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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES septembre 2004} 
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2004}}  
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole--La Réunion septembre 2004~\decofourright}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie pour tout $x$ élément de $\R$ par 

\[f(x) = 30\text{e}^{-5x}.\]
 
Soit $g$ la fonction définie pour tout $x$ élément de $\R$ par 

\[g(x) = \text{e}^{5x} + 1.\]

 On admet que $f$ et $g$ sont dérivables sur $\R$.
 
\medskip
  
\begin{enumerate} 
\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$. 
\item Démontrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur $\R$. 
\item Tracer sur la copie dans un même repère orthogonal les représentations graphiques des fonctions $f$ et $g$ sur l'intervalle [0 ; 0,5] (on prendra 20 cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses et 0,5 cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées). 
\item Le but de cette question est de résoudre dans $\R$ l'équation : 
\[(\text{E}) \quad : \quad f(x) = g(x).\] 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que (E) s'écrit aussi : $\left(\text{e}^{5x}\right)^2 + \text{e}^{5x} - 30 = 0$. 
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $X^2 + X - 30 = 0$.  \item En déduire que $\dfrac{\ln 5}{ 5}$ est l'unique solution de l'équation (E). 
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on considère la partie du plan située au dessus de l'axe des abscisses.
 
Hachurer sur le graphique de la \textbf{question 3.} le domaine situé à la fois sous la courbe de $f$ et sous la courbe de $g$, et limité par les droites d'équation $x= 0$ et $x = 0,5$.
 
Calculer, en cm$^2$, l'aire $\cal{A}$ de ce domaine. Donner la valeur exacte de l'aire $\cal{A}$ puis une valeur approchée à $10^{-1}$ près. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur [0,5~;~4]. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. On note ($\cal{C}$) la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal (0, I, J). La courbe ($\cal{C}$) est représentée ci-dessous. 

La courbe ($\cal{C}$) passe par le point A et admet la droite (AD) pour tangente en A. 

La courbe ($\cal{C}$) passe par le point B, d'abscisse e, et en B elle admet une tangente horizontale. On rappelle que e est le nombre réel tel que $\ln$ e = 1. 

\begin{center}
\psset{xunit=2.8cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-0.22,-2)(4,9) 
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-1.9)(4,9) 
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](1,0){I} \uput[ul](0,1){J} \uput[d](2.718,0){e} 
\uput[u](2.718,7.389){B} \uput[ul](2,7){D} \uput[ul](1,3){A} 
\psline(-0.5,-3)(2.5,9) 
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](1,0)(1,3)(0,3) 
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](2,0)(2,7)(0,7) 
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](2.71828,0)(2.721828,7.389) 
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(2.218,7.389)(3.221,7.389) 
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{4}{3 2 x ln mul sub x 2 exp mul} 
\end{pspicture*}


\end{center}

 
\begin{enumerate} 
\item En utilisant les données graphiques, donner sans justification 
	\begin{enumerate} 
		\item le nombre de solutions sur l'intervalle [0,5~;~4] de l'équation $f(x) = 6$, et une valeur approchée à 0,25 près des solutions éventuelles. 
		\item Le signe de la dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5~;~4]. 
		\item Les valeurs de $f '(1)$ et $f '(\text{e})$. 
	\end{enumerate}  
\item Justifier que : $3 \leqslant \displaystyle\int_{1}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 7$. 
\item Soit $h,~ g$ et $j$ les fonctions définies pour tout réel $x$ de l'intervalle [0,5~;~4] respectivement par : 

\[h(x) = (4x)(1 - \ln x) \qquad g(x) = \dfrac{\text{e}}{x} - 1 \qquad j(x) = \dfrac{2}{\text{e} - 1}(x - \text{e})(x - 3).\]
 
Parmi ces trois fonctions, deux ne peuvent pas être la dérivée de la fonction $f$. Lesquelles ? Pourquoi? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

On considère une grande population d'acheteurs de yaourts.

On suppose que l'effectif de cette population est stable.

\smallskip

Une entreprise commercialise des yaourts sous la marque Y.

30\,\% des acheteurs de yaourts achètent la marque Y.

L'entreprise décide de faire une campagne publicitaire pour améliorer ses ventes.

Au bout d'une semaine, une enquête indique que :

\setlength\parindent{9mm}
$\bullet~~$20\,\% des acheteurs de yaourts qui achetaient la semaine précédente des yaourts des autres marques achètent maintenant des yaourts Y.

$\bullet~~$10\,\% des acheteurs de yaourts qui achetaient la semaine précédente des yaourts Y achètent maintenant des yaourts des autres marques.
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

L'entreprise continue sa campagne publicitaire. On fait l'hypothèse que l'évolution des résultats
obtenus à l'issue de la première semaine de campagne publicitaire est la même les semaines
suivantes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner le graphe probabiliste correspondant à cette situation.
\item Soit $X_0 = \begin{pmatrix}0,3 &0,7\end{pmatrix}$ la matrice ligne décrivant l'état initial de la population.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice de transition (notée $A$) associée au graphe précédent.
		\item Déterminer la probabilité qu'un acheteur de yaourts choisi au hasard après deux semaines de campagne publicitaire, achète des yaourts de la marque Y.
	\end{enumerate}
\item On admet que pour tout entier naturel $n$ on a : $A^n = \begin{pmatrix}
\dfrac{2}{3} + \left(\dfrac{1}{3} \right)0,7^n&\dfrac{1}{3} - \left(\dfrac{1}{3} \right)0,7^n\\
\dfrac{2}{3} - \left(\dfrac{2}{3} \right)0,7^n&\dfrac{1}{3} + \left(\dfrac{2}{3} \right)0,7^n
	\end{pmatrix}$.
	
Avec l'hypothèse ci-dessus, l'entreprise peut-elle espérer atteindre une part de marché de
70\,\% ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Un jeu télévisé se déroule sur quatre semaines maximum, et est organisé de la manière suivante : 

Un candidat se présente la première semaine et joue une partie. 

S'il la gagne, il a la possibilité de poursuivre en deuxième semaine ou de s'arrêter. 

S'il la perd, il est éliminé. 

Le même processus s'applique en deuxième et troisième semaine. 

À l'issue de la quatrième partie le jeu s'arrête, que le candidat ait gagné ou perdu. 

Un candidat ayant joué et gagné les quatre parties est déclaré \og grand gagnant \fg. 
On admet que pour un candidat donné, la probabilité de gagner une partie est la même chaque semaine et vaut $\dfrac{3}{5}$.  On admet également, qu'un candidat ayant gagné une partie décide d'arrêter le jeu avec une  probabilité de $\dfrac{1}{10}$.  

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On a dessiné le début d'un arbre modélisant le fonctionnement du jeu, pour un candidat donné. 
Compléter sur la feuille ANNEXE (à rendre avec la copie) l'arbre identique à celui-ci, et  indiquer sur chaque branche les probabilités correspondantes. 

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{G$_1$} \naput{\footnotesize 1\up{re} partie}}
	{\pstree{\Tr{C$_1$}\naput{\footnotesize Décision}}
		{\pstree{\TR{G$_2$}\naput{\footnotesize 2\up{e} partie}}
			{\pstree{\TR{C$_2$}\naput{\footnotesize Décision }}
				{\TR{}
				\TR{}
				}
			\TR{A$_2$}
			}
		\TR{P$_2$}
		}
	\TR{A$_1$}
	}
\Tr{P$_1$}
} 
\end{center}


G$_{1}$ désigne l'évènement : \og le candidat gagne la première partie \fg. 

P$_{1}$ désigne l'évènement : \og le candidat perd la première partie \fg.

C$_{1}$ désigne l'évènement : \og le candidat décide de continuer le jeu après la première partie \fg.

A$_{1}$ désigne l'évènement : \og le candidat décide d'arrêter le jeu après la première partie \fg.

On définit de même les évènements G$_{2}$,~ G$_{3}$,~ G$_{4}$,~P$_{2}$,~P$_{3}$,~P$_{4},$~A$_{2}$ et A$_{3}$.

\vspace{0,3cm}

 
\item Calculer la probabilité que le candidat gagne la première partie et arrête le jeu. 
\item Montrer que la probabilité que le candidat arrête le jeu après avoir gagné la deuxième partie est \np{0,0324}. 
\item Calculer la probabilité que le candidat soit \og grand gagnant \fg{} (donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près). 
\item On attribue un gain de $100$ \euro{} à un candidat qui gagne la première partie et décide d'arrêter le jeu. 
On attribue un gain de \np{1000}~\euro{} à un candidat qui a gagné les deux premières parties et décide d'arrêter le jeu. 
On attribue un gain de \np{10000}~\euro{} à un candidat qui a gagné les trois premières parties et décide d'arrêter le jeu. 
On attribue un gain de \np{100000}~\euro{} à un candidat \og grand gagnant \fg. 

Dans tous les autres cas, le candidat a perdu et ne gagne rien. 
On donne le tableau suivant dont une case n'a pas été remplie : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.7cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Gain 								&0~\euro &100~\euro &\np{1000}~\euro &\np{10000}~\euro& \np{100000}~\euro\\ \hline 
Probabilité  (exacte ou arrondie)	& 		&0,06 		&\np{0,0324} 	&\np{0,0175} 	&\np{0,0945}\\ \hline    
\end{tabularx} 
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Que vaut la probabilité manquante ? Justifier la réponse. 
		\item Donner une valeur approchée de l'espérance mathématique du gain à 1~\euro{} près. 
		\item Interpréter ce résultat. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}