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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 14 septembre 2012}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole 14 septembre 2012~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions suivantes) une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ 
Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point.}
 
\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie correspondante.}

\medskip
 
La fonction $f$ est définie sur l'ensemble des nombres réels par 

\[f(x) = \text{e}^x - x + 1.\]:\index{Fonction exponentielle}

On admet qu'elle est dérivable sur l'ensemble des nombres réels.
 
On appelle $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal.

\medskip
 
\begin{enumerate}\index{Lectures graphiques}
\item L'image de $\ln 2$ par la fonction $f$ est : 

\begin{description}
\item[$\bullet~~$] $\dfrac{1}{2} + \ln 2$ 
\item[$\bullet~~$] $- 1 + \ln 2$ 
\item[$\bullet~~$] $3 - \ln 2$ 
\item[$\bullet~~$] $1 - 2\ln 2$ 
\end{description}
\item Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse 1 est :

\begin{description}
\item[$\bullet~~$] $\text{e} - 1$ 
\item[$\bullet~~$] e 
\item[$\bullet~~$] $1- \text{e}$ 
\item[$\bullet~~$]$0$
\end{description} 
\item La limite de la fonction $f$ en $- \infty$ est : 

\begin{description}
\item[$\bullet~~$] $- \infty$ 
\item[$\bullet~~$] $0$ 
\item[$\bullet~~$] $+ \infty$ 
\item[$\bullet~~$] $1$
\end{description} 
\item Une primitive sur l'ensemble des nombres réels de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur l'ensemble des nombres réels par :\index{Primitive}
 
\begin{description}
\item[$\bullet~~$] $F (x) = \text{e}^x -1$ 
\item[$\bullet~~$] $F (x) = \text{e}^x  - \dfrac{1}{2}x^2 + x$ 
\item[$\bullet~~$] $F (x) = \text{e}^{2x}  - \dfrac{1}{2}x^2 + x$ 
\item[$\bullet~~$] $F (x) = \dfrac{1}{2} \text{e}^{2x} - 1$ 
\end{description}
\item L'inéquation $f (x) \leqslant  1$ admet sur l'ensemble des nombres réels : 
\begin{description}
\item[$\bullet~~$] Aucune solution 
\item[$\bullet~~$] Une solution 
\item[$\bullet~~$] Deux solutions 
\item[$\bullet~~$] Une infinité de solutions
\end{description}
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

\bigskip

Le tableau ci-dessous donne la structure du parc automobile français (véhicules particuliers et véhicules utilitaires) au premier janvier de chaque année, entre 2001 et 2009, en millions de véhicules.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.7cm}|*{9}{@{}>{\centering \arraybackslash}X@{}|}}\hline 
Année						&2001	&2002& 2003&  2004&2005 & 2006 &2007 &2008 &2009\\ \hline\hline 
Rang $x_{i}$				& 1 	&2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7 	&8 	&9\\ \hline 
Nombre de voitures $y_{i}$	&\small 33,813 &\small 34,597 &\small 35,144 &\small 35,628 &\small 36,039 &\small 36,298 &\small 36,661 &\small 37,033 &\small 37,212\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize \emph{Source: CCFA (statistiques de la construction automobile) juin 2010}}\\
\end{tabularx} 
 
\medskip

Le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ pour $i$ entier variant de $1$ à $9$, est représenté ci-dessous dans un repère orthogonal. 

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm,yunit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(12,5)
\multido{\n=0.0+0.5}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,5)}
\multido{\n=0.00+0.25}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=33,Dy=0.5,comma=true](0,0)(12,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=33,Dy=0.5,labels=none]{->}(0,0)(12,5)
\psdots(1,0.813)(2,1.597)(3,2.144)(4,2.628)(5,3.039)(6,3.298)(7,3.661)(8,4.033) (9,4.212)
\end{pspicture}
\end{center}
 
\textbf{Partie A : un premier ajustement}
 
L'allure du nuage permet d'envisager un ajustement affine.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $D$ d'ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis à $10^{-3}$).:\index{Moindres carrés} 
\item Tracer sur l'annexe à rendre avec la copie, la droite $D$ d'ajustement affine. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : un deuxième ajustement}

\medskip
 
La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~13] par : 

\[f(x) = - 0,03x^2 + 0,712x + 33,222.\]
 
On suppose que $f$ modélise sur l'intervalle [1~;~13] l'évolution du nombre de véhicules du parc automobile exprimé en millions.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~13]. 
\item Tracer sur l'annexe à rendre avec la copie, dans le même repère, la courbe $C$ représentative de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : comparaison des deux ajustements}

\medskip

Le premier janvier 2010, le nombre de véhicules du parc automobile était de $37,438$ ~millions. Lequel de ces deux ajustements donne l'estimation la plus proche de la réalité ? 

\vspace{0,5cm}
\begin{center}
\textbf{\large Annexe de l'exercice 2 à rendre avec la copie}

\vspace{1.5cm}

\psset{xunit=0.85cm,yunit=1.7cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(14,5)
\multido{\n=0.0+0.5}{28}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,5)}
\multido{\n=0.00+0.25}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(13.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=33,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(13.5,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=33,Dy=0.5,comma=true](0,0)(13.5,5)
\psdots(1,0.813)(2,1.597)(3,2.144)(4,2.628)(5,3.039)(6,3.298)(7,3.661)(8,4.033) (9,4.212)
\end{pspicture}
\end{center}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Pour jouer sur internet à un certain jeu la souscription d'un abonnement annuel est obligatoire. 

À partir d'un sondage, on prévoit que :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item 80\:\% des abonnés renouvellent chaque année leur abonnement, 
\item le nombre de nouveaux abonnés sera de \np{20000} tous les ans.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
  
\begin{enumerate}
\item Au premier janvier 2012, on comptait \np{50000}~abonnés à ce jeu en ligne.
 
Selon ce modèle, justifier qu'au premier janvier 2013 le nombre d'abonnés sera égal à \np{60000}. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le nombre d'abonnés au premier janvier de l'année $2012 + n$ est modélisé par la suite $\left(a_{n}\right)$ définie par: 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
a_{0}& =&\phantom{0,8 a_{n} + ~} \np{50000}\\ 
a_{n+1} &=& 0,8 a_{n} + \np{20000} \quad \text{pour tout entier naturel } n
\end{array}\right.\]
 
		\item Calculer $a_{2}$ et $a_{3}$. 
		\item Sur le graphique situé en annexe, à rendre avec la copie, on a représenté dans le plan muni d'un repère orthonormal les droites $D$ d'équation $y = x$ et $\Delta$ d'équation $y = 0,8 x + \np{20000}$. 
		
Sur l'axe des abscisses, représenter $a_{0}$ puis construire $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ en utilisant les représentations graphiques des deux droites précédentes.
 
Laisser apparents les traits de construction. 
		\item En s'appuyant sur une observation graphique, émettre une conjecture sur la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item On admet que pour tout nombre entier naturel $n,\: a_{n} = \np{100000} - \np{50000} \times  0,8^n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$. 
		\item \emph{Toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
En utilisant ce modèle, donner une estimation de l'année à partir de laquelle, au premier janvier, le nombre d'abonnés à ce jeu sera supérieur à \np{95000}. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe de l'exercice 2 (spécialité) à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.125cm}
\begin{pspicture}(-8,-2)(80,80)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Ox=20,Oy=20,Dx=10,Dy=10,xlabelFactor={\,000},ylabelFactor={\,000}](0,0)(80,80)
\multido{\n=0+5}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,80)}
\multido{\n=0+5}{17}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(80,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10,labels=none]{->}(0,0)(80,80)
\psline[linewidth=1.25pt](80,80)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0,16)(80,80)
\uput[dr](10,10){$D$}\uput[ul](10,25){\blue $\Delta$}
\end{pspicture} 
\end{center} 

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Le service qualité d'une entreprise textile contrôle systématiquement la texture et la couleur des tissus qu'elle produit.
 
Pour être déclaré de \og qualité supérieure \fg{} un tissu doit subir avec succès les deux contrôles : le premier sur la texture, le second sur la couleur.
 
À cette fin, le service qualité effectue une étude statistique sur la production d'un mois. Cette étude a montré que :
 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 90\,\% des tissus passent le contrôle sur la texture avec succès. 
\item[$\bullet~~$] Parmi ceux qui ne passent pas avec succès ce premier contrôle, 40\,\% ont passé le deuxième contrôle sur la couleur avec succès. 
\item[$\bullet~~$] 80\,\% des tissus sortant de cette entreprise sont déclarés de \og qualité supérieure \fg.
\end{itemize}
 
Une machine de contrôle de qualité prélève au hasard un échantillon d'un des tissus produits par cette entreprise pendant le mois d'étude.
 
On considère les évènements suivants :
 
$\bullet~~$ $T$ : \og l'échantillon de tissu prélevé passe avec succès le premier contrôle sur la texture \fg,
 
$\bullet~~$ $C$ : \og l'échantillon de tissu prélevé passe avec succès le deuxième contrôle sur la couleur\fg,
 
$\bullet~~$ $S$ : \og l'échantillon de tissu prélevé est déclaré de qualité supérieure\fg. 

Ainsi $S = T \cap C$.

\medskip
 
\emph{Rappels de notation : Soient $A$ et $B$ deux évènements\\
$\bullet~~$ la probabilité de l'évènement A est notée $p(A)$ ;\\
$\bullet~~$ si $p(B) \neq 0, \: p_{B}(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé ;\\
$\bullet~~$ l'évènement contraire de l'évènement $A$ est noté $\overline{A}$.}
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide de l'énoncé, construire un arbre de probabilité décrivant la situation. Il sera complété au cours de la résolution de l'exercice. :\index{Arbre pondéré}
\item Démontrer que $p_{T}(C) = \dfrac{8}{9}$.\index{Probabilités}
\item Interpréter l'évènement $\overline{T} \cap \overline{C}$, puis calculer la probabilité de cet évènement. 
\item Démontrer que la probabilité de l'évènement: \og l'échantillon de tissu prélevé ne passe pas avec succès le contrôle sur la couleur \fg{} est égale à $0,16$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Une coopérative fabrique une huile précieuse qu'elle commercialise au prix de \mbox{100~euros} le litre. Sa capacité maximale de production journalière est de 10 litres.
 
Le coût de production journalier pour la fabrication de cette huile précieuse est modélisé par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par : 

\[C(x) = 300 \ln (x + 1)\]\index{Fonction logarithme}
 
où $x$ désigne la quantité d'huile produite exprimée en litres et $C(x)$ son coût de production journalier exprimé en euros.
 
La recette journalière de cette coopérative est modélisée par la fonction $R$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par: 

\[R(x) = 100x.\]
 
où $x$ désigne la quantité d'huile exprimée en litre, produite et vendue, et $R(x)$ sa recette journalière exprimée en euros.
 
On suppose que toute la production d'un jour est vendue le même jour.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de la fonction $C$ sur l'intervalle [0~;~10]. 
\item Construire, sur une feuille de papier millimétré à rendre avec la copie, $\Gamma$ et $\Gamma'$ les représentations graphiques respectives des fonctions $C$ et $R$ dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques :
 
$\bullet~~$1 cm pour un litre sur l'axe des abscisses,
 
$\bullet~~$1 cm pour 100~euros sur l'axe des ordonnées. 
\item La fonction $B$ est définie sur l'intervalle [0~;~10] par $B(x) = R(x) - C(x)$.
 
Elle est dérivable sur l'intervalle [0~;~10], et on note $B'$ sa fonction dérivée. 
	\begin{enumerate}
		\item Établir que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~10], 
		
		\[B'(x) = \dfrac{100x - 200}{x + 1}.\]
		 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~10]. 
		\item Démontrer que l'équation $B(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [2~;~10]. Donner une valeur approchée du nombre réel $\alpha$ à $10^{-1}$ près. 
		\item En déduire l'étude du signe de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~10].
	\end{enumerate} 
\item Lorsque $B(x)$ est positif, l'entreprise réalise un bénéfice. Lorsque $B(x)$ est négatif, l'entreprise est en déficit. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la quantité journalière minimale d'huile, au décilitre près, à produire et à vendre pour que la coopérative réalise un bénéfice journalier positif. 
		\item Préciser, à l'euro près, le bénéfice journalier maximal que peut réaliser cette coopérative. 
		\item À l'aide du graphique tracé à la question \textbf{2.}, interpréter les résultats des questions \textbf{4. a.} et \textbf{4. b.}.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\end{document}