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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole septembre 2003~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,35cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\begin{center} 
\textbf{Partie A} 
\end{center}

Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = x^2 + 4 - 8 \ln x.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $f$en 0 et en $+ \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la dérivée de $f$ et en déduire le sens 
de variation de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
		\item Dresser le tableau de variation de $f$. En déduire le signe 
de $f$ sur $] 0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $G$ définie sur $] 0~;~+ \infty[$ par

\[ G(x) = x \ln x - x\]

est une primitive  de la fonction $x \mapsto \ln x$ sur $]0~ ~ + \infty[$.
		\item En déduire la primitive $F$ de $f$ sur $] 0~;~+ \infty[$ 
vérifiant $F(1) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie B} \end{center}

Le cours d'une action cotée en bourse, exprimé en dizaines d'euros, est égal 
à $f(x)$, où $x$ représente le nombre de mois écoulés à partir du 
$1\up{er}$ décembre 2001. On a $x \in [1~;~12]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un investisseur décide d'acheter \np{2500}~actions de ce type. En quel mois de l'année 2002 est-il le plus judicieux pour lui d'acheter ? Calculer sa dépense arrondie à l'euro.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [1~;~11] ; on
 en donnera un arrondi à $0,1$.
		\item Quelle interprétation économique peut-on donner de ce résultat ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

\emph{Dans tout cet exercice les résultats seront arrondis à} $10^{-2}$.

Une étude statistique effectuée sur un produit a donné les résultats suivants où 

$x$ désigne le prix unitaire en euros,

$y$ désigne la demande en milliers 
d'unités

$z$ désigne l'offre en milliers d'unités.

\[\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&1,5		&2,5	&3,5	&4,5	&5	&7	&8,5\\ \hline
$y$&8,4		&5,3	&3,9	&3,1	&2,8&2,1&1,7\\ \hline
$z$&0,75	&1,25	&1,75	&2,25	&2,5&3,5&4,25\\ \hline
\end{tabularx}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la quantité offerte $z$ est proportionnelle au prix unitaire $x$.
		\item On appelle $g$ la fonction offre ainsi définie sur [1~;~10]  par $z = g(x)$.

Représenter $g$ dans le repère orthonormal $\mathcal{R}$ (unité graphique 1~cm).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter, dans le repère $\mathcal{R}$, le nuage de points 
associé à la série statistique $(x~;~y)$.
		\item Donner une équation de la droite D d'ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (aucun calcul n'est exigé sur la copie).

Tracer D dans le repère $\mathcal{R}$.
		\item À l'aide de cet ajustement, calculer le prix unitaire d'équilibre (c'est-à-dire celui pour lequel l'offre est égale à la demande). Vérifier graphiquement.
	\end{enumerate}
\item On se propose de determiner un autre type d'ajustement pour cette série.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$X = \ln x$&0,41	&	&1,25	&	&	&	&\\ \hline
$Y = \ln y$&2,13 	& 	& 		& 	& 	& 	& \\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item On admet qu'il est justifié de considérer un ajustement affine de $Y$ en $X$.

Donner une équation de la droite d'ajustement affine de $Y$ en $X$.		. 
		\item En déduire que l'on a $y = \text{e}^{-0,92 \ln x + 2,51}$ et calculer le prix unitaire d'équilibre obtenu avec ce nouvel ajustement.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de 
spécialité}

\medskip

Les questions 2 et 3 sont indépendantes.

\medskip

Une entreprise fabrique deux produits E et F en quantités respectives $x$ et $y$ exprimées en tonnes, pour lesquelles le coût de production $z$ est donné par 
 
\[ z = x^2 + 2y^2 - 6x - 4y + 13.\]

 où $z$ est exprimé en milliers d'euros avec $x \in$~ [0 ; 7] et $y \in~ [0~;~7]$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  La surface représentant ce coût est donnée dans le repère de l'espace situé sur la feuille fournie en annexe qui sera rendue avec la copie.
	\begin{enumerate}
		\item Placer sur cette surface le point A d'abscisse 4 et d'ordonnée 6.
		\item Donner graphiquement un encadrement d'amplitude 10 de la cote du point A.
		\item Vérifier par le calcul.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'on a $z = (x - 3)^2 + 2(y - 1)^2 + 2$.
		\item En déduire la production pour laquelle ce coût est minimal. Quel est ce coût en euros ?
		\item Placer le point B correspondant à cette production sur la surface.
	\end{enumerate}
\item  L'entreprise doit fabriquer une quantité $x$ du produit E et une 
quantité $y$ du produit F avec la contrainte $x + y = 7$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $z$ peut s'écrire sous la forme $z = g(x)$ 
avec $x \in$~ [0~;7] et \\$g(x) = 3x^2 - 30x + 83$.
		\item Déterminer la valeur de $x$ pour laquelle $g$ admet un minimum. Quel est alors le coût de production en euros ?
		\item Placer le point C correspondant à cette production sur la surface.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 9 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On appelle courbe de Lorenz la représentation graphique d'une 
fonction $L$ vérifiant les conditions suivantes

\setlength\parindent{10mm}
$\bullet~ L$~ est définie sur [0~;~1] ;

$\bullet~ L$~ est croissante sur [0~;~1] ;

$\bullet~ L(0) = 0$ et $L(1) = 1$ ;

$\bullet~$ pour tout $x$ de [0~;~1],~$ L(x) \leqslant  x$.
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Partie A : les parties I et II sont indépendantes.}

\medskip

Le but de la \textbf{partie A} est de vérifier que les fonctions $f$ et $g$ considérées satisfont aux conditions énoncées ci-dessus.

\medskip

\textbf{I.} Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par

\[f(x) = \dfrac{3}{2}x +\dfrac{1}{x + 1} - 1.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la dérivée de $f$ et dresser le tableau de variation de
$f$ sur [0~;~1].
\item Déterminer le signe de $x - f(x)$ sur [0~;~1].
\item Conclure.
\end{enumerate}

\textbf{II.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur [0~;~1] par 

\[g(x) = \text{e}^x - (\text{e} - 2)x -  1.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(x)$. En déduire le sens de variation de $g$ sur 
[0 ; 1].
		\item Calculer $g(0)$ et $g(1)$.
	\end{enumerate}
\item Soit $h$ la fonction définie sur [0~;~1] par 

\[h(x) = -\text{e}^x +(\text{e} - 1)x + 1.\]

	\begin{enumerate}
		\item Le tableau suivant donne le signe de la dérivée de $h$ (que l'on ne demande pas de calculer).

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$				&0	&		&$\ln(\text{e} - 1)$&		&1\\ \hline
Signe de $h'(x)$&	&$+$	&0					&$-$	&\\ \hline
\end{tabularx}\]

\smallskip

Dresser le tableau de variations de $h$ ; on précisera l'arrondi à $0,1$ 
de $h\left[\ln (\text{e} - 1)\right]$.
		\item Vérifier que pour tout $x$ de [0~;~1], on a : $h(x) = x -  g(x)$.

À l'aide de \textbf{II. 2. a.}, montrer que pour tout $x$ de [0~;~1], on a : $g(x) \leqslant x$.
	\end{enumerate}
\item Conclure.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Sur le graphique ci-dessous sont tracées les courbes représentatives respectives $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ des fonctions $f$ et $g$ et le segment [OA] où A est le point de coordonnées (1~;~1).

\begin{center} \psset{unit=8cm}
\begin{pspicture}(1,1)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=10,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.3,0){0,3} 
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.13){0,13}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[ur](1,1){A} \uput[dr](0.55,0.5){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[dr](0.7,0.5){\red$\Gamma$}
\psline(0,0)(1,1)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.25pt](0,0.13)(0.3,0.13)(0.3,0)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{1.5 x mul 1 x 1 add div add 1 sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1}{2.71828 x exp 0.71828 x mul sub 1 sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item On suppose que la courbe de Lorenz $\Gamma$ illustre la répartition
 des surfaces des exploitations agricoles d'un pays G.

En abscisse, $x$ représente le pourcentage du nombre des exploitations
 les plus petites par rapport au nombre total des exploitations du pays.

En ordonnée, $g(x)$ représente le pourcentage total des superficies
 de ces exploitations.

Par exemple, comme l'arrondi de $g(0,3)$ à $10^{-2}$ est 0,13 on dit que
 30\,\% des exploitations les plus petites représentent au total 13\,\% de la superficie des exploitations du pays G.
	
Donner la valeur arrondie à $0,01$ de $g(0,5)$. Interpréter ce résultat.
	
\item On appelle coefficient de Gini pour le pays G, le 
nombre $2\mathcal{A}$ où $\mathcal{A}$ est l'aire, en unités d'aire, du
domaine délimité par le segment [OA] et la courbe $\Gamma$. On le 
note $\gamma_{\text{G}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer cette aire $\mathcal{A}$ à l'aide d'une intégrale.
Déterminer la valeur exacte de cette aire.
		\item Donner la valeur arrondie à 0,01 de $\gamma_{\text{G}}$.
	\end{enumerate}
\item La représentation graphique $\mathcal{C}$ de $f$ est la courbe de
Lorenz pour un pays F.
	
Calculer $\gamma_{\text{F}}$ le coefficient de Gini pour le pays F.
	
En donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie à 0,01.
\item Plus le coefficient de Gini est petit, plus la répartition des
exploitations est égalitaire.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le pays pour lequel la répartition est la plus égalitaire ?
		\item Le graphique permettait-il de prévoir ce résultat ? Pourquoi ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-3)(11,11)
\psset{Beta=30,Alpha=150}
   
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=7,yMax=7,zMax=9,drawing=false]
\pstThreeDLine[linestyle=dotted](7,0,0)(7,0,2)
\pstThreeDLine[linestyle=dotted](7,1,0)(7,1,1.8)
\pstThreeDLine[linestyle=dotted](7,2,0)(7,2,2)
\pstThreeDLine[linestyle=dotted](7,3,0)(7,3,2.6)
\pstThreeDLine[linestyle=dotted](7,4,0)(7,4,3.6)
\pstThreeDLine[linestyle=dotted](7,5,0)(7,5,5)
\pstThreeDLine[linestyle=dotted](7,6,0)(7,6,5.8)
\pstThreeDLine[linestyle=dotted](7,7,0)(7,7,9)
\pstThreeDLine(0,0,0)(0,0,9)(0,7,9)(7,7,9)(7,7,0)(7,0,0)(0,0,0)
\pstThreeDLine[linestyle=dotted](0,0,0)(0,7,0)(0,7,9)
\pstThreeDLine[linestyle=dotted](7,7,0)(0,7,0)
\multido{\n=0+1}{10}{\pstThreeDLine[linestyle=dotted](0,0,\n)(0,7,\n)}
\multido{\n=0+1}{8}{\pstThreeDLine[linestyle=dotted](0,\n,0)(0,\n,9)}
\multido{\n=0+1}{8}{\pstThreeDLine[linestyle=dotted](0,\n,0)(0,\n,0)}
\multido{\n=0+1}{8}{\pstThreeDLine[linestyle=dotted](0,\n,0)(7,\n,0)}
\multido{\n=0+1}{8}{\pstThreeDLine[linestyle=dotted](\n,0,0)(\n,7,0)}
\multido{\n=0+1}{10}{\pstThreeDLine[linestyle=dotted](0,7,\n)(7,7,\n)}
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\pstThreeDPut(-0.5,0,1){10} \pstThreeDPut(-0.5,0,2){20}
\pstThreeDPut(-0.5,0,3){30} \pstThreeDPut(-0.5,0,4){40}
\pstThreeDPut(-0.5,0,5){50} \pstThreeDPut(-0.5,0,6){60}
\pstThreeDPut(-0.5,0,7){70} \pstThreeDPut(-0.5,0,8){80}
\pstThreeDPut(-0.5,0,9){90} \pstThreeDPut(-0.5,0,0){0}
\pstThreeDPut(3.5,-1.5,0){$x$} \pstThreeDPut(8,3.5,0){$y$}
\pstThreeDPut(-1,0,4.5){$z$}
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\psplotThreeD[xPlotpoints=15,yPlotpoints=15,drawStyle=xyLines,linecolor=blue](0,7)(0,7){%
x dup mul y dup mul 2 mul add x 6 mul sub y 4 mul sub 3 add
10 div }% 10 div uniquement pour l'échelle
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}