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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small  juin 1995}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole juin 1995~\decofourright }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij. La courbe $\mathcal{C}$ (voir figure ci-dessous) représente la fonction $f$ définie sur $\R$ par,
 
\[f(x) = (ax + b) \text{e}^x\]
 
où $a$ et $b$ sont deux nombres que l'on se propose de déterminer, en utilisant les informations lues sur la figure.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. 
		\item Déterminer graphiquement $f'(- 2)$ et en déduire une relation entre $a$ et $b$.
	\end{enumerate} 
\item En utilisant une valeur de la fonction lue sur le graphique trouver une autre relation entre $a$ et $b$.
 
Calculer $a$ et $b$ et écrire l'expression de $f(x)$ ainsi obtenue. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Préciser le minimum de la fonction $f$ ; on donnera la valeur exacte. 
		\item Discuter graphiquement, suivant les valeurs du réel $m$, le nombre de solutions de l'équation 

\[m = (x + 1) \text{e}^x.\]
 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-0.2)(0.1,1.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2]{->}(0,0)(-4,-0.2)(0.1,1.2)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{0.1}{2.71828 x exp 1 x add mul}
\uput[dl](0,0){O}\psline[linestyle=dashed](-2,0)(-2,-0.135)
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(-3,-0.135)(-1,-0.135)
\rput(-2,1.1){Courbe $\mathcal{C}$}\uput[d](0.1,0){$x$}\uput[l](0,1.2){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip 

Les deux tableaux ci-dessous regroupent des données sur le commerce extérieur relatif aux industries agro-alimentaires pour la période 1981-1991.

\medskip
 
\textbf{Premier tableau}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} 
\multicolumn{12}{c}{Exportations $x_{i}$ et importations $y_{i}$ (en milliards de F)}\\ \hline 
Année &1981 &1982 &1983 &1984 &1985 &1986 &1987 &1988 &1989 &1990 &1991\\ \hline 
$x_{i}$ \ldots&55,6&59,1 &65,1 	&76,1 &77,2 &73,8 &76,4 &89,2 &103,3 	&105,6 	&111,3\\ \hline 
$y_{i}$ \ldots& 45 &52,1 &60 	&67,8 &71,4 &69,4 &72 	&80,3 &89,4 	&88,9 	&95,2\\ \hline 
\multicolumn{12}{r}{\emph{Source : Tableaux de l 'économie française, $1993$}}\\
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Deuxième tableau}

\medskip
~
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} 
\multicolumn{12}{c}{Rang $t_{i}$ de l'année et solde $z_{i} = x_{i} - y_{i}$ (également en milliards de F)}\\ \hline 
Année 		  &1981 &1982 	&1983 	&1984 	&1985 	&1986 	&1987 	&1988 	&1989 	&1990 	&1991\\ \hline  
$t_{i}$\ldots &1 	&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7 		&8 		&9 		&10 	&11\\ \hline 
$z_{i}$\ldots &10,6 &7 		&5,1 	&8,3 	&5,8 	&4,4 	&4,4 	&8,9 	&13,9 	&16,7 	&16,1\\ \hline \multicolumn{12}{r}{\emph{Source : Tableaux de l 'économie française, $1993$}}\\
\end{tabularx}

\medskip

Aucun tableau de calculs n'est demandé dans cet exercice.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère la série double $\left(t_{i}~;~z_{i}\right)$ formée à partir du deuxième tableau. 
	\begin{enumerate}
		\item Faire une représentation graphique du nuage des points. On prendra en abscisses 1~cm pour 1~an (année de rang 0 à l'origine O) et en ordonnées 1~cm pour 1~milliard de francs (solde 4 à l'origine O). 
		
Un ajustement affine est-il approprié? On justifiera la réponse.  
		\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de cette série double.
	\end{enumerate}		 
\item On considère maintenant la série double $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ formée à partir du premier tableau. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de cette série. 
		\item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis avec deux décimales). 
		\item Déterminer en milliards de francs le montant prévisible (arrondi à l'unité près) des exportations lorsque le montant des importations aura atteint 100~milliards de francs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip 

Un boulanger fabrique des pains de campagne qui doivent peser, en théorie, 600~grammes. 

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur les poids possibles des pains de campagne, exprimés en grammes et arrondis à 10~grammes près.
 
Le tableau suivant indique la probabilité $p_{i}$ de l'évènement $X = x_{i}$ :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X = x_{i}$	& 580 	&590 	&600 	&610 	&620\\ \hline
$p_{i}$		&0,12	&0,25	&0,32	&0,27	&0,04\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Exemple de lecture, la probabilité qu'un pain choisi au hasard pèse 590 grammes est 0,25.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer l'espérance mathématique de $X$ et l'écart type de $X$.
\item Un client achète un pain de campagne. Quelle est la probabilité que son pain pèse au moins 600~grammes ? 
\item Un contrôleur du service de la Répression des fraudes entre dans la boulangerie et prélève, au hasard, dix pains de campagne. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité d'avoir exactement trois pains de 580 grammes ? 
		\item Quelle est la probabilité d'avoir au moins un pain de campagne de 580 grammes ? 
		\item Quelle est la probabilité d'avoir au plus un pain de campagne de  580 grammes ?
		 
On donnera les valeurs exactes puis des valeurs décimales approchées à $10^{-4}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip 
 
Une entreprise achète une machine \np{30000}~F. Elle peut la revendre au bout de $t$ années au prix de 
  
\[v(t) = \dfrac{30}{0,5 t + 1}\quad \text{pour}\quad  0 \leqslant  t \leqslant 8.\]
 
où $t$ est exprimé en années et $v(t)$ en milliers de francs (en abrégé kF). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Au bout de combien d'années la machine aura-t-elle perdu 
50\,\% de sa valeur à l'achat? 
		\item Quelle est sa valeur de revente au bout de 4 ans ?
		\item La différence, exprimée en kF, entre le prix d'achat de la machine et son prix de revente au bout de t années est, $D(t) = 30 - v(t)$. 

Montrer que $D$ est une fonction croissante sur l'intervalle [0~;~8].
	\end{enumerate} 
\item On peut exprimer le coût total d'entretien en kF, pour une durée 
de $t$ années d'utilisation, par 

\[E(t) = 2,5 \text{e}^{0,4t} - t - 2,5.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $E'(t)$, où $E'$ désigne la fonction dérivée de $E$. 
		\item En déduire que $E$ est une fonction croissante sur l'intervalle [0~;~8].
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le coût total (en kF) d'usage de cette machine est :
		
\[f(t) = D(t) + E(t)  = 27,5 - \dfrac{30}{0,5t + 1} + 2,5\text{e}^{0,4t} - t.\]
 
		\item Déduire des questions précédentes le sens de variation de $f$ sur [0~;~8].
		\item Tracer la courbe représentative $\Gamma$ de $f$, dans le plan muni d'un repère rectangulaire, avec pour unités : 2~cm pour une année sur l'axe des abscisses, 1~cm pour 4~kF sur l'axe des ordonnées.
		
On pourra utiliser les valeurs approchées suivantes :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash \small }X|}}\hline
$t$&0&1&2&3&4&4,5&5&6&7&8\\ \hline
$f(t)$&0&10,23&16,06&20,80&25,88&28,9,&32,40&41,56&54,94&74,83\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
	\end{enumerate}
\item Le coût moyen d'utilisation, en kF et au bout de $t$ années, est 
égal à 

\[U(t) = \dfrac{f(t)}{t}\quad  \text{avec} \:\: 1 \leqslant  t \leqslant 8.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $M$ le point d'abscisse $t$ de la courbe $\Gamma$. Montrer que $U(t)$ est le coefficient directeur de la droite (O$M$). 
		\item Déterminer graphiquement la valeur de $t$ pour laquelle $U(t)$ est minimum. 
		\item On admet que la fonction dérivée de $U$ peut s'écrire sous la forme $U'(t) = \dfrac{g(t)}{t^2}$, où $g$ est une fonction continue dont le tableau  de variation est le suivant :
		 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,3)
\psframe(10,3) \psline(0,2.5)(10,2.5) \psline(2,0)(2,3)
\psline{->}(2.5,2)(5.5,0.5) \psline{->}(6.5,0.5)(9.5,2)
\uput[u](1,2.5){$t$} \uput[u](2.2,2.5){$1$} \uput[u](6,2.5){$2,7$} \uput[u](9.8,2.5){$8$}  
\rput(1,1.25){$g(t)$}\uput[d](2.3,2.5){$- 3,0$}\uput[u](6,0){$- 6,8$}\uput[d](9.7,2.5){$118$}
\rput(8,1.25){$1$}
\end{pspicture} 
\end{center}

Montrer que $g$ s'annule en un point et un seul de [1~;~8], que l'on notera $a$.
 
On admettra que l'on a, $4,4 \leqslant a \leqslant 4,5$. 
		\item Dresser le tableau de variation de $U$ et vérifier que $U$ admet un minimum.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{document}