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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES juin}
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small{juin 2000}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole juin 2000~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau suivant, publié en août 1999 dans une revue économique,
 donne la part du temps partiel au sein de la population active (les valeurs pour 2000 et 2004 sont le résultat d'une estimation).

\[\begin{array}{||p{4.4 cm} | *{7}{c|} |}\hline
\text{Année} $x_i$						&1980	&1985	&1990	&1995&1997&2000	&2004\\ \hline
\text{Part du temps partiel en \%} $y_i$&8,3	&11		&12		&15,6&16,8&18	&20\\ \hline
\end{array}\]

On étudie la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ pour \boldmath$1980 \leqslant x_i \leqslant 1997.$
\unboldmath

Les calculs seront effectués à la calculatrice.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter dans un repère orthogonal le nuage de
 points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ pour $1980 \leqslant x_i \leqslant 1997$. On prendra : 
1 cm pour une part de 2\,\% en ordonnée, 2~cm pour 5~ans en abscisse en prenant pour origine le point (1980~;~0).

\item Déterminer les coordonnées de G, point moyen de la
 série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ . Le placer sur le graphique. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur arrondie à $10^{- 3}$ près du
 coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(x_i~;~y_i\right)$. Un ajustement affine est-il justifié ?

Dessiner cette droite sur le graphique.
		\item Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés ($a$ et $b$ arrondis à $10^{- 3}$ près). 
		\item Peut-on considérer que les estimations pour 2000 et 2004 faites par la revue ont été réalisées en utilisant l'équation obtenue à la question \textbf{3.  b.} ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}
	
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

En 1998 un  constructeur automobile français a vendu dans la catégorie
\og petites voitures \fg{} \np{283049}~véhicules  répartis de la façon suivante :
	
\np{86214} du modèle A, \np{166937} du modèle B,  le reste du modèle C.

Le constructeur estime que la probabilité de choix d'un de ces modèles
par un client ayant l'intention d'acheter une voiture de cette catégorie,
est égale à la fréquence de vente de ce modèle dans la catégorie \og petites voitures \fg{} de cette marque.

Les résultats seront arrondis à trois décimales.

\medskip
	
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité qu'un client acheteur choisisse le modèle B.

Quelle est la probabilité qu'il ne choisisse pas le modèle B ?
\item Trois clients achètent un véhicule dans la catégorie
\og petites voitures \fg{}, leur choix se fait de façon indépendante.
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de clients parmi
les trois qui achètent le modèle B.
	\begin{enumerate}
		\item Construire un arbre de probabilité et déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.		
	\end{enumerate}
\item Représenter la fonction de répartition de 
$X$
\item Quelle est la probabilité pour qu'au plus deux clients
sur les trois achètent un véhicule du modèle B ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Le système bancaire, recevant un dépôt initial  $S_{0} = $\np{50000}~F, en remet 80\,\% en circulation sous forme de prêts et en conserve 20\,\% (le montant de cette réserve sera notée $E_{0}$). L'activité économique se traduit par le fait que les sommes prêtées reviennent dans le système où elles apparaissent comme un nouveau dépôt $S_{1}$, dépôt qui sera traité selon le même processus  80\,\% remis en circulation, 20\,\% mis  en en réserve).

Le dépôt initial de \np{50000}~F engendre ainsi une suite $S_{n}$ de 
dépôts successifs et une suite $E_{n}$ de mises en réserve.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $S_{1}, S_{2}, E_{0}, E_{1}$, et $E_{2}$. 
		\item Exprimer $S_{n}$ à l'aide de $S_{n-1}$. 
		\item En déduire les expressions de $S_{n}$ et de $E_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item On fait le bilan après que la banque ait reçu les $n$
premiers dépôts $S_{0},\,\ldots,\, S_{n-1}$, (et ait procédé aux mises en réserve correspondantes).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer en fonction de $n$ la somme totale $D_{n}$ que la banque a reçue.		
		\item Calculer la somme totale $R_{n}$ que la banque a inscrite en réserve.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la limite $R$ de la suite 
$(R_{n})$ est égale au dépôt initial $S_{0}$. 
		\item Déterminer la limite $D$ dans la suite $(D_{n})$. Quelle est l'interprétation
de la différence $D - S_{0}$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $C_{m}$ la fonction définie sur [0 ; 6] par : 

\[C_{m}(q) = 0,8 + 4(1 -  2q)\text{e}^{- 2q}\]

Cette fonction traduit le coût marginal quotidien d'une usine pour la 
fabrication d'un produit chimique sous forme liquide, $q$ étant la quantité de produit exprimée en milliers de litres et $C_{m}(q)$ exprimé en milliers de francs.
 
Dresser le tableau de variations de $C_{m}$, la valeur de $C_{m}(1)$ figurera dans le tableau.
 
En déduire le signe de $C_{m}(q)$ sur [0~;~6].
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $g$ définie sur [0~;~6] par
$g(q) = 4q\text{e}^{- 2q}$ admet pour fonction dérivée la fonction définie 
par :

\[g'(q) = 4(1 - 2q)^{\text{e}-  2q}.\]

		\item Le coût marginal est assimilé à la fonction dérivée du coût total. Sachant que les coûts fixes $C_{T}(0)$ s'élèvent à un millier de francs, déterminer la fonction $C_{T}$ traduisant le coût total en fonction de $q$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les variations de $C_{T}$ sur [0~;~6] en
utilisant la question \textbf{1.}.
		\item Représenter la fonction coût total dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oijk{} (unité graphique 2~cm).
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le prix de vente de ce liquide est de 1,80~F par litre. La fabrication quotidienne est vendue en totalité.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter sur le graphique précédent la fonction
traduisant la recette quotidienne. 
		\item Montrer que le bénéfice noté $B(q)$ s'exprime par : 

\[B(q) = q - 1 - 4q\text{e}^{- 2q}.\]

	\end{enumerate}
\item Soit la fonction $h$ définie sur [0~;~6] 
par :

\[h(q) = 1,8 - C_{m}(q).\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $h$ en utilisant celles de $C_{m}$.
		\item Démontrer que l'équation $h(q) = 0$ a une unique solution $\alpha$ sur
[0; 1]. (On ne demande pas de calculer $\alpha$.)

		\item En déduire le signe de $h(q)$ pour $q \in [0 ; 6]$.

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la question précédente donner les
variations de $B$.

		\item Donner une valeur de $B(\alpha)$ avec deux décimales en prenant 0,28 comme valeur de $\alpha$.

Que représente cette valeur pour cette usine ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}