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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 15 juin 2006}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole 15 juin 2006~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-3~;~+\infty[$, croissante sur les intervalles $[-3~;~-1]$ et $[2~;~+\infty[$ et décroissante sur l'intervalle $[-1~;~2]$.

On note $f'$ sa fonction dérivée sur l'intervalle $[-3~;~+\infty[$.

La courbe $\Gamma$ représentative de la fonction $f$ est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal \Oij.

Elle passe par le point A$(-3~;~0)$ et admet pour asymptote la droite $\Delta$ d'équation $y =  2x - 5$.
 
\bigskip

\begin{center} 
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.5cm} 
\begin{pspicture}(-3,-6)(10,15)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange](0,0)(-3,-6)(10,15)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-3.,-6)(10,15)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[ul](-3,0){A} \uput[dr](0,-5){B} \uput[dr](2.5,0){C}
\uput[u](9.5,0){$x$} \uput[r](0,14.5){$y$}\uput[dl](0,0){O}
%\pscurve[linewidth=1.5pt,linecolor=blue](-3,0)(-2,4.5)(-1,6.5)(0,5.5)(1,3.75)(2,3)(3,3.3)(4,4.5)(5,6)(6,7.75)(7,9.4)(8,11.3)(9,13.2)(9.5,14.1)
%\savedata{\donnees}[{(-3,0)(-2,4.55)(-1,6.5)(0,5.45)(0.5,4.5)(1,3.75)(2,3)(3,3.33)(4,4.5)(5,6)(6,7.75)(7,9.4)(8,11.3)(9,13.2)(9.5,14.1)}]
%\dataplot[plotstyle=curve,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{\donnees}
\psline(-0.5,-6)(10,15)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{-3}{2}{x 3 exp 0.24 mul x dup mul 0.36 mul sub x 1.44 mul sub 5.4 add}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{10}{2.71828  1 0.5 x mul sub exp 4 mul  2 x mul add 5 sub}
\uput[d](8,11){$\Delta$} \uput[u](8,11.2){\blue $\Gamma$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
 
\textbf{Pour chacune des affirmations ci-dessous, cocher la case V (l'affirmation est vraie) ou la case F (l'affirmation est fausse) sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie.\\Les réponses ne seront pas justifiées.}
  
\medskip
  
\textbf{NOTATION :}  \emph{une réponse exacte rapporte} 0,5 \emph{point ; une réponse inexacte enlève $0,25$ point l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est} 0.

\medskip

\textbf{a.~~}  L'équation $f(x) = 4$ admet exactement deux solutions dans l'intervalle 

$[-3~;~ +\infty[$.

\textbf{b.~~}	$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  f(x) = +\infty$.

\textbf{c.~~}	 $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} [f(x) - (2x - 5)] = + \infty.$

\textbf{d.~~}$f'(0) = - 1$.

\textbf{e.~~}	 $f'(x) > 0$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[- 2~;~1]$.

\textbf{f.}	$\displaystyle\int_{-1}^1 f(x)\:\text{d}x \geqslant 7$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

La médiathèque d'une université possède des DVD de deux provenances, les DVD reçus en dotation et les DVD achetés. Par ailleurs, on distingue les DVD qui sont de production européenne et les autres.

On choisit au hasard un de ces DVD. On note :

$D$ l'évènement \og le DVD a été reçu en dotation \fg{} et $\overline{D}$ l'évènement contraire,

$U$ l'évènement \og le DVD est de production européenne \fg{} et $\overline{U}$ l'évènement contraire.
 
On modélise cette situation aléatoire par l'arbre incomplet suivant dans lequel figurent quelques probabilités par exemple, la probabilité que le DVD ait été reçu en dotation est $p(D) = 0, 25$.
 
\begin{center}\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
	\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{$D$}\taput{$0,25$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$U$}\taput{$0,65$}
 \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{U}$}\tbput{$$}
 		}
	\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$\overline{D}$}\tbput{$$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$U$}\taput{$$}
 \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{U}$}\tbput{$$}
 		}
}		
		 \end{center} 
		 
On donne, de plus, la probabilité de l'évènement $U$ : $p(U) = \np{0,7625}$.
		 
\bigskip
		 
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} sont indépendantes}

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner la probabilité de $U$ sachant $D$.
		\item Calculer $p\left(\overline{D}\right)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité que le DVD choisi ait été reçu en dotation et soit de production européenne (donner la valeur exacte).
		\item Montrer que la probabilité que le DVD choisi ait été acheté et soit de production européenne est égale à $0,6$.
	\end{enumerate}
\item Sachant que le DVD choisi a été acheté, calculer la probabilité qu'il soit de production européenne.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On choisit trois DVD au hasard. On admet que le nombre de DVD est suffisamment grand pour que ce choix soit assimilé à trois tirages successifs indépendants avec remise. On rappelle que la probabilité de choisir un DVD reçu en dotation est égale à $0,25$.

\smallskip

Déterminer la probabilité de l'évènement : \og exactement deux des trois DVD choisis ont été reçus en dotation \fg. (Donner la valeur décimale arrondie au millième).

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans une région de France supposée démographiquement stable, on compte 190 milliers d'habitants qui se déplacent en voiture pour aller travailler : les uns se déplacent seuls dans leur voiture, les autres pratiquent le co-voiturage. On admet que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  si une année un habitant pratique le co-voiturage, l'année suivante il se déplace seul dans sa voiture avec une probabilité égale à $0,6$ ;
\item si une année un habitant se déplace seul dans sa voiture, l'année suivante il pratique le co-voiturage avec une probabilité égale à $0,35$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\bigskip

\textbf{Première partie}

\medskip

On note C l'état \og pratiquer le co-voiturage \fg{} et V l'état \og se déplacer seul dans sa voiture \fg{}.
\begin{enumerate}
\item Dessiner un graphe probabiliste de sommets C et V qui modélise la situation aléatoire décrite.
\item En considérant C et V dans cet ordre, en ligne, la matrice de transition associée à ce graphe est M $= \begin{pmatrix}
0,40& 0,60\\
0,35& 0,65\\
\end{pmatrix}$. Vérifier que l'état stable du système correspond à la
matrice ligne $(70\quad  120)$.

En donner une interprétation.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

En 2000, 60 milliers d'habitants pratiquaient le co-voiturage et 130 milliers d'habitants se déplaçaient seuls dans leur voiture.

 On appelle $X_{n}$ ($n$ entier naturel) le nombre de milliers d'habitants qui pratiquent le co-voiturage durant l'année $2000 + n$. On a donc $X_{0} = 60$.
 
On admet que pour tout entier naturel $n,~ X_{n+1} = 0,05X_{n} + 66,5$.

On considère la suite $\left(U_{n}\right)_{n \in \N}$, définie pour tout entier naturel $n$ par $U_{n} = X_{n}  - 70$.
\begin{enumerate}
\item Prouver que la suite $\left(U_{n}\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n,~ X_{n} = 70 - 10 \times 0,05^n$.

Est-il possible que, durant une année, le nombre d'habitants pratiquant le co-voiturage atteigne la moitié de la population de cette région ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\begin{center} \textbf{Les deux parties de l'exercice sont indépendantes} \end{center}

Le tableau ci-dessous donne la consommation médicale (exprimée en milliards d'euros) de la population d'un pays :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{6}{c|}}\hline
Année			&	1990	&1995	&2000	&2001	&2002	&2003\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$&0	&5		&10		&11		&12		&13\\ \hline
Consommation $y_{i}$&38		&49,1	&51,81	&57		&62,7	&68,97\\ \hline
\multicolumn{7}{r}{D'après INSEE}
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

Le but de cette partie est de mettre en {\oe}uvre deux modélisations de cette consommation médicale.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Premier modèle}
	\begin{enumerate}
		\item On utilise un ajustement affine. Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Pour chacun des coefficients, donner la valeur décimale arrondie au centième.
		\item En supposant que l'évolution se poursuive selon ce modèle, en déduire une estimation de la consommation médicale en milliards d'euros pour l'année 2008 (donner la valeur décimale arrondie au centième).
	\end{enumerate}
\item \textbf{Deuxième modèle}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'accroissement relatif de la consommation médicale de l'année 2000 à l'année 2001, puis de l'année 2001 à l'année 2002 (donner la valeur décimale arrondie au dixième).
		\item À partir de l'année 2000, on modélise la consommation médicale par :
		
$y = 51,81 \times 1,1^n$ pour l'année $2000 + n$ avec $n$ entier naturel. En utilisant ce deuxième modèle, en déduire une estimation de la consommation médicale en milliards d'euros pour l'année 2008 (donner la valeur décimale arrondie au centième).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B : Réduction des dépenses}

\medskip

Pour l'année 2005, la consommation médicale réelle s'est élevée à 83,44 milliards d'euros. Il a été décidé de réduire les dépenses et de les ramener en 2006 à 69,79 milliards d'euros.

 De quel pourcentage (arrondi à 1\,\%) la consommation médicale doit-elle baisser pour atteindre cet objectif ?
 
\begin{center} \textbf{Rappel de définitions}\end{center}
 
On désigne par $a_{1}$ et $a_{2}$ des nombres réels strictement positifs $a_{2} > a_{1}$.

L'accroissement absolu de $a_{1}$ à $a_{2}$ est égal à $a_{2}  - a_{1}$.

L'accroissement relatif de $a_{1}$ à $a_{2}$ est égal $\dfrac{a_{2}  - a_{1}}{a_{1}}$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par

\[ f(x) = \text{e}^{x - 3} - \dfrac{1}{x + 4}\]

\bigskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, on note $f'$ sa fonction dérivée.

Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\item En déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to + \infty} f(x)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		\item On admet qu'il existe un unique nombre réel positif $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$.

Donner le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant (donner les valeurs décimales arrondies au dix-millième)
		
\[\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	&	$1,32$	& 	$1,325$&$1,33$\\ \hline
$f(x)$	&		&		&	\\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item En déduire la valeur décimale, arrondie au centième, du nombre $\alpha$ tel que $f(\alpha) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = \text{e}^{x - 3} - \ln (x  + 4)\]

	\begin{enumerate}
		\item La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On note $g'$ sa fonction dérivée. Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		\item Étudier le sens de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ en utilisant les résultats de la PARTIE A.
	\end{enumerate}
\item Calculer l'intégrale I $ = \displaystyle\int_{0}^3 f(x)\:\text{d}x$.

(Donner la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au centième).
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 1}

\vspace{1cm}
\textbf{Commun à tous les candidats}

\vspace{1cm}
\textbf{À rendre avec la copie}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{Pour chacune des affirmations ci-dessous, cocher la case V (l'affirmation est vraie) ou la case F (l'affirmation est fausse) sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie.\\
Les réponses ne seront pas justifiées.}
  
\medskip
  
\textbf{NOTATION :}  \emph{une réponse exacte rapporte} 0,5 \emph{point ; une réponse inexacte enlève} 0,25 \emph{point l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est} 0.

\vspace{2cm}

\begin{center}

\renewcommand{\arraystretch}{2.}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{9cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{AFFIRMATIONS}&	V&F\\ \hline
\textbf{a.~~}  L'équation $f(x) = 4$ admet exactement deux solutions&& \\
 dans l'intervalle  $[-3~;~+\infty[$.&& \\ \hline
\textbf{b.~~}	$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  f(x) = +\infty$.&& \\ \hline
\textbf{c.~~}	 $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} [f(x) - (2x - 5)] = + \infty.$&	& \\ \hline
\textbf{d.~~}$f'(0) = - 1$.&	&  \\ \hline
\textbf{e.~~}	 $f'(x) > 0$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à	&	&\\
 l'intervalle $[- 2~;~1]$.	&	&	\\ \hline
\textbf{f.~~}	$\displaystyle\int_{-1}^1 f(x)\:\text{d}x \geqslant 7$.\rule[-5mm]{0mm}{11mm}	&	&	\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document} 