end{center}

\item% Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\cd 0,5~;~10\cg$.
 
On a vu que $f(0,5)>0$ et que $f(10)<0$, donc on complète le tableau de variations de $f$: 

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0,5  & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & 10 \\ 
\hline
%f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
%\hline
 & &  &   \Rnode{max}{10}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{12,75+6\, \ln 0,5} &   &  &  &   \Rnode{min2}{6\, \ln 10 - 125} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \psline[linestyle=dashed,linecolor=red,dash=2pt 2pt](-3,1)(-3,2)
 \rput*(-3,1){\red 0}
 \rput(-3,2.4){\red \alpha}

 \\ 
\hline
\end{array} $	
}
\end{center}
 
%Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ par défaut. 

D'après ce tableau de variations, on peut dire que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique dans $\cd 0,5~;~10\cg$; on l'appelle $\alpha$.

$\left. 
\begin{array}{@{} l}
f(3)\approx 0,6 >0\\
f(4)\approx -8,7<0
\end{array}
\right\rbrace \Longrightarrow
\alpha \in \cd 3\,;\, 4\cg
$;
$\left. 
\begin{array}{@{} l}
f(3)\approx 0,6 >0\\
f(3,1)\approx -0,22<0
\end{array}
\right\rbrace \Longrightarrow
\alpha \in \cd 3,0\,;\, 3,1\cg
$

$\left. 
\begin{array}{@{} l}
f(3,07)\approx 0,025 >0\\
f(3,08)\approx -0,057<0
\end{array}
\right\rbrace \Longrightarrow
\alpha \in \cd 3,07\,;\, 3,08\cg
$

Donc $\alpha$ a pour valeur approchée à $10^{-2}$ par défaut le nombre $3,07$.
 
\item Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur $\cd 0,5~;~10\cg$ telle que :
$F(x) = - \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 9x + 6x \ln(x)$. 

%Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\cd 0,5~;~10\cg$. 

La fonction $F$ est une primitive de $f$ si et seulement si $F'(x)=f(x)$ pour tout $x$ de $\cd 0,5~;~10\cg$.

$F'(x)=-\dfrac{1}{3}\times 3x^2 -4x +9 +6\left (\ln(x) +x\times \dfrac{1}{x}\right )=-x^2 -4x +9 +6\ln(x) +6 = -x^2-4x+15+6\,\ln(x) = f(x)$

Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\cd 0,5~;~10\cg$.

\item% Calculer $I = \displaystyle\int_{1}^3  f(x)\:\text{d}x$. En donner la valeur exacte, puis une valeur approchée au millième. 

D'après le cours, $I = \displaystyle\int_{1}^3  f(x)\:\text{d}x = F(3)-F(1) = 18\,\ln 3 - \dfrac{20}{3}$ dont une valeur approchée au millième est 13,108.

\item% En déduire la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $\cd 1~;~3\cg$: en donner une valeur approchée au millième. 

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $\cd 1~;~3\cg$ est:

 $\dfrac{1}{3-1} \int_1^3 f(x) \d x = \dfrac{1}{2} \left ( 18\,\ln 3 -\dfrac{20}{3} \right ) = 9\,\ln 3 - \dfrac{10}{3} \approx 6,554$.

\end{enumerate}

\end{document}