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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 23 juin 2010}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole 23 juin 2010~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ 
Une seule réponse par question est acceptée et \textbf{aucune justification n'est demandée.}\\
Une bonne réponse rapporte un point.\\ 
Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. 
\textbf{Indiquer sur la copie le numéro} de la question \textbf{et la réponse choisie.} correspondante.} 

\bigskip

\textbf{Question 1}
 
Le nombre $-3$ est solution de l'équation :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
$\ln x = - \ln 3$& 	$\ln \left(\text{e}^{x}\right) = -3$& 
$\text{e}^{\ln x} = - 3$&$\text{e}^{x} = - 3$\\
\end{tabularx}
\medskip 

\textbf{Question 2}

La limite en $+\infty$ de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[$ par $f(x) = \dfrac{- 2x^3 + 3x}{(2x - 1)^3}$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
$- \infty$& 	$+ \infty$& 
$- 1$&$- \dfrac{1}{4}$\\
\end{tabularx}
\medskip  

\textbf{Question 3}
 
Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = 3\ln x - 2x + 5$.
 
Dans le plan muni d'un repère, la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ en son point d'abscisse 1 admet pour équation :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
$y = x + 2$& 	$y = - x + 4$& 
$y = 3x + 1 $&$y = x + 3 $\\
\end{tabularx}
\medskip  

\textbf{Question 4} 

Un jeu consiste à lancer une fois un dé cubique non pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

\textbf{Un joueur donne 3 euros} pour participer à ce jeu.
 
Il lance le dé et on lit le numéro inscrit sur la face supérieure de ce dé :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si le numéro est 1, le joueur reçoit 10 euros, 
\item[$\bullet~$] si le numéro est 2 ou 4, il reçoit 1 euro, 
\item[$\bullet~$] sinon, il ne reçoit rien.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
À ce jeu, l'espérance mathématique du gain algébrique, exprimée en euros, est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
$1$& 	$0$& 
$-1$&$-2$\\
\end{tabularx}
\medskip  

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Une entreprise a équipé chacun de ses employés d'un seul ordinateur.
 
Pour le suivi de ses ordinateurs, l'entreprise fait appel à un même service de maintenance informatique.
 
Pour évaluer ce service, l'entreprise réalise une enquête et dispose ainsi, pour chaque employé, d'une fiche précisant la marque de son ordinateur et son avis sur le service de maintenance.

\medskip
 
Il y a trois marques d'ordinateurs Aliet, Balart et Celt.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 25\:\% des employés ont un ordinateur Aliet, 
\item[$\bullet~$] 40\:\% des employés ont un ordinateur Balart, 
\item[$\bullet~$] le reste des employés a un ordinateur Celt.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
L'enquête a fourni les résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  parmi les employés équipés d'un ordinateur Aliet, 90\:\% sont satisfaits du service de maintenance, 
\item[$\bullet~$]  parmi les employés équipés d'un ordinateur Balart, 65\:\% sont satisfaits du service de maintenance, 
\item[$\bullet~$]  parmi les employés équipés d'un ordinateur Celt, 80\:\% sont satisfaits du service de maintenance.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On choisit au hasard la fiche d'un employé de l'entreprise, chacune ayant la même probabilité d'être choisie.
 
On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $A$ l'évènement : \og La fiche choisie est celle d'un employé équipé d'un ordinateur Aliet \fg, 
\item[$\bullet~$] $B$ l'évènement : \og La fiche choisie est celle d'un employé équipé d'un ordinateur Balart \fg, 
\item[$\bullet~$] $C$ l'évènement : \og La fiche choisie est celle d'un employé équipé d'un ordinateur Celt \fg, 
\item[$\bullet~$] $S$ l'évènement : \og La fiche choisie est celle d'un employé satisfait du service de maintenance \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation. 
\item Calculer la probabilité que la fiche choisie soit celle d'un employé équipé d'un ordinateur Aliet et satisfait du service de maintenance. 
\item Démontrer que la probabilité que la fiche choisie soit celle d'un employé satisfait du service de maintenance est $0,765$. 
\item Sachant que la fiche choisie est celle d'un employé satisfait du service de maintenance, calculer la probabilité que cet employé soit équipé d'un ordinateur de la marque Celt.
 
\emph{Le résultat sera arrondi à $10^{-3}$.} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un équipementier fabrique pour une usine de l'industrie automobile deux types de sièges : un modèle \og luxe \fg{} et un modèle \og confort \fg.
 
Soit $x$ le nombre, exprimé en \textbf{centaines}, de sièges \og luxe \fg{} et $y$ le nombre, exprimé en centaines, de sièges \og confort \fg{} produits chaque mois.
 
La fonction coût mensuel de production est la fonction $F$ définie pour $x$ et $y$ appartenant à l'intervalle [0~;~3] par :
 
\[F(x,~y) = x^2 - 2x + y^2 - 4y + 6.\]
 
$F(x,~y)$ désigne le coût mensuel de production, exprimé en \textbf{dizaines de milliers} d'euros, pour $x$ \textbf{centaines} de sièges \og luxe \fg{} et pour $y$ \textbf{centaines} de sièges \og confort \fg. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Au mois de janvier 2010, l'équipementier a produit $120$~sièges \og luxe \fg{} et $160$sièges \og confort \fg. 
Justifier que le coût de production mensuel a été \np{12000}~euros. 
\item Vérifier que, $x$ et $y$ étant deux nombres réels, $x^2 - 2x + y^2 - 4y + 6 = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + 1$.
 
En déduire que le coût de production mensuel minimal est \np{10000}~euros.
 
Préciser pour quelles quantités mensuelles respectives de sièges \og luxe \fg{} et \og confort \fg{} produites ce coût de production est obtenu. 
\item À partir du mois de juillet 2010, la production mensuelle prévue de sièges est exactement $250$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $y = 2,5 - x$.
		 
Démontrer que, sous cette condition, le coût de production mensuel, exprimé en dizaines de milliers d'euros, est égal à $2x^2 - 3x + 2,25$. 
		\item On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~2,5] par $f(x) = 2x^2 - 3x + 2,25$. 
		
Dresser en le justifiant le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2,5]. 
		\item En déduire les quantités mensuelles respectives de sièges \og luxe \fg{} et \og confort \fg{} que l'équipementier doit produire à partir du mois de juillet 2010 pour minimiser le coût mensuel de production. Préciser ce coût minimal.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour $i$ nombre entier variant de $0$ à $8$, on définit le tableau suivant qui donne les valeurs du SMIC horaire brut, exprimé en euros, de 2001 à 2009 (source INSEE).

\medskip
 
On se propose d'en étudier l'évolution : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.6cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&2001	&2002	&2003	&2004	&2005	&2006	&2007	&2008	&2009\\\hline 
Rang de l'année : $x_{i}$&0		&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8\\ \hline 
SMIC horaire brut (en 
euros), $y_{i}$			&6,67 	&6,83 	&7,19	&7,61	&8,03	&8,27	&8,44 	&8,71	&8,82\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

Dans tout l'exercice les pourcentages seront arrondis à 0,01\,\% et les valeurs du SMIC horaire brut au centime d'euro.

\medskip

\textbf{Partie A : Observation des données}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour $i$ entier variant de $0$ à $8$, représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le plan muni 
d'un repère orthogonal défini de la façon suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on choisira 1~cm pour 1~année, 
\item[$\bullet~$] on graduera l'axe des ordonnées en commençant à $6$ et on choisira 5~cm pour 1~euro.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item Calculer le pourcentage d'augmentation de la valeur du SMIC horaire brut entre 2001 et 2009, 
\item Démontrer qu'une valeur approchée du pourcentage annuel moyen d'augmentation de la valeur du SMIC horaire brut entre 2001 et 2005 est 4,75\,\%.
\end{enumerate}

\vspace{0,75cm}
 
\emph{On observe sur le graphique un changement de tendance à partir de $2005$ : le pourcentage annuel moyen d'augmentation de la valeur du SMIC horaire brut est alors de $2,4$\,\% environ.\\ 
En supposant que cette nouvelle tendance se poursuive, on désire estimer la valeur du SMIC horaire brut en $2012$.\\ 
Dans la suite de l'exercice, on ne s'intéresse qu'au sous-nuage constitué des cinq derniers points $M_{4}$,\:$M_{5}$,\\
$M_{6}$,\:$M_{7}$ et $M _{8}$ du nuage précédent.}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Modélisation de la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)_{4 \leqslant i \leqslant 8}$  par un ajustement exponentiel}

\medskip
 
En observant le pourcentage annuel moyen d'augmentation de la valeur du SMIC horaire brut entre 2005 et 2009, on estime à $8,03 \times  1,024^n$ la valeur, exprimée en euros, du SMIC horaire brut pour l'année $2005 + n,~n$ désignant un entier naturel.
 
On considère que ce nouveau modèle reste valable jusqu'à l'année 2016.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer une estimation de la valeur du SMIC horaire brut en 2012. 
\item À partir de quelle année la valeur du SMIC horaire brut dépassera-t-elle 10 euros ? 
\end{enumerate} 

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{L'annexe 1 est à rendre avec la copie}

\medskip
 
Un nouveau modèle de mini-ordinateur portable est mis sur le marché. Soit $x$ la quantité d'appareils pouvant être vendus, exprimée en milliers.
 
La fonction d'offre de cet appareil est la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~35] par  :
 
\[f(x) = 153 \text{e}^{0,05x}.\]
 
Le nombre réel $f(x)$ désigne le prix unitaire en euros d'un appareil, proposé par les fournisseurs, en fonction de la quantité $x$, exprimée en milliers, d'appareils pouvant être vendus.
 
La fonction de demande de cet appareil est la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~35] par :

\[g(x) = - 116\ln (x + 1) + 504.\]
 
Le nombre réel $g(x)$ désigne le prix unitaire en euros d'un appareil, accepté par les consommateurs, en fonction de la quantité $x$, exprimée en milliers, d'appareils disponibles.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle [0~;~35]. 
		\item Démontrer que la fonction $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle [0~;~35]. 
		\item Les courbes représentatives respectives $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ des fonctions $f$ et $g$, tracées dans un repère orthogonal, sont fournies en annexe 1 \textbf{à rendre avec la copie.} 
		
Lire avec la précision autorisée par le graphique une valeur approchée des coordonnées de leur point d'intersection E.
	\end{enumerate} 
\item Afin de déterminer les coordonnées du point E de façon précise, on est amené à résoudre dans l'intervalle [0~;~35] l'équation $f(x) = g(x)$.
 
Pour cela, on considère la fonction $h$ définie sur l'intervalle [0~;~35] par $h(x) = f(x) - g (x)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $h$ sur l'intervalle [0~;~35].
		 
\emph{On pourra utiliser la question $1$.} 
		\item Démontrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $x_{0}$ dans l'intervalle [0~;~35]. 
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer l'arrondi de $x_{0}$ au millième. 
		\item On pose $y_{0} = f\left(x_{0}\right)$. En utilisant la question précédente, calculer l'arrondi de $y_{0}$ au centième. 
		\item Sachant que $y_{0}$ représente le prix unitaire d'équilibre de cet appareil, préciser ce prix à un centime d'euro près. Quel est le nombre d'appareils disponibles à ce prix ? 
	\end{enumerate}
\item On prendra dans cette question $x_{0} = 8,871$  et $y_{0} = 238,41$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~35]. 
		\item On appelle surplus des fournisseurs le nombre réel $S$ défini par la formule :
		 
\[S = x_{0} \times y_{0} - \int_{0}^{x_{0}} f(x)\:\text{d}x.\]
 
Hachurer, sur le graphique de la feuille annexe 1 \textbf{à rendre avec la copie}, le domaine du plan dont l'aire en unités d'aire est le nombre réel $S$.
 
Déterminer la valeur arrondie au millième du nombre réel $S$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 : à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

Exercice 4 : commun à tous les candidats

\bigskip

\psset{xunit=0.31cm,yunit=0.0124cm}
\begin{pspicture}(-2,-25)(37,925)
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\end{center}
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