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% Tapuscrit : Denis Vergès
% Corrigé : François Hache
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

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%   Commandes perso FH
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%   displaystyle
\newcommand{\cg}{\rceil \hspace{-4.5pt} \rfloor}% crocher gauche
\newcommand{\cd}{\lceil \hspace{-4.5pt} \lfloor}% crochet droit
\renewcommand{\d}{\,\text{d}\,}%  le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i\,}}%  le i des complexes
\renewcommand{\(}{\left(}%        parenthèse gauche
\renewcommand{\)}{\right)}%       parenthèse droite  
\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%      plus petit ou égal
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent
\newcommand{\limit}[2]{\lim\limits_{#1 \to #2}}% limite
\newcommand{\integ}[2]{\displaystyle\int_{#1}^{\,#2}}% intégrale
%\newcommand{\t}[1]{\text{#1}}
\newcommand*{\point}[4]{
\psdots(#1,#2)
\uput[#3](#1,#2){#4}
}
% permet de placer un point et de marquer son nom en même temps
% abscisse ordonnée emplacement et nom

\begin{document}%   \section{début}

\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES/L }
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small  13 septembre 2013}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.7cm}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES/L Métropole--La Réunion~\decofourright\\[3pt]
13 septembre 2013\\[8pt]
Corrigé}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}%  \section{exercice 1}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\textbf{Partie A}%    \subsection{partie A}

\medskip

 \begin{enumerate}
\item L'arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 

\medskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,levelsep=4cm,labelsep=2pt, nodesepB=2pt]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=2pt]{\TR{$H$}\taput{$0,65$}}
		{
\TR{$E$}\taput{\red $0,3$}
\TR{$\overline{E}$}\tbput{\red $1-0,3=0,7$}
 		}
	\pstree[nodesepA=2pt]{\TR{$F$}\tbput{\red $1-0,65=0,35$}}
		{
\TR{$E$}\taput{$0,6$}
\TR{$\overline{E}$}\tbput{\red $1-0,6=0,4$}
 		}
}
\end{center}

\bigskip

\item
	\begin{enumerate}
		\item %Traduire par une phrase l'évènement $E \cap F$ et calculer sa probabilité. 
L'événement $E \cap F$ est \og{}la personne choisie écoute les explications du démarcheur et est une femme.\fg.

D'après les propriétés de l'arbre pondéré:

$P\(E \cap F\) = P\(F \cap E\) = P\(F\) \times P_F\(E\)= 0,35 \times 0,6= 0,21$

		\item La probabilité que la personne choisie écoute les explications du démarcheur est $P\(E\)$.

D'après la formule des probabilités totales:

$P\(E\)= P\(H \cap E\) + P\(F \cap E\) = P\(H\) \times P_H\(E\) + P\(F\) \times P_F\(E\) \\
\phantom{P\(E\)} = 0,65 \times 0,3 + 0,35 \times 0,6 = 0,195 + 0,21 = 0,405$
 
		\item Le démarcheur s'adresse à une personne qui l'écoute; la probabilité que ce soit un homme est $P_E\(H\)$.

\smallskip

$P_E\(H\) = \dfrac{P\(E \cap H\)}{P\(E\)} = \dfrac{0,65 \times 0,3}{0,405} \approx 0,48$ 
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}%         \subsection{partie B}

On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de souscriptions réalisées par un employé donné un jour donné.
 
\begin{enumerate}

\item %Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. 

Les relevés réalisés au cours des premières journées permettent de constater que 12\,\% des personnes interrogées souscrivent à ce nouveau forfait, donc la probabilité qu'une personne interrogée souscrive un nouveau forfait est  $0,12$.
 
Chaque employé de l'opérateur effectue $60$ appels par jour.

On suppose le fichier suffisamment important pour que les choix soient considérés réalisés de façon indépendante et dans des conditions identiques.

La variable aléatoire $X$ qui comptabilise le nombre de souscriptions réalisées par un employé donné un jour donné suit donc la loi binomiale de paramètres $n=60$ et $p=0,12$.

\item La probabilité que l'employé obtienne $5$~souscriptions  est $P\(X=5\)$.

Pour une variable aléatoire $X$ suivant la loi $\mathcal B\(n\,,\, p\)$ on sait que 

\hfill $P\(X=k\)=\ds\binom{n}{k}\,p^k \(1-p\)^{n-k}$\hfill\,

Donc $P\(X=5\)=\ds\binom{60}{5}\,0,12^5 \(1-0,12\)^{60-5} \approx 0,120$

\item La probabilité que l'employé obtienne au moins une souscription un jour donné est $P\(X\pg 1\)$.

$P\(X\pg 1\) = 1 - P\(X<1\) = 1-P\(X=0\)$.

$P\(X=0\)=\ds\binom{60}{0}\,0,12^0 \(1-0,12\)^{60-0} \approx \np{0,0005}$;
donc $P\(X\pg 1\) \approx \np{0,9995}$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}%   \section{exercice 2 non spé}

\textbf{Enseignement obligatoire -- L}


\emph{Remarque: on ne demandait pas de justification dans cet exercice.}
 
\begin{enumerate}
\item 

Réponse \textbf{c.} 

Sur l'intervalle $]1\:; 3[$ la courbe est située au dessus de toutes ses tangentes.

\item

Réponse \textbf{d.}

Par lecture graphique, on voit que l'ordonnée à l'origine de la droite $D$ est 5, et que son coefficient directeur est $-3$.

\item

Réponse \textbf{b.}

Sur $]1\:; 2[$, la fonction $f$ est convexe  donc $f''\(x\) >0$ donc $f'$ est croissante.

\item

Réponse \textbf{b.}

Comme la fonction $f$ est positive sur $[0\:; 2]$, le nombre $\integ{0}{2}\,f\(x\) \d x$ est l'aire du domaine compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$; en comptant les carreaux, on voit que cette aire est comprise entre 3 et 6.

\item

Réponse \textbf{b.}

Prenons $a$ et $b$ tels que $-1 < a < b < 2$; on sait que $F\(b\)- F(a) = \integ{a}{b}\,f\(x\) \d x$. \\
Sur l'intervalle $]-1~;~2[$ la fonction $f$ est positive et $a<b$, donc l'intégrale est positive. On déduit que $F\(b\)-F\(a\) >0$ ce qui équivaut à $F\(a\) < F\(b\)$ donc la fonction $F$ est croissante sur $]-1~;~2[$. 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}%   \section{exercice 2 spé} 

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip
 
%\textbf{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.}
%
%\medskip
 
Un lycée d'une grande ville de province organise un forum des grandes écoles de la région pour aider ses élèves dans leurs choix d'orientation post-bac.

\bigskip
 
\textbf{PARTIE A}%     \subsection{partie A}
 
\begin{enumerate}
\item Sachant qu'on désigne  par E (étranger) et F (France) les deux sommets, le graphe probabiliste associé à la situation décrite dans le texte est: 

\hspace*{1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.8)(6,1.2)
\Rnode{E}{E} \hskip 4cm \Rnode{F}{F}%               définition des sommets
\psset{nodesep=3pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%    paramètres
\ncarc{->}{E}{F} \Aput{0,20}%                       arc pondéré partant de E
\ncarc{->}{F}{E} \Aput{0,10}%                       arc pondéré partant de F
\nccircle[angleA=90]{->}{E}{4mm}   \Bput{0,80}%     boucle autour de E
\nccircle[angleA=-90]{->}{F}{.4cm} \Bput{0,90}%     boucle autour de F
\end{pspicture}

\item %Donner la matrice de transition $M$ associée en prenant les sommets dans l'ordre E puis F. 

La matrice de transition $M$ associée fait passer de l'état $n$ à l'état $n+1$: \\
$P_{n+1} = P_n \times M \iff 
\begin{pmatrix}e_{n+1} & l_{n+1} \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}e_{n} & l_{n} \end{pmatrix} \times M
$.

D'après le graphe, on peut dire que:
$\left\lbrace 
\begin{array}{l @{\ =\ } l}
e_{n+1} &  0,8\, e_n + 0,1\,l_n\\
l_{n+1} &  0,2\,e_n + 0,9\,l_n
\end{array}
\right. $

donc la matrice de transition est:
$M= \begin{pmatrix} 0,8 & 0,2 \\ 0,1 & 0,9 \end{pmatrix}$

\item %Montrer qu'en 2011, la proportion des étudiants de la promotion 2008 travaillant à l'étranger est de $30,475$\,\%. 

$2011=2008+3$ donc pour 2011, $n$ correspond à 3; on cherche $e_3$.

$P_1=P_0 \times M$; $P_2=P_1 \times M = P_0 \times M \times M = P_0 \times M^2$; \\$P_3 = P_2 \times M = P_0 \times M^2 \times M = P_0 \times M^3$.

\`A la calculatrice, on trouve 
$P_3 = \begin{pmatrix} \np{0,30475} & \np{0,69525} \end{pmatrix}$
donc $e_3 = \np{0,30475}$; on peut en déduire que, en 2008, la proportion des étudiants de la promotion 2008 travaillant à l'étranger est $30,475\,\%$.

\item 
L'état stable correspond à la matrice ligne 
$\begin{pmatrix} e & l \end{pmatrix}$
telle que

$\left\lbrace 
\begin{array}{l}
\begin{pmatrix} e & l \end{pmatrix} \times M = \begin{pmatrix} e & l \end{pmatrix}\\
e+l=1
\end{array}
\right. $

$\begin{pmatrix} e & l \end{pmatrix} \times M = \begin{pmatrix} e & l \end{pmatrix}
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l @{\ =\ } l}
0,8\,e + 0,1\,l & e\\
0,2\,e + 0,9\,l & l
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
-0,2\,e + 0,1\,l & 0\\
0,2\,e - 0,1\,l & 0
\end{array}
\right. 
\iff
0,2\,e = 0,1\,l
\iff
2\,e = l$

$\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
2\,e  & l\\
e + l & 1
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
2\,e  & l\\
e + 2\,e & 1
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r @{\ =\ } l}
l  & \frac{2}{3}\\[5pt]
e  & \frac{1}{3}
\end{array}
\right.$

L'état stable est 
$\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$.

Cela signifie qu'à long terme, un tiers des étudiants partent travailler à l'étranger tandis que deux tiers restent travailler en France.


\end{enumerate}



\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}%         \subsection{partie B}

%\medskip
% 
%\parbox{0.45\linewidth}{Pour clôturer cette journée, un groupe de lycéens musiciens a décidé d'organiser un concert. 
%Ils décident de faire le tour de tous les lycées de la ville et de distribuer des prospectus sur le trajet pour faire de la publicité pour cette soirée. 
%Les membres du groupe ont établi le graphe ci-contre. Les sommets représentent les différents lycées et les arêtes, les rues reliant les établissements. Les arêtes sont pondérées par les durées des trajets entre deux sommets consécutifs, exprimées en minutes.}\hfill
%\parbox{0.52\linewidth}{\psset{unit=0.6cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(10,9)
%%\psgrid
%\cnodeput(0.5,5.5){A}{A}
%\cnodeput(2.5,8.5){B}{B}
%\cnodeput(4.5,7){C}{C}
%\cnodeput(2.5,2){D}{D}
%\cnodeput(6.5,3.5){E}{E}
%\cnodeput(8.2,8.5){F}{F}
%\cnodeput(9.5,0.5){G}{G}
%\ncline{A}{B}\ncput*{16}\ncline{A}{D}\ncput*{30}\ncline{G}{D}\ncput*{60}\ncline{G}{F}\ncput*{28}\ncline{B}{F}\ncput*{40}
%\ncline{B}{D}\ncput*{36}\ncline{C}{D}\ncput*{32}\ncline{C}{E}\ncput*{15}\ncline{C}{F}\ncput*{27}\ncline{E}{F}\ncput*{30}
%\ncline{D}{E}\ncput*{29}\ncline{G}{E}\ncput*{33}
%\end{pspicture}
%\end{center}} 

\begin{enumerate}
\item %Existe- t -il un trajet d'un lycée à un autre permettant de parcourir toutes les rues une fois et une seule ? 

%Si oui, donner un tel trajet, si non expliquer pourquoi. 

On cherche un trajet d'un lycée à un autre permettant de parcourir toutes les rues une fois et une seule, c'est-à-dire une chaîne eulérienne du graphe proposé dans le texte. 

On sait qu'il existe une chaîne eulérienne dans un graphe convexe si le nombre de sommets de degré impair est 0 ou 2.

Ce graphe a 4 sommets de degré impair : B (de degré 3), C (de degré 3), D (de degré 5) et G (de degré 3).

Donc il n'y a pas de trajet d'un lycée à un autre permettant de parcourir toutes les rues une fois et une seule.

\item %Arrivé en retard au lycée A, un membre du groupe veut trouver le chemin le plus rapide pour rejoindre ses camarades au lycée G. Quel trajet peut-il prendre ? Quelle est alors la durée du parcours ? 

On applique l'algorithme de Dijkstra pour trouver le plus court chemin reliant A à G:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\def\esp{0.3cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline 
\hspace*\esp A \hspace*\esp & \hspace*\esp B \hspace*\esp  & \hspace*\esp C \hspace*\esp  & \hspace*\esp D \hspace*\esp  & \hspace*\esp E \hspace*\esp  & \hspace*\esp F \hspace*\esp  & \hspace*\esp G \hspace*\esp  & on garde \\ 
\hline 
0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & 	 \\ 
\hline 
  & \fcolorbox{yellow}{yellow}{16} & $\infty$ & 30 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & B(A) \\ 
\hline 
 &  & $\infty$ & \sout{52} & $\infty$ & 56 & $\infty$ &  \\
 &  &          & \fcolorbox{yellow}{yellow}{30} & & & & D(A) \\ 
\hline 
 & & 62 &  & 59 & \fcolorbox{yellow}{yellow}{56} & 90 & F(B) \\ 
\hline 
 &  & \sout{83} &  & \sout{86} &  & \sout{90} &  \\
 &  &     62    &  &  \fcolorbox{yellow}{yellow}{59} & & 84 & E(F)\\
\hline 
 &  & \sout{74} &  &  &  & \sout{92} &  \\ 
 &  &    \fcolorbox{yellow}{yellow}{62} & & & & 84 & C(E)\\
\hline 
 &  &           &  &  &  & \fcolorbox{yellow}{yellow}{84} & G(F)\\
\hline
\end{tabular} 
}

\end{center}

\medskip

Le trajet le plus rapide reliant A à G est donc:
A $\stackrel{16}{\longrightarrow}$ B $\stackrel{40}{\longrightarrow}$ F $\stackrel{28}{\longrightarrow}$ G

Il a une durée de $16 + 40 + 28 = 84$ minutes soit 1 heure et 24 minutes.

\end{enumerate} 

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}%   \section{exercice 3}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{PARTIE A}%    \subsection{partie A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-10~;~30]$ par 
$f(x) = 5 + x \text{e}^{0,2x - 1}$.
 
\begin{enumerate}

\item %Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 

Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-10~;~30]$:

$f'\(x\)=1\times \e^{0,2x-1} + x \times 0,2 \times \e^{0,2x-1} = \(0,2x+1\)\e^{0,2x-1}$

\item %En déduire le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[-10~;~30]$. 

Pour tout réel $x$, $\e^{0,2x-1}>0$ donc $f'\(x\)$ est du signe de $0,2x + 1$.

$0,2x + 1 > 0 \iff 0,2x > -1 \iff x > \dfrac{-1}{0,2} \iff x > -5$

\begin{tabular}{@{} l l}
Donc la fonction $f$ est: & \textbullet $\quad$ strictement décroissante sur $[-10~;~-5]$ \\ 
 & \textbullet $\quad$ strictement croissante sur $[-5\:;\:30]$ \\ 
\end{tabular} 


\item %Justifier que l'équation $f(x) = 80$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [0~;~20] et donner un encadrement de $\alpha$ à $0,1$ près. 

$f\(0\)= 5$ et $f\(20\) \approx 406,7 > 80$

La fonction $f$ est strictement croissante sur $[-5~;~30]$ donc sur $[0~;~20] \subset [-5~;~30]$.


On établit le tableau de variations de $f$ sur $[0~;~20]$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c | c c c |}
\hline
x & 0 & \hspace*{2cm} & 20\\
\hline
 &  &  & \Rnode{max}{406,7}  \\
f\(x\) & & &  \\
 & \Rnode{min}{5} &  & 
\ncline{->}{min}{max}
\rput(-1.8,0.55){\Rnode{sol}{\fcolorbox{white}{white}{\red 80}}} 
\rput(-1.8,1.6){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
\ncline[linecolor=red, linestyle=dotted]{alpha}{sol}
 \\
 \hline 
\end{array}$}
\end{center}

Donc l'équation $f\(x\)=80$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~20]$.

$\left. 
\begin{array}{@{} l}
f\(13\) \approx 69,4 < 80\\
f\(14\) \approx 89,7 > 80
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow \alpha \in [13~;~14]
$;
$\left. 
\begin{array}{@{} l}
f\(13,5\) \approx 78,9 < 80\\
f\(13,6\) \approx 80,9 > 80
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow \alpha \in [13,5~;~13,6]
$



\item Soit $F$ la fonction définie sur $[-10~;~30]$ par 
$F(x) = 5(x - 5) \text{e}^{0,2x - 1} + 5x$.
 
On admet que $F$ est une primitive de $f$ dans l'intervalle $[-10~;~30]$.  

	\begin{enumerate}

		\item %Calculer la valeur exacte de $I = \displaystyle\int_{5}^{10} f(x)\:\text{d}x$. 

D'après le cours: $I = \displaystyle\int_{5}^{10} f(x)\:\text{d}x = F\(10\)-F\(5\)$

$F\(10\)=5\(10-5\)\e^{0,2\times 10-1}+5\times 10 = 25 \e+50$;\\ 
$F\(5\)=5\(5-5\)\e^{0,2\times 5-1}+5\times 5 = 25$

Donc $I=\(25 \e+50\)-25 = 25 \e + 25$

		\item %En déduire la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [5~;~10]. (On donnera une valeur arrondie au centième.)

La valeur moyenne de la fonction $f$ entre 5 et 10 est\\
$\dfrac{1}{10-5} \integ{5}{10} f\(x\) \d x = \dfrac{1}{5}\,I$.

Donc la valeur moyenne vaut: $\dfrac{25\e +25}{5} = 5\e + 5 \approx 18,59$.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{PARTIE B}%        \subsection{partie B}

\begin{enumerate}

\item %Calculer $f(0)$ et interpréter le résultat. 
$f\(0\)=5$ correspond au nombre de magasins existant en $2010+0$, c'est-à-dire en 2010.


\item %En utilisant la partie A, indiquer à partir de quelle année la chaîne possédera 80 boutiques. 

La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0\:; 20]$ et $f\(\alpha\)=80$; donc si $x>\alpha$, alors $f\(x\)>80$.

Or $\alpha \approx 13,5$, donc à partir de $x=14$, $f\(x\)$ est supérieur à 80. 

La chaîne possèdera 80 boutiques à partir de l'année $2010+14$ soit 2024. 

\item %Chaque magasin a un chiffre d'affaires journalier moyen de \np{2500}~euros.
 
%Si on considère qu'un magasin est ouvert $300$~jours par an, calculer à la centaine d'euros près, le chiffre d'affaires annuel moyen que le styliste peut espérer pour l'ensemble de ses boutiques entre 2015 et 2020. 

Les années 2015 et 2020 correspondent à $x=5$ et $x=10$; dans l'intervalle $[5~;~10]$ on a vu que la valeur moyenne de la fonction $f$ était  de $18,59$ ce qui veut dire qu'on peut estimer que la chaîne possédait en moyenne $18,59$ magasins par an sur cette période.

Chaque magasin est ouvert 300 jours par an et a un chiffre d'affaires journalier moyen de \np{2500}\,\euro{}, le chiffre d'affaires annuel moyen peut être estimé à:

$18,59 \times 300 \times \np{2500} = \np{13942500}$ \euro

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}%    \section{exercice 4}

\textbf{Commun à tous les candidats}
 
\begin{enumerate}
\item% Quel est le nombre d'exposants attendu pour 2013 ? 

Le nombre d'exposants en 2013 est $u_1$.

On prend 90\,\% de $u_0=110$, ce qui donne 99 et on ajoute 30, ce qui donne 129. 
Le nombre d'exposants attendus en 2013 est 129. 

\item% Justifier que, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = 0,9u_{n} + 30$. 

Pour déterminer $u_{n+1}$, on prend 90\,\% de $u_n$; prendre 90\,\% revient à multiplier par $0,9$. Puis on ajoute 30 au résultat, ce qui donne $0,9\,u_n+30$.

Donc, pour tout entier $n$, $u_{n+1}=0,9\,u_n + 30$.

\item 
On complète l'algorithme pour qu'il permette de déterminer l'année à partir de laquelle le nombre d'exposants dépasse 220:

\medskip

\begin{tabular}{|l l} 
\textbf{Variables :} &$u$ est un nombre réel \\
					&$n$ est un nombre entier naturel\\
					&\\ 
\textbf{Initialisation :} &Affecter à $u$ la valeur {\red 110}\\
					& Affecter à $n$ la valeur 2012 \\
					&\\
\textbf{Traitement :}& Tant que {\red $u < 220$}\\ 
					&\hspace{1.25cm}Affecter à $u$ la valeur {\red $0,9\,u+30$}\\
					&\hspace{1.25cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
					&\\ 
\textbf{Sortie :} 	&Afficher {\red $n$}\\
\end{tabular}

\medskip
 
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_{n} = u_{n} - 300$. 
	\begin{enumerate}
	
		\item %Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,9$. 
$v_{n+1}=u_{n+1}-300 = 0,9\,u_n + 30 - 300 = 0,9\,u_n -270$

$v_{n} = u_{n} - 300 \iff u_n=v_n+300$

Donc $v_{n+1}=0,9\(v_n+300\) -270 = 0,9\,v_n +270 - 270 = 0,9\,v_n$

$v_0=u_0 - 300 = 110 - 300 = -190$

On a donc démontré que la suite $\(v_n\)$ était géométrique de raison $q=0,9$ et de premier terme $v_0=-190$.



		\item %En déduire que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} = - 190 \times  0,9^n + 300$. 

D'après le cours, on peut en déduire que, pour tout $n$: \\$v_n=v_0\times q^n = -190 \times 0,9^n$.

Or $u_n=v_n+300$ donc, pour tout $n$, $u_n=-190\times 0,9^n +300$.


		\item %Déterminer le résultat recherché par l'algorithme de la question 3 en résolvant une inéquation.
L'algorithme permet de déterminer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle 	$u_n>220$. 

On résout donc l'inéquation $u_n>220$:

$
\begin{array}{@{} l @{\ \iff\ } l @{\ \iff\ } l }
u_n>220 & -190\times 0,9^n +300 >220 & 80 > 190\times 0,9^n \\
 &  \dfrac{80}{190} > 0,9^n & \ln\(\dfrac{80}{190}\) > \ln\(0,9^n\) \\[8pt]
 &  \ln\(\dfrac{80}{190}\) > n\,\ln\(0,9\) & \dfrac{\ln\(\dfrac{80}{190}\)}{\ln\(0,9\)} < n\\
 \end{array}$ 

\emph{Dans cette succession d'équivalences, on a utilisé le fait que la fonction $\ln$ était strictement croissante, puis le fait que $\ln \(0,9\)$ était négatif ce qui faisait changer le sens de l'inégalité quand on a divisé par $\ln\(0,9\)$.}

\smallskip

Or 	$\dfrac{\ln\(\dfrac{80}{190}\)}{\ln\(0,9\)}	\approx 8,2$ donc le résultat recherché par l'algorithme est $n=9$.

\emph{\`A la calculatrice, on trouve $u_8 \approx 218,2$ et $u_9 \approx 226,4$.}
	\end{enumerate} 
	
	
\item% L'organisateur décide d'effectuer une démarche auprès de la mairie pour obtenir assez de place pour ne jamais refuser d'inscriptions. Il affirme au maire qu'il suffit de lui autoriser $300$ emplacements. A-t-il raison de proposer ce nombre ? Pourquoi ? 

La suite $\(v_n\)$ est géométrique de raison $0,9$; or $-1<0,9 < 1$ donc la suite $\(v_n\)$ est convergente et a pour limite 0.

Comme pour tout $n$, $u_n=v_n+300$, on peut dire que la suite $\(u_n\)$ est convergente et a pour limite 300.

De plus, en calculant quelques termes de la suite $\(u_n\)$, on peut conjecturer que cette suite est croissante.

La suite $\(u_n\)$ est croissante et admet pour limite 300, donc tous ses termes sont inférieurs à 300. 

L'organisateur a donc raison de dire au maire qu'avec 300 emplacements, il aura assez de place pour ne pas refuser d'inscriptions.


\end{enumerate}


\end{document}

\newpage

%\section{graphique exercice 3}

\begin{center}
\psset{xunit=0.2cm, yunit=0.02cm}
\def\xmin {-15}   \def\xmax {35}
\def\ymin {-50}   \def\ymax {520}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[xunit=1cm,yunit=1cm,subgriddiv=1, griddots=10, gridlabels=0, gridcolor=black] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=0pt 0pt, labels=none]{->}%
                               (0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
%\uput[dl](0,0){$O$}
\multido{\i=-5+5}{9}{\uput[d](\i,0){\i}}
\multido{\i=0+50}{11}{\uput[l](0,\i){\i}}
%\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1) 
%\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
%\uput[dr](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$}
\def\f{5 x 2.7183 .2 x mul 1 sub exp mul add}% définition de la fonction
\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}