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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin  2001}} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole juin 2001~\decofourright}}\normalsize{}	
\end{center}
	
\vspace{0,5cm}	

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une université propose aux étudiants trois orientations et trois seulement : une filière A, une filière B et une filière C. Chaque étudiant de l'université est inscrit dans une des trois filières et une seule.

Les effectifs de la filière A sont le double de ceux de la filière B.

Les effectifs de la filière B sont le triple de ceux de la filière C.

On sait de plus que :

\setlength\parindent{9mm}
$20\,\%$ des étudiants de la filière A sont des filles ;

$30\,\%$ des étudiants de la filière B sont des filles ;

$40\,\%$ des étudiants de la filière C sont des filles.
\setlength\parindent{0mm}

On choisit au hasard un étudiant de cette université.

On note $A$ l'évènement \og L'étudiant est inscrit dans la filière A \fg. De même pour $B$ et $C$.

On note $F$ l'évènement \og L'étudiant est une fille \fg{} ;

$G$ l'évènement : \og L'étudiant est un garçon \fg.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Calculer les probabilités des évènements $A$, $B$, $C$ ; on vérifiera que $p(B) = 0,3$.
\item Calculer la probabilité que l'étudiant soit inscrit dans la filière A et soit une fille.
 
Montrer que $p(F) = 0,25$.
\item Calculer la probabilité que l'étudiant soit inscrit dans la filière  A sachant que c'est une fille.
\item L'étudiant, choisi au hasard, n'est pas inscrit dans la filière A.  Calculer alors la probabilité que ce soit une fille.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le prix de vente des terrains à bâtir dans la même commune rurale est
 donné par le tableau suivant :
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 							&1980 	&1985 	&1987 	&1990 	&1995 	&1997 	&2000  \\ \hline
Rang de l'année $x_i$ 			&0		&5		&	7	&10		&15		&17 	&20\\ \hline
Prix du m$^2$ en francs $y_i$	&58,8	&	60,9&62,1	&67,5	&71,7	&73 	&73,8\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Quelle est, en pourcentage, l'augmentation du prix du m$^2$ entre 1980 et 2000 ?
\item Représenter le nuage de points $M_i(x_i~;~y_i)$ dans un repère orthogonal
 où 5 cm représentent 10 ans en abscisse, 5 cm représentent 10 francs 
en ordonnée.
\item Déterminer le point moyen G du nuage et le placer sur le graphique.
\item Donner le coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(x_i~;~y_i\right)$ à 0,01 près.
 
On considère que ce coefficient justifie un ajustement affine par la
 méthode des moindres carrés. Écrire une équation de la droite
 d'ajustement affine de $y$ en $x$, notée (D) (les coefficients sont 
arrondis à 0,01).

Tracer (D).
\item Estimer à 1 millier de francs près le prix d'un terrain de \np{1500}~m$^2$ en 2003. 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un club de sport propose deux types d'abonnement non permutables.

\emph{Formule} A : une cotisation annuelle de 500 F à laquelle s'ajoute
 la première année seulement un droit d'entrée de \np{10000}~F.
 
\emph{Formule} B : une cotisation annuelle initiale de \np{1000}~F qui augmente de $10\,\%$ par an. Dès la seconde année, pour fidéliser la clientèle, on effectue une réduction de 50 F sur la cotisation annuelle. Si $C_n$, est le montant, exprimé en francs, de la cotisation annuelle la $n$-ième année, on a $C_1 = \np{1000}$, et pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on a $C_{n+1} = 1,1C_n - 50$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer la somme $T_n$ versée au club de sport par membre pendant $n$ années avec la formule A.
\item Soit $(D_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 par  
$D_n = C_n + \alpha$ où $\alpha$ est un réel.
 
Déterminer le réel $\alpha$ pour que la suite $(D_n)$ soit une suite géométrique de raison $1,1$ et préciser le terme initial de la suite.
\item On suppose dans cette question que $\alpha = - 500$.
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer $D_n$ puis $C_n$ en fonction de $n$.
		\item Soit $S_n$ la somme versée au club par un membre pendant $n$ années avec la formule B.

Montrer que $S_n = \np{5000}\left[(1,1)^n - 1\right] + 500 n$.
		\item Quel nombre minimum d'années un membre doit-il cotiser pour
que la formule A soit plus avantageuse que la formule B ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

On donne les fonctions $f$ et $g$, définies sur $[1~;~+ \infty[$  par : 

\[f(x) = 1,1x + \ln x - \ln (x + 1),\quad g(x) = 1,1x + \dfrac{1}{x}.\]

On désigne par ($\mathcal{C}$) et ($\mathcal{C}'$) leurs courbes représentatives respectives dans un repère orthonormal d'unité graphique 2~cm.
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier les variations de $f$ sur $[1~;~+~\infty[$.
    
Trouver la limite en +~ $\infty$ de $\ln \left(\dfrac{x}{x + 1}\right).$

En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item Montrer que la droite (D) d'équation $y = 1,1x$ est une asymptote
 de la courbe ($\mathcal{C}$). Étudier la position de ($\mathcal{C}$) par
 rapport à (D).
\item Tracer ($\mathcal{C}$) et (D).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Étudier les variations de $g$ sur $[1~;~
+ \infty$[ et la limite de $g$ en $+\infty$.
 \item Vérifier que la droite (D) est une asymptote
 de la courbe ($\mathcal{C}'$).
 
Quelle est la position de ($\mathcal{C}'$) par rapport à (D) ?
\item Tracer ($\mathcal{C}'$) dans le même repère que 
($\mathcal{C}$) et (D).
\item On pose $H(x) = (x + 1) \ln (x+ 1) -x \ln x$,
pour tout $x$ de $[1 ~;~ +~\infty[$.

Calculer $H'(x)$~ ; en déduire une primitive sur $[1 ~;~ +~\infty[$ de la
 fonction $i~:~x \mapsto g(x) - f(x)$.
 \item Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_1^5 \left[g(x) - 
f(x)\right]\:\text{d}x$.

En donner une interprétation graphique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Les fonctions $f$ et $g$ données plus haut modélisent respectivement la quantité d'objets produits par une entreprise et la quantité d'objets commandés à cette entreprise.
 
Plus précisément, si $t$ est la date exprimée en semaines, $f(t)$ est la quantité d'objets produits à la date $t$ en milliers et $g(t)$ la quantité d'objets commandés à cette même date en milliers.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Lorsque l'on a $f(t) > g(t)$, on dit que \og 
la demande est satisfaite à la date $t$ \fg.

Démontrer que la demande n'est jamais satisfaite.
\item On admet que le nombre total d'objets, en
 milliers, dont la demande n'est pas satisfaite entre les dates $n$ et $n'$ avec $n' > n$ est donné par
$\displaystyle\int_n^{n'} \left[g(t) - f(t)\right]\:\text{d}t$.
 
Donner, à un objet près, le nombre total d'objets dont la demande n'est 
pas satisfaite entre les dates 1 et 5.
\item On considère que \og le niveau de fabrication est suffisant \fg{} lorsque moins de 20 demandes d'objets ne sont pas satisfaites, c'est-à-dire lorsque l'on a : $g(t) - f(t) < 0,02$.

En admettant que $g - f$ est une fonction strictement décroissante sur
 $[1~;~+\infty[$, à partir de quelle date le niveau de fabrication est-il
 suffisant ?
\end{enumerate}
\end{document}