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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small septembre 1997}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole septembre 1997~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1\hfill 5 points}

\medskip

Pour l'achat d'un nouveau matériel, un chef d'entreprise a réalisé un
 emprunt d'un coût total de \np{285000} francs sur cinq ans. À la fin de chaque mois, on note $y_i$ le montant en milliers de francs (en abrégé : kF) des bénéfices cumulés réalisés depuis l'achat du nouveau matériel.

Le tableau ci-dessous correspond au relevé des neuf premiers mois de 
remboursement :

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{| c | >{\centering \arraybackslash}X |}\hline
Rang $x_i$ du mois & Montant $y_i$ des bénéfices cumulés en kF\\ \hline
1 & 35\\ \hline
2 & 40 \\ \hline
3 & 46 \\ \hline
4 & 54 \\ \hline
5 & 65 \\ \hline
6 & 80 \\ \hline
7 & 90 \\ \hline
8 & 102 \\ \hline
9 & 120\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
N. B. - \emph{Dans cet exercice, aucun détail des calculs statistiques, à
 effectuer à la machine, n'est demandé.}\\ 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points
 $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal avec, pour unités
 graphiques : 1 cm en abscisses, 1 cm pour 10 kF en ordonnées, en faisant débuter la graduation sur l'axe des ordonnées à 30. 
\item Si on effectue un ajustement affine sur la série statistique considérée, on obtient l'équation : 

\[y = 10,66x + 16,88\]

comme équation de la droite de régression D de $y$ en $x$.

En admettant que la tendance décrite par D se maintienne, à partir de quel
mois l'emprunt sera-t-il amorti par les bénéfices assurés par l'achat du nouveau matériel ?
\item L'expérience prouve que l'hypothèse d'une croissance linéaire des bénéfices est trop optimiste. Dans cette question on va envisager une croissance plus lente.
	\begin{enumerate}
		\item On pose $t_i = \sqrt{x_i}$.

Représenter sous forme de tableau la série statistique $(t_i, y_i)$  pour les
 valeurs non entières de $t_i$ on prendra les valeurs décimales approchées à 
$10^{-2}$ près par défaut.
 
Un ajustement affine est-il envisageable pour cette série ?
		\item On procède à cet ajustement, les coefficients étant évalués à $10^{-2}$ près par défaut. Quelle relation obtient-on entre $y$ et $x$ ?
		\item En admettant la validité de la relation obtenue en b), l'emprunt sera-t-il amorti à son échéance ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Un sac contient des jetons indiscernables au toucher et marqués de l'une des trois lettres \og a \fg, \og b \fg{} et \og c \fg. Il y a autant de jetons marqués \og a \fg{} que de jetons marqués \og b \fg{} et que de jetons marqués \og c \fg.
 
On forme des \og mots \fg{} de trois lettres en tirant successivement trois jetons, le jeton tiré étant remis dans le sac avant d'effectuer le tirage suivant :
 
\og abc \fg, \og aaa \fg, \og cbc \fg, \og bca \fg sont des exemples de tels \og mots \fg. 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de mots différents
 qu'il est possible d'obtenir. 
\item Calculer la probabilité des évènements
 suivants :
 
$A$ \og le mot ne contient pas la lettre "a" \fg ;
 
$B$ \og le mot est formé de trois lettres distinctes \fg ;
  
$C$$ $\og le mot contient au moins deux fois la même lettre\fg ;
   
D \og la première et la dernière lettre sont identiques \fg.
    
N. B. - \emph{On donnera les résultats sous forme exacte}.
\item Déterminer les probabilités des deux évènements \og $A$ ou $B$ \fg et \og $A$ ou $D$ \fg.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}\hfill 5 points

\textbf{Enseignement de spécialité}

Un touriste revient de vacances avec 15 films :

2 films de photographies d'Italie ;

8 films de photographies de Grèce ;

5 films de photographies de Turquie.

Aucune marque distinctive ne permet d'identifier les films.

Pour des raisons financières le touriste ne fait développer à son retour que 11 de ces 15 films.

N.B. - \emph{On donnera les résultats sous forme décimale approchée à} 
$10^{-4}$ \emph{près}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien y a-t-il de choix différents
 possibles de 11 films parmi les 15 ?
\item Quelle est la probabilité que, parmi les
 11 films développés, il y ait :
	\begin{enumerate}
		\item Tous les films sur la Grèce ?
		\item Aucun film sur l'Italie ?
		\item Autant de films sur la Grèce que sur la Turquie ?
		\item Deux fois plus de films sur la Turquie que sur l'Italie ?
	\end{enumerate}
\item Le photographe, d'origine italienne, propose à son client de lui faire cadeau du développement des films sur l'Italie, s'il en trouve parmi les 11 films. On appelle $X$ la variable aléatoire \og nombre de films sur l'Italie développés \fg.

Déterminer la loi de probabilité de $X$ et son espérance mathématique.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
	
On considère la fonction numérique de variable réelle définie dans $[0, +\infty[$ par :

\[f(x) = 100(2x - 5)\text{e}^{-x}.\]

On note	$\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère \Oij.

Unités graphiques :  2~cm sur l'axe des abscisses, 1~cm sur l'axe des 
ordonnées. 
\medskip

\textbf{Partie A. étude de la fonction $f$}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ (on pourra écrire $f(x) = 
100\left(\dfrac{2x}{\text{e}^x} - \dfrac{5}{\text{e}^x}\right)$).

Quelle est l'interprétation graphique ?
\item Calculer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.\\
Dresser le tableau de variation de $f$.
\item Construire la partie de la courbe $\mathcal{C}$ correspondant aux points dont l'abscisse est comprise entre 2 et 8. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 4$ admet une solution et une seule 
$\alpha$ dans l'intervalle $\left[2~;~\dfrac{7}{2}\right]$.
On admettra que cette même équation admet une solution et une seule $\beta$ 
dans l'intervalle $\left[\dfrac{7}{2}~;~8\right]$. 
		\item Utiliser une calculatrice pour donner de $\alpha$ un encadrement 
décimal à $10^{-2}$ près.
		 
On admettra que $4,70 < \beta < 4,71$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B. Calcul de primitive}

\begin{enumerate}
\item Déterminer deux nombres $a$ et $b$ tels que la fonction $F$ définie dans $[0, 
+\infty[$ par~:  $F(x) = 100(ax + b)\text{e}^{- x}$ soit une primitive de $f$ sur  $[0~,~+\infty[$
\item Calculer la valeur exacte de 

\[I = \int_{3}^{6} f(x)\:\text{d}x.  \]

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C. Application}
 
\medskip

Le nombre $f(x)$ représente le bénéfice en milliers de francs que 
réalise une entreprise lorsqu'elle fabrique $x$ centaines de pièces (pour $x$ 
compris entre 2 et 8).

Par exemple, si l'entreprise fabrique 300 pièces, elle réalise un bénéfice de 

$f(3) \times \np{1000}$~F.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En utilisant si nécessaire la courbe $\mathcal{C}$ et les résultats 
de la partie \textbf{A}, déterminer :
	\begin{enumerate}
		\item Les quantités de pièces à produire pour que l'entreprise ne travaille pas à perte. 
		\item La quantité de pièces à produire pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximal que l'on précisera au 
franc près. 
		\item Les quantités de pièces à produire pour que l'entreprise réalise un bénéfice d'au moins \np{4000}~F.
	\end{enumerate}
\item Lorsque l'entreprise produit entré $300$ et $600$ pièces, elle réalise un bénéfice moyen qui, exprimé en milliers de francs, est égal à :
		
\[\dfrac{1}{3}\int_{3}^{6} f(x)\:\text{d}x.\]

Utiliser la partie \textbf{B} pour déterminer au franc près ce bénéfice moyen.
\end{enumerate}
\end{document}
