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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES/L }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small  20 juin 2014}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ 
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\ 
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée. 
Une réponse exacte rapporte $1$ point.\\ Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item L'arbre de probabilités ci-dessous représente une situation où $A$ et $B$ sont deux évènements, dont les évènements contraires sont respectivement notés $\overline{A}$ et $\overline{B}$. 

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm,labelsep=1pt,nodesepB=1.5pt,linecolor=blue]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{~$A$~}\naput{$0,6$}}
		{
\TR{$B$}\naput{$0,3$}
\TR{$\overline{B}$}\nbput{\ldots}
 		}
	\pstree{\TR{~$\overline{A}$~}\nbput{\ldots}}
		{
\TR{~$B$}\naput{$0,2$}
\TR{~$\overline{B}$}\nbput{\ldots}
 		}
}
\end{center}
Alors

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $P_{A}(B) = 0,18$& 
\textbf{b.~~} $P(A \cap B) = 0,9$& 
\textbf{c.~~} $P_{A}\left(\overline{B}\right) = 0,7$&
\textbf{d.~~} $P(B) = 0,5$
\end{tabularx}
\medskip 
\item Avec le même arbre, la probabilité de l'évènement $B$ est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 0,5& 
\textbf{b.~~} 0,18& 
\textbf{c.~~} 0,26& 
\textbf{d.~~} 0,38
\end{tabularx}
\medskip
 
\item On considère une fonction $f$ définie et continue sur l'intervalle [1~;~15]. Son tableau de variation est indiqué ci-dessous. 

\begin{center}
\psset{unit=.9cm} 
\begin{pspicture}(12,3)
\psset{linewidth=.75pt}
\psframe(12,3) \psline(1.5,0)(1.5,3) \psline(0,2)(12,2)
\rput(.75,2.5){$x$}\rput(2,2.5){$1$}\rput(3.5,2.5){$3$} \rput(5,2.5){$4$} \rput(8,2.5){$12$} \rput(11.5,2.5){$15$} 
\rput(.75,1){$f(x)$} \rput(2,1.6){\rnode{A}{$3$}} \rput(5,.4){\rnode{B}{$-2$}} \rput(8,1.6){\rnode{C}{{$-1$}}} \rput(11.5,.4){\rnode{D}{$-3$}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->}
\ncline{A}{B}\ncput*{0}  \ncline{B}{C}\ncline{C}{D}
\end{pspicture}
\end{center}
 
Soit $F$ une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~15]$. On peut être certain que : 

\begin{enumerate}
\item La fonction $F$ est négative sur l'intervalle $[3~;~4]$.
\item La fonction $F$ est positive sur l'intervalle $[4~;~12]$. 
\item La fonction $F$ est décroissante sur l'intervalle $[4~;~12]$. 
\item La fonction $F$ est décroissante sur l'intervalle $[1~;~3]$. 
\end{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$ :
 
l'équation $\ln x + \ln (x + 3) = 3 \ln 2$ est équivalente à l'équation : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $2x + 3 = 6$& 
\textbf{b.~~} $2x + 3 = 8$ &
\textbf{c.~~} $x^2 + 3x = 6$ &
\textbf{d.~~} $x^2 + 3x = 8$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item  $g$ est la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \dfrac{5}{x}$. 
 
On note $C$ sa courbe représentative.
 
L'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $C$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = 2$ et $x = 6$, est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $5 (\ln 6 - \ln 2)$& 
\textbf{b.~~} $\dfrac{1}{6-2}\displaystyle \int_{2}^6  g(x)\:\text{d}x$ &
\textbf{c.~~} $5 \ln 6 + 5 \ln 2$ &
\textbf{d.~~} $g(6) - g(2)$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi la spécialité et L}

\medskip
 
À l'automne 2010, Claude achète une maison à la campagne ; il dispose d'un terrain de \np{1500}~m$^2$ entièrement engazonné. Mais tous les ans, 20\,\% de la surface engazonnée est détruite et remplacée par de la mousse. Claude arrache alors, à chaque automne, la mousse sur une surface de 50m$^2$ et la remplace par du gazon.

\smallskip
 
Pour tout nombre entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la surface en m$^2$ de terrain engazonné au bout de $n$ années, c'est-à-dire à l'automne $2010 + n$. On a donc $u_{0} = \np{1500}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$. 
\item Justifier que, pour tout nombre entier naturel $n, \:\:u_{n+1} = 0,8 u_{n} + 50$. 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ par :  $v_{n} = u_{n} - 250$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique. Préciser son premier terme et sa raison. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 

En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, $u_{n} = 250 + \np{1250} \times  0,8^n$. 
		\item Quelle est la surface de terrain engazonné au bout de 4 années ?
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer par le calcul la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que : 
		
		\[250 + \np{1250} \times  0,8^n < 500\]
		 
Interpréter le résultat obtenu. 
		\item Compléter l'algorithme fourni en annexe 1 pour qu'il affiche la solution obtenue à la question précédente.
	\end{enumerate} 
\item Claude est certain que les mauvaises herbes ne peuvent envahir la totalité de son terrain.
 
A-t-il raison ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\bigskip
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline 
\textbf{Initialisation}	&\\ 
						&$u$ prend la valeur \np{1500}\\
						&$n$ prend la valeur 0\\
\textbf{Traitement}		&\\ 
						&Tant que \ldots \ldots\ldots 	faire \\
						&\hspace{0,3cm}	$u$ prend la valeur \ldots\ldots\ldots\\ 
						&\hspace{0,3cm}	$n$ prend la valeur \ldots \ldots\ldots	\\ 
						&Fin Tant que\\ 
\textbf{Sortie}			&\\
						& Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi la spécialité}

\medskip

Alice participe à une compétition de tir à l'arc ; elle effectue plusieurs lancers de flèches. 

Lorsqu'elle atteint la cible à un lancer, la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à $0,9$.
 
Lorsqu'elle a manqué la cible à un lancer, Alice se déconcentre et la probabilité qu'elle atteigne la cible au lancer suivant est égale à $0,4$. 

On suppose qu'au premier lancer, elle a autant de chances d'atteindre la cible que de la manquer.

 Pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on note : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] $a_{n}$ la probabilité qu'Alice atteigne la cible au $n$-ième lancer ;
\item[ ] $b_{n}$ la probabilité qu'Alice manque la cible au $n$-ième lancer ; 
\item[ ] $P_{n} = \begin{pmatrix} a_n & b_{n} \end{pmatrix}$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste au $n$-ième lancer.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (A représentant l'état \og Alice atteint la cible \fg{} et B l'état \og Alice manque sa cible \fg{}). 
		\item Indiquer la matrice de transition $M$ associée à ce graphe. On prendra les sommets A et B dans l'ordre (A,\: B). 
		\item Justifier que $P_{1} =  \begin{pmatrix} 0,5 &  0,5\end{pmatrix}$ et $P_{2} = \begin{pmatrix} 0,65 &  0,35\end{pmatrix}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre entier $n$ strictement positif,	$a_{n+1} = 0,9a_{n} + 0,4b_{n}$. 
		\item En déduire que, pour tout nombre entier $n$ strictement positif, $a_{n+1} = 0,5a_{n} + 0,4$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter l'algorithme fourni en annexe 1 de façon à ce qu'il affiche l'état probabiliste au $n$-ième lancer. 
		\item Déterminer l'affichage de cet algorithme pour $n = 5$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif par : $u_{n} = a_{n} - 0,8$. 

Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 
		\item Donner l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$, puis en déduire que pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, $a_{n} = 0,8 - 0,3 \times  0,5^{n-1}$.
		\item À long terme, que peut-on penser de la probabilité qu'Alice atteigne la cible ?		
		\item Par quelle autre méthode aurait-on pu trouver le résultat précédent ?		
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\bigskip

\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|lX|}\hline
\textbf{Entrées}&\\
&Saisir $n$\\
\textbf{Traitement}&\\
&$a$ prend la valeur 0,5\\
&$b$ prend la valeur 0,5\\
&Pour $i$ allant de 2 à $n$\\
&\hspace{0.3cm}$a$ prend la valeur \ldots \ldots $\times a + \ldots$\\
&\hspace{0.3cm}$b$ prend la valeur $1 - a$\\
&Fin Pour\\
\textbf{Sortie}&\\
&Afficher $a, b$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}


\medskip

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip
 
\textbf{Partie A :}

\medskip
 
Chaque jour, Antoine s'entraine au billard américain pendant une durée comprise entre 20 minutes et une heure. On modélise la durée de son entrainement, en minutes, par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[20~;~60]$.

\medskip
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $p$ pour que l'entrainement dure plus de $30$ ~minutes. 
\item Calculer l'espérance de $X$. Interpréter ce résultat
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip
 
\emph{Dans cette partie les probabilités seront, si besoin, arrondies au millième.}

\smallskip 

Les boules de billard américain avec lesquelles Antoine s'entraine sont dites de premier choix si leur diamètre est compris entre $56,75$~mm et $57,25$~mm ; sinon elles sont dites de second choix. 

\smallskip

On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au hasard dans la production de l'entreprise, associe son diamètre, en millimètres.
 
On suppose que $D$ suit la loi normale d'espérance $57$ et d'écart-type $0,11$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $p_{1}$ que la boule prélevée ait un diamètre inférieur à 57~mm. 
\item Déterminer la probabilité $p_{2}$ que la boule prélevée soit une boule de premier choix. 
\item En déduire la probabilité $p_{3}$ que la boule prélevée soit une boule de second choix.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C :}

\medskip 

Le président de la fédération française de billard (FFB) souhaite estimer le niveau de satisfaction de ses \np{14000}~licenciés quant à l'organisation des tournois.

\smallskip
 
Antoine estime que les $80$~adhérents de son club constituent un échantillon représentatif des licenciés de la FFB. Il est chargé de faire une étude au sein de son club : les 80~adhérents ont répondu, et $66$ ont déclaré qu'ils étaient satisfaits.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Quelle est, sur cet échantillon, la fréquence observée $f$ de personnes satisfaites de la FFB ? 
\item Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion $p$ de licenciés satisfaits de la FFB. Les bornes de l'intervalle seront arrondies au millième. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On injecte à un patient un médicament et on mesure régulièrement, pendant $15$~heures, la concentration, en grammes par litre, de ce médicament dans le sang.

\smallskip
 
On obtient la courbe fournie en annexe 2. 

\medskip

\textbf{A. Étude graphique }

\medskip
 
Avec la précision permise par le graphique, indiquer :

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item la concentration à l'instant initial ; 
\item l'intervalle de temps pendant lequel la concentration est supérieure ou égale à $0,4$~gramme par litre.
 
\emph{On fera apparaitre sur le graphique les traits de construction nécessaires.}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Étude théorique :}

\medskip 

On admet que la concentration peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~15]$ par $f(x) = (x + 2)\text{e}^{- 0,5x}$, où $x$ représente le nombre d'heures écoulées depuis l'instant initial et $f(x)$ la concentration, en grammes par litre, du médicament dans le sang. 
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Justifier que $f'(x) = - 0,5x\text{e}^{- 0,5x}$ et en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[0~;~15]$. 
\item Justifier que l'équation $f(x) =0,1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[0; 15]$. 
\item Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude un dixième. 
\item Un logiciel de calcul formel donne le résultat ci-dessous :
 
\begin{center}
{\ttfamily{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}c|>{\scriptsize}X >{\scriptsize}r|}\hline 
1 & deriver $((x+2) * \text{exp}(-0.5 * x))$ &\\ \hline 
  & & $\text{exp}(-0.5x)-0.5*\text{exp}(-0.5x)*(x+2)$\\ \hline
2 & deriver $(\text{exp}(-0.5*x)-0.5*\text{exp}(-0.5*x) * (x+2))$ & \\ \hline 
  & & $-\text{exp}(-0.5 *x) + 0.25 *\text{exp}(-0.5*x) *(x+2)$ \\ \hline 
3 & factoriser $(-\text{exp} (-0.5*x) + 0.25*\text{exp}(-0.5*x)*(x+2) )$ & \\ \hline 
  & & $(0.25 *x - 0.5)*\text{exp}(-0.5*x)$ \\ \hline
\end{tabularx}
}}
\end{center}

En vous appuyant sur ces résultats, étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~15]$ et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{C. Interprétation des résultats :}

\medskip 

En vous aidant des résultats obtenus, soit dans la partie B, soit par lecture graphique et sans justifier, répondre aux questions ci-dessous. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On estime que le médicament n'est plus actif lorsque la concentration est strictement inférieure à $0,1$~gramme par litre. Pendant combien de temps le médicament est-il actif ? 
\item Au bout de combien d'heures la baisse de concentration ralentit-elle ? 
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 2 à rendre avec la copie}

\bigskip
 
\psset{xunit=0.7cm,yunit=3.5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1.1,-0.2)(16,2.3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.2](0,0)(-0.9,-0.18)(16,2.3)
\multido{\n=0.0+0.2}{12}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(16,\n)}
\multido{\n=0+1}{16}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,2.3)}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{0}{15}{x 2 add  2.71828  x .5 neg  mul exp mul}
\uput[dl](16,-.2){Temps (en heure)}
\uput[ur](0,2.2){Concentration (g/L)}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}