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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oijk{$\left(\text{O};~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small Métropole--La Réunion}
\rfoot{\small 17 septembre 2009}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole--La Réunion 17 septembre 2010~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On s'intéresse à la population des personnes âgées de plus de 65 ans d'un certain pays en 2006.
 
Dans cette population : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item 58\,\% sont des femmes; 
\item 5\,\% des personnes sont atteintes d'une maladie incurable appelée maladie $\mathcal{A}$ et parmi celles-ci les deux tiers sont des femmes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On choisit au hasard une personne dans cette population.
 
On note :

\begin{description}
\item[ ] $F$ l'évènement : \og la personne choisie est une femme\fg{} ;
\item[ ] $H$ l'évènement : \og la personne choisie est un homme \fg{} ; 
\item[ ] $A$ l'évènement : \og la personne choisie est atteinte de la maladie $\mathcal{A}$ \fg{} ; 
\item[ ] $\overline{A}$ l'évènement : \og la personne choisie n'est pas atteinte de la maladie $\mathcal{A}$ \fg.
\end{description}

\medskip

\emph{Les résultats seront arrondis au millième.}

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la probabilité de l'évènement $F$ et celle de l'évènement $A$.
		 
Donner la probabilité de l'évènement $F$ sachant que l'évènement A est réalisé, notée $p_{A}(F)$. 
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cap F$ puis calculer sa probabilité. 
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement $A$ sachant que $F$ est réalisé est égale à $0,057$ à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate} 
\item La personne choisie est un homme. Démontrer que la probabilité que cet homme soit atteint de la maladie $\mathcal{A}$ est égale à $0,040$ à $10^{-3}$ près. 
\item Peut-on affirmer que, dans ce pays en 2006, dans la population des personnes âgées de plus de 65 ans, une femme risquait davantage de développer la maladie $\mathcal{A}$ qu'un homme ? Justifier. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Cet exercice est composé de deux parties :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la partie I est un \og vrai-faux \fg{} sans justification,
\item[$\bullet~$] la partie II est un questionnaire à choix multiples avec justification.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\textbf{PARTIE 1 :} Pour chacune des affirmations, \textbf{recopier sur la copie le numéro de la question et indiquer sans justifier} si elle est vraie ou fausse.

\medskip
 
\emph{Une réponse exacte rapporte $0,5$ point, une réponse fausse enlève $0,25$ point. L'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à cette partie est ramenée à zéro.}

\medskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\textbf{1.} $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{2x^2 +3}{x - 4} = + \infty$\\ \hline 
\textbf{2.}  Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]-\infty~;~3[$ par 

$f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$. 
 
On note $C$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
 
La tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse $2$ a pour équation $y = -6x + 9$.\\ \hline 
\textbf{3.}  Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par $f(x) = \ln \left(x^2 + 5\right)$.
 
Le nombre dérivé de la fonction $f$ en 1 est $\dfrac{1}{3}$.\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{4.}  Soit $f$ la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par 

$f(x) = 2x + 1$.
 
On définit la fonction $g$ par $g(x) = \ln \left[f(x)\right]$.
 
On affirme que la fonction $g$ est définie sur l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{2}~;~+\infty\right[$.\rule[-4mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\bigskip
 
\textbf{PARTIE II :} Pour chacune des questions, une seule réponse parmi les trois est exacte.
 
\textbf{Indiquer sur la copie le numéro} de la question \textbf{et la réponse choisie correspondante} puis \textbf{justifier cette réponse}.
 
\emph{Chaque réponse exacte et justifiée rapportera $1$ point.\\ 
Toute trace de recherche. même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\bigskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
\textbf{1.} Si pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$,  
$\text{e}^{-x} \leqslant  f(x) \leqslant \dfrac{1}{x + 1}$, alors la limite en $+\infty$ de $f(x)$ est :& $-\infty$& 
$0$& $+\infty$\\ \hline
\textbf{2.} $\dfrac{\ln \left(\text{e}^2\right)}{\ln 16}$ est égal à : \rule[-4mm]{0pt}{1cm} &$2\ln \left(\dfrac{\text{e}}{4} \right)$&$\dfrac{1}{2 \ln 2}$& $2\ln\text{e}-\ln~16$\\ \hline
\rule[-4mm]{0mm}{10mm}\textbf{3.} $\displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3} \dfrac{\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 1 \right)^2} \mathrm{d} x$ est égale à : &$- \dfrac{1}{12}$&$\ln \left(\dfrac{4}{3}\right)$&$\dfrac{1}{12}$\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des réponses parmi les trois proposées est exacte.}
 
Le candidat indiquera sur sa copie, le numéro de la question et la lettre correspondant à la question choisie.

\medskip
 
\textbf{Partie 1 : Aucune justification n'est demandée}

\medskip
 
\emph{Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip

{\small\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3.4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Énoncé}& \textbf{Réponse A} &\textbf{Réponse B} &\textbf{Réponse C}\\ \hline 
\multirow{6}{3.5cm}{\textbf{1.} {\footnotesize Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk,  on désigne par $(S)$ l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$ tels que  $z = 2x- y^2 + 1$ et par $(P)$ le plan d'équation $2x + 3y - 5 = 0.$}}& 
\multicolumn{3}{l|}{\textbf{1. a.} La surface $(S)$ passe par le point de coordonnées :}\\ \cline{2-4} 
&$(1~;~-1~;~4)$& $(-1~;~-1~;~0)$& $(1~;~-1~;~2)$\\ \cline{2-4}
 &\multicolumn{3}{l|}{\textbf{1. b.} La courbe de niveau de cote 3 de la surface $(S)$ est :}\\ \cline{2-4}
&une droite &une parabole &une hyperbole \\ \cline{2-4}
&\multicolumn{3}{l|}{\textbf{1. c.} Le plan (P) :}\\  \cline{2-4} 
&contient le point de coordonnées $(0~;~0~;~-5)$& 
est parallèle au plan $\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath} \right)$& 
est parallèle à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{k}\right)$\\ \hline
\multicolumn{4}{|p{11.6cm}|}{\textbf{2.} Soient $G$ le graphe probabiliste ci-dessous et $M$ la matrice de transition associée à ce graphe, les 
sommets étant rangés dans l'ordre alphabétique.} \\ \cline{2-4}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2.5pt 3}\begin{pspicture}(4,1.5)
%\psgrid
\pnode(0.5,0.75){A}\pnode(3,0.75){B}\uput[ur](0.5,0.85){A}\uput[ul](3,0.85){B}
\pnode(1.75,1){C}\pnode(1.75,0.58){D}
\ncarc{->}{A}{C}
\ncarc{C}{B}
\ncarc{->}{B}{D}
\ncarc{D}{A}
\rput{90}(0.5,0.75){\nccircle[nodesep=3pt]{->}{A}{0.3cm}}
\rput{-90}(3,0.75){\nccircle[nodesep=3pt]{->}{B}{0.3cm}}
\rput(0.25,0.1){0,3}\rput(3.4,0.1){0,8}
\rput(1.75,1.2){0,7} \rput(1.75,0.3){0,2} 
\end{pspicture}&{\footnotesize $M^2 = \begin{pmatrix}
0,23& 0,77\\
0,22 &0,78\\
\end{pmatrix}$}& $M  = \begin{pmatrix}
0,7 &0,3\\ 
0,8&0,2\\
\end{pmatrix}$&$M  = \begin{pmatrix} 
0,3 &0,8\\ 
0,2 &0,7\\
\end{pmatrix}$ \\ \hline
\end{tabularx}}

\bigskip

\textbf{Partie II : Recopier pour chaque question la réponse exacte et justifier celle-ci.}

\medskip

\emph{Chaque réponse exacte et bien justifiée rapportera $1$ point.\\ 
Toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
\renewcommand\jot{bigstrutjot}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5cm}|c|*{3}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline 
\multirow{2}{5cm}{\textbf{1.} On considère le graphe $H$ :
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,2.5)
\psdots[dotstyle=*](0.5,1)(1.7,2.2)(3,1.9)(3,1)(1,0.3)
\uput[l](0.5,1){A} \uput[u](1.7,2.2){B} \uput[ur](3,1.9){C} \uput[r](3,1){D} \uput[d](1,0.3){E}
\pspolygon(0.5,1)(1.7,2.2)(3,1.9)(3,1)(1,0.3)(0.5,1)(3,1)(1.7,2.2)(1,0.3)(1.7,2.2)(1,0.3) 
\end{pspicture} On peut affirmer que :} &\textbf{a.}& Le graphe $H$ admet une chaîne eulérienne. & Le graphe $H$ admet un cycle eulérien. & 
Le graphe $H$ est complet. \\ \cline{2-5}
&\textbf{b.} & Le nombre chromatique du graphe est 3. &
Le graphe admet un sous-graphe complet d'ordre 4. &
Le graphe n'est pas connexe.\\ \hline
{\small \textbf{2.} On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par $u_{0} = 4$ et, pour tout entier naturel $n$, par  

$u_{n+1} = - 0,4u_{n} + \np{1750}$.
On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ pour tout entier naturel $n$ par
$v_{n} = u_{n} - \np{1250}$.
Alors:}  & &  La suite $\left(v_{n}\right)$ est arithmétique. &La suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique.&La suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip
 
On considère les fonctions $f$, $g$ et $h$ définies et dérivables pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [4~;~6] par :
 
\[f(x) = 100\left(\text{e}^x - 45\right),~g(x) = 10^6\text{e}^{-x}~ \text{et}~ 	h(x) = g(x) - f(x).\]
 
On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur l'intervalle [4~;~6].

\medskip
 
\textbf{Résolution de l'équation} \boldmath $h(x) = 0$. \unboldmath

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $h$ est strictement décroissante sur l'intervalle [4~;~6]. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $h$. 
		\item Justifier que l'équation $h(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle [4~;~6].
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs donné en annexe (les résultats seront arrondis à la centaine la plus proche). 
		\item Sur la figure fournie en annexe, tracer la courbe représentative $\mathcal{C}_{h}$ de la fonction $h$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. 
		\item  Placer $\alpha$ sur ce graphique et en donner un encadrement d'amplitude $10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{Dans la suite de l'exercice, on admet que la valeur exacte du nombre réel $\alpha$ est égale à $3\ln 5$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Application économique}

\medskip
 
Les fonctions $f$ et $g$ définies dans la partie A modélisent respectivement l'offre et la demande d'un produit de prix unitaire $x$, compris entre 4 et 6 euros :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $f(x)$ est la quantité, exprimée en kilogrammes, que les producteurs sont prêts à vendre au prix unitaire $x$ ; 
\item[$\bullet~$] $g(x)$ la quantité, exprimée en kilogrammes, que les consommateurs sont prêts à acheter au prix unitaire $x$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On appelle prix unitaire d'équilibre du marché la valeur de $x$ pour laquelle l'offre est égale à la demande.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quel est, exprimé au centime d'euro près, le prix unitaire d'équilibre du marché ? Justifier. 
\item  Quelle quantité de produit, exprimée en kilogrammes, correspond à ce prix unitaire d'équilibre ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'évolution de la population de bouquetins des Alpes, dans le Parc National de la Vanoise depuis sa création, est donnée par le tableau suivant :
 
On note $X_{i}$ l'année, l'indice $i$ étant un nombre entier variant de 1 à 8.
 
On note $x_{i}$ le rang de l'année par rapport à 1960 : $x_{i} = X_{i} - 1960$.
 
On désigne par $y_{i}$ le nombre de bouquetins l'année $X_{i}$.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3.8cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année $X_{i}$& 1963 &1976 &1986 &1993 &1997 &1998 &2003 &2005\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$& 3 &16 &26 &33 &37 &38 &43 &45\\ \hline
Nombre de bouquetins $y_{i}$& 65 &500 &700 &\np{1250} &\np{1453} &\np{1800} &\np{2066} &\np{2568}\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\emph{(Source : http://www.bouquetin-des-alpes.org/populations/vanoiselvanoise.htm)}}\\
\end{tabularx} 

\medskip
 
On se place dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques :

\medskip

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 5~cm pour $10$ années sur l'axe des abscisses, 
\item[$\bullet~$] 1~cm pour $200$ bouquetins sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On note $M_{i}$ le point de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.
 
Ainsi $M_{1}$ a pour coordonnées (3~;~65) et $M_{3}$ a pour coordonnées (26~; ~700).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En disposant la feuille de papier millimétrée dans le sens de la longueur pour les abscisses, représenter le nuage des huit points $M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}, M_{5}, M_{6}, M_{7}$ et $M_{8}$. 
\item Dans cette question, on ne s'intéresse qu'au sous-nuage formé par les six points $M_{3}, M_{4}, M_{5}, M_{6}, M_{7}$ et $M_{8}$.
 
On admet qu'un ajustement affine de ce sous-nuage est justifié et que la droite d'ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés pour ce sous-nuage a pour équation $y = 92,6x - \np{1787}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer cette droite $D$ sur le graphique précédent. 
		\item Estimer, avec cet ajustement affine, le nombre de bouquetins que l'on peut prévoir dans le Parc National de la Vanoise en 2010.
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on s'intéresse au nuage constitué des huit points

$M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}, M_{5}, M_{6}, M_{7}$ et $M_{8}$.
 
L'allure de ce nuage permet d'envisager un ajustement exponentiel de la série. 
	\begin{enumerate}
		\item On pose $z_{i} = \ln y_{i}$.
		 
Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième. 
		\item En déduire une relation entre $y$ et $x$ de la forme $y = A\text{e}^{Bx}$, $A$ étant arrondi à l'unité et $B$ au centième. 
		\item En utilisant cette modélisation, calculer le nombre de bouquetins que l'on peut prévoir en 2010 dans le Parc. 
		\item  \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
En utilisant cette modélisation, à partir de quelle année la population de bouquetins dépassera-t-elle \np{5000}~unités ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe de l'exercice 3 à rendre avec la copie}

\bigskip
 
\textbf{Tableau à compléter}

\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|c|}\hline 
$x$		&4 			&4,2&4,4 	&4,6 	&4,8 	&5 				&5,2 			&5,4 	&5,6 	&5,8 &6\\ \hline 
$h(x)$	&\np{17400}	&	&		&		&		&$- \np{3600}$	& $-\np{8100}$	&		&		& $-\np{25500}$& $-\np{33400}$ \\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1.5cm}

\textbf{Graphique à compléter}

\vspace{1cm}
 
\psset{xunit=4.5cm,yunit=0.00025cm}
\begin{pspicture}(-0.6,-36000)(6.4,24000)
\uput[d](6.4,0){$x$} \uput[l](0,24000){$y$}
\multido{\n=0.0+0.2}{13}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,-36000)(\n,24000)}
\multido{\n=-36000+4000}{16}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(2.4,\n)}
\multido{\n=-36000+4000}{15}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Ox=4,Dy=40000,comma=true]{->}(0,0)(0,-36000)(2.4,24000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Ox=4,Dy=40000,comma=true](0,0)(0,0)(2.4,24000)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}