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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole juin 2004~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte. On demande de cocher cette réponse sur la feuille. Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.

Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.

\begin{center} \begin{tabular}{|l|l|}\hline
\textbf{QUESTIONS}& 	\textbf{RÉPONSES}\\
&	(à porter sur la feuille\\
&	ANNEXE 1)\\ \hline
\multicolumn{2}{|l|}{Pour les trois premières questions, $A$ et $B$ sont des 
évènements associés}\\ 
\multicolumn{2}{|l|}{ à une expérience aléatoire}\\ \hline
&	$\bullet$ $p(A)  = 1 + p(B)$\\
\multicolumn{1}{|l|}{\textbf{1.} Si $B$ est l'évènement contraire de $A$, alors}&	$\bullet$ $p(A) = 1 - p(B)$\\
&	$\bullet$ $p(A) = p(B)$\\ \hline
&	$\bullet$ $A \cap B = \emptyset$\\
\multicolumn{1}{|l|}{\textbf{2.} Si $A$ et $B$ sont deux évènements  
}&	$\bullet$ $p(A \cup B) = p(A) . p(B)$\\
indépendants et~$p(A) \neq 0$, alors&	$\bullet$ $p_A(B) = p(B)$\\ \hline
&$\bullet$	$p(A \cup B) = p(A) + p(B)$\\
\multicolumn{1}{|l|}{\textbf{3.} Si $A$ et $B$ sont deux évènements } & $\bullet$ $p(A) = 1 - p(B)$\\
incompatibles alors	&$\bullet$ $p(A \cap B) = 1$\\ \hline
& $\bullet$ $- \infty$\\
\multicolumn{1}{|l|}{\textbf{4.} Soit $a$ un nombre réel strictement positif}&
$\bullet$ $0$\\
$\displaystyle\lim_{x \to - \infty}  \ln(-ax+5)=$ &	$\bullet$ $+ \infty$\\ \hline
&	$\bullet$ une asymptote verticale\\
\multicolumn{1}{|l|}{\textbf{5.} La représentation graphique de la fonction }&$\bullet$ une asymptote horizontale\\
logarithme népérien  admet &	$\bullet$ une tangente horizontale\\ \hline
	&$\bullet$ $\R$\\
\multicolumn{1}{|l|}{\textbf{6.} $\text{e}^{\ln x} = x$ pour tout $x$ appartenant 
à} &$\bullet$ $]0~;~+ \infty[$\\
	&$\bullet$ $[ 0~ ;~ + \infty [$\\ \hline
&$\bullet$ $\text{e}^a - 2\text{e} + \text{e}$\\
\multicolumn{1}{|l|}{\textbf{7.} Soit un réel $a$.}&$\bullet$ $\text{e}^a - 2\text{e}$ \\
$\ln\left(\text{e}^a \right) - 2\text{e} + \ln (1) =$&$\bullet$ $a - 2\text{e}$\\ \hline
	&$\bullet$ $-ab$\\
\multicolumn{1}{|l|}{\textbf{8.} Soient $a$ et $b$ des réels strictement 
positifs,}&$\bullet$ $a - b$\\ 	
$\text{e}^{\ln a} + \text{e}^{-\ln b} =$ & $\bullet$ $\dfrac{ab +1}{b}$\\ \hline
& $\bullet$ $x \mapsto \dfrac{1}{\ln x}$\\
\multicolumn{1}{|l|}{\textbf{9.} Une primitive de la fonction logarithme  
} & $\bullet$ $x \mapsto x \times \ln x - x + 3$\\
népérien sur $[0~;~+ \infty[$& $\bullet$ $x \mapsto \ln \left(\dfrac{1}{x}\right) - 2$\\\hline
& $\bullet$ $x < 1$\\
\multicolumn{1}{|l|}{\textbf{10.} Pour tout réel $x$ strictement inférieur 
à 1,} &$\bullet$ $x < 1 - \text{e}$\\ 
$\ln (1 - x) > 1$ est équivalent à :& $\bullet$ $x > \text{e}$\\ \hline
\end{tabular} \end{center}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de 
spécialité}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout $x$ élément de $\R$ par

\[ f(x) =  \left(x^2 + 1\right)\text{e}^{-x+2}.\]

On note $\Gamma$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthogonal 
et D la droite d'équation 

$y = \dfrac{5}{2}x$.

On note $\mathcal{A}$ l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par la courbe $\Gamma$ , la droite D et la droite d'équation $x = 0$.

On note O, P, Q et R les points de coordonnées O(0~;~0), P(0~;~5), Q(2~;~5) et R$\left(0~;~\text{e}^2\right)$. (Voir la représentation ci-dessous).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Détermination d'un encadrement de l'aire $\mathcal{A}$
	\begin{enumerate}
		\item Montrer par le calcul que le point Q appartient à la droite D et à la courbe $\Gamma$ et que la courbe $\Gamma$ coupe l'axe des ordonnées au point R. 
		\item Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte des aires de chacun des triangles OPQ et OQR.
 
En déduire un encadrement de l'aire $\mathcal{A}$ en unités d'aire.
	\end{enumerate}
\item Calcul de la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer l'aire $\mathcal{A}$ à l'aide d'une expression faisant intervenir une intégrale. 
		\item Soit $G$ la fonction définie pour tout $x$ élément de $\R$ par 

\[G(x) = \left(-x^2 - 2x - 3\right)\text{e}^{-x+2}.\]

On note $G'$ la fonction dérivée de $G$ sur $\R$. 

Pour tout $x$ élément de $\R$, calculer $G'(x)$ en donnant les détails du calcul.

En déduire une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. 
		\item Déterminer la valeur exacte de $\mathcal{A}$. En donner une valeur approchée arrondie au centième. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\psset{xunit=3cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.2,0)(4,8)
\psgrid[gridlabels=0pt](0,0)(4,8)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(4,8)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{x 2 exp 1 add 2.71828 2 x sub exp mul}
\psline(2,5)(0,0)}
\uput[dr](0,0){O} \uput[ul](0,5){P} \uput[d](2,5){Q} \uput[l](0,7.389){R}
\psline(0,0)(3.2,8) 
\uput[d](3.1,7.6){D} \uput[u](1.1,5.4){\blue$\Gamma$} 
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{x 2 exp 1 add 2.71828 2 x sub exp mul}
\psgrid[gridlabels=0pt](0,0)(4,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{FORMULAIRE}

L'aire d'un triangle est donnée par : Aire = $\dfrac{\text{Base} 
\times \text{Hauteur}}{	2}$

$\bullet~$ La dérivée d'un produit de fonctions (sur des intervalles convenables) :
 $(uv)' = u'v + uv'.$

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

 On considère la courbe ci-dessous représentative d'une fonction $g$ définie et dérivable  sur l'intervalle I = ]0 ; 21].

\textbf{La courbe est à rendre avec la copie.}

\psset{xunit=5mm,yunit=2mm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-8)(21,27)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(-2,-8)(21,27)		\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-2,-8)(21,27)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{21}{x 4  mul 3 x ln sub mul 4 sub}
\psline(0,0)(21,21)
\psline(0,0)(3,24)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](14.608,0)(14.608,14.608)
\uput[d](1,0){1}
\end{pspicture}
\end{center}

La droite tracée sur le graphique est tangente à la courbe au point 
d'abscisse 1 et passe par l'origine. On prendra 7,4 comme valeur approchée
 du réel de l'intervalle I pour lequel $g$ atteint son maximum.

\begin{enumerate}
\item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle I.
 
Utiliser le graphique pour donner les valeurs de $g(1)$ et $g'(1)$. (Aucune
 justification n'est demandée).
\item Résoudre graphiquement dans l'intervalle I les trois inéquations 
ci-dessous (les valeurs lues sur le graphique seront données à $10^{-1}$ près).
 Aucune justification n'est demandée, mais pour l'inéquation (3) les éléments
 graphiques utiles seront portés sur la courbe

(1) : $g(x) \geqslant 0$ 

(2) : $g'(x)  \geqslant 0$ 

(3) : $g(x) < x$.

\item On admet que pour tout $x$ de l'intervalle I,~ $g(x) = - 4 + ax(3 - 
b \cdot \ln x)$ 
où $a$ et $b$ sont deux nombres réels. On veut calculer $a$ et $b$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ élément de l'intervalle I : $g'(x) = a\left[3 - b(1 + \ln x)\right]$.

Exposer le détail des calculs. 
		\item À l'aide des valeurs de $g(1)$ et $g'(1)$ obtenues
 à la question \textbf{1.}, calculer $a$ et $b$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

La subvention accordée par une entreprise à son club sportif était de 
\np{3000}~\euro{} pour l'année 1998.

Depuis 1998, L'évolution de la subvention en pourcentage d'une année à 
l'autre est celle décrite dans le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l| *{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&1999 		&2000		&2001		&2002		&2003\\ \hline
Évolution en pourcentage&+ $17\:\%$	&+ $15\:\%$ &+ $10\:\%$ &+ $9\:\%$	& $+ 6\:\%$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Par exemple, le taux d'évolution de la subvention de 2000 à 2001 est de 
$10\,\%$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Calculer, pour chacune des années, le montant de la subvention attribuée (en euro). Les résultats seront arrondis à l'unité. 
		\item Le responsable sportif se plaint d'une diminution continuelle des subventions depuis l'année 1999. Quelle confusion fait-il ? 
	\end{enumerate} 
\item On admet que le montant de la subvention en 2003 est de \np{5130}~\euro.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le pourcentage de diminution ou d'augmentation de la subvention de 1998 à 2003.
		\item Si le taux d'évolution de la subvention d'une année à l'autre était fixe et égal à $t\;\%$, quelle serait la valeur de $t$ arrondie à $10^{-3}$ près qui donnerait la même augmentation de la subvention entre 1998 et 2003 ? 
		\item Avec ce même taux d'évolution $t$, quelle serait la subvention, arrondie à l'unité, en 2004 ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Le graphe ci-dessous indique, sans respecter d'échelle, les parcours possibles
 entre les	sept bâtiments d'une entreprise importante.	
 
\vspace{0,8cm}
 
\psset{unit=0.9cm} \begin{center} \begin{pspicture}(11,6.2)
\pspolygon(0,3.9)(3.8,6.3)(8,6.3)(11,3.9)(8,1.7)(5.9,0)(3.8,1.7)
\psline(8,1.7)(3.8,1.7)(3.8,6.3)(8,1.7)
\psline(8,1.7)(8,6.3)(3.8,1.7)
\uput[l](0,3.9){A} \uput[ul](3.8,6.3){B} \uput[ur](8,6.3){C} 
\uput[r](11,3.9){D} 
\uput[dr](8,1.7){E} \uput[d](5.9,0){F} \uput[dl](3.8,1.7){G} 
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,5cm}

Un agent de sécurité effectue régulièrement des rondes de surveillance. 
Ses temps de parcours en minutes entre deux bâtiments sont les 
suivants :

 AB : 16~minutes AG : 12~minutes ; BC : 8~minutes  ; BE : 12~minutes ; BG : 
8~minutes ; CD : 7~minutes ; CE : 4~minutes ; CG : 10~minutes ; DE : 2~minutes 
; EF : 8~minutes ; EG : 15~minutes ; FG : 8~minutes.

 Sur chaque arête, les temps de parcours sont indépendants du sens de parcours.

\begin{enumerate}
\item En justifiant la réponse, montrer qu'il est possible que l'agent de sécurité passe une fois et une seule par tous les chemins de cette usine.
 Donner un exemple de trajet.
\item L'agent de sécurité peut-il revenir à son point de départ après avoir 
parcouru une fois et une seule tous les chemins ? Justifier la réponse.
\item Tous les matins, l'agent de sécurité part du bâtiment A et se rend au 
bâtiment D. 

En utilisant un algorithme que l'on explicitera, déterminer 
le chemin qu'il doit suivre pour que son temps de parcours soit le plus 
court possible, et donner ce temps de parcours.
\end{enumerate}
\end{document}