\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Arié Yallouz
\usepackage{fltpoint}
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add,pst-3dplot}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\usepackage{fancyhdr}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat ES},
pdftitle = {Métropole ES/L - 16 septembre 2011},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small  16 septembre 2011}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Métropole septembre 2011~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Pierre, le président d'un club de judo. veut acheter 60 médailles ayant la même référence. Elles sont gravées à l'effigie d'une ou d'un champion Doullet, Rinar ou Vécosse. Il passe commande chez un grossiste qui travaille avec deux fournisseurs A et B. Le tableau suivant indique les caractéristiques du colis contenant les 60 médailles envoyées par le grossiste :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{} & Doullet	& Rinar	& Vécosse	& Total \\ \hline
Fournisseur A &	10 &	10 &	10 &	30 \\ \hline
Fournisseur B &	5	& 10 & 15 &	30 \\  \hline
Total &	15 &	20 &	25 &	60 \\  \hline
\end{tabularx}

\medskip

Pierre reçoit le colis, et tire au hasard une médaille. Dans la suite de l'exercice, on suppose que chaque médaille a la même probabilité d'être tirée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité que cette médaille soit à l'effigie de Vécosse est égale à $\dfrac{5}{12}$.
		\item Quelle est la probabilité que cette médaille soit à l'effigie de Vécosse et provienne du fournisseur B ?
		\item Pierre constate que la médaille tirée est à l'effigie de Vécosse. Quelle est la probabilité qu'elle provienne du fournisseur B ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
Pierre remet la médaille dans le colis.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
	\item Pierre répète maintenant trois fois de suite les mêmes gestes :
	
\begin{itemize}
	\item il tire au hasard une médaille ;
	\item il note l'effigie du champion et remet la médaille dans le colis.
\end{itemize}
Quelle est la probabilité qu'au moins une des médailles soit à l'effigie de Vécosse ?
\end {enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

On s'intéresse au nombre de personnes atteintes d'une maladie A ou d'une maladie B en France entre 1970 et 2005.

Les données ont été représentées graphiquement sur l'annexe (à rendre avec la copie). On précise que sur l'axe des abscisses, le rang zéro correspond à l'année 1970, le rang cinq à l'année 1975. 

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie i.}  Maladie A}}}

\medskip
 
On envisage un ajustement affine du nuage de points correspondant à la maladie A. Voici une partie des données : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.8cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Année 				&1970	&1975	&1980	&1985	&1990	&1995	&2000	&2005 \\ \hline
Rang de l'année : $x_i$	&0		&5		&10		&15		&20		&25		&30		&35 \\ \hline
Nombre de personnes atteintes de la maladie A : $y_i$ 	&\np{4884}&	\np{4303}&	\np{3713}&	\np{3175}&	\np{2836}&	\np{2352}&	\np{2011}&	\np{1789} \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item À l'aide de la calculatrice et en arrondissant les coefficients à l'unité, donner l'équation réduite de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
	\item Tracer cette droite dans le repère situé sur l'annexe.
	\item En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu'en 2011, quelle prévision peut-on faire du nombre de personnes qui seront atteintes de cette maladie A en France en 2011 ?
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\small{\textbf{\textsc{partie ii.}  Maladie B}}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À partir des données du graphique concernant la maladie B (fournies en annexe), un ajustement affine parait-il approprié ? Justifier votre réponse.
\item On admet que la courbe $\Gamma$  tracée sur l'annexe représente un ajustement du nuage, valable jusqu'en 2011. 

Lire le nombre prévisible de personnes qui seront atteintes de la maladie B en 2011.
\item La courbe $\Gamma$ est une parabole d'équation $y=ax^2+bx+c$ , $a$ étant un nombre réel non nul, $b$ et $c$ étant des nombres réels. La courbe $\Gamma$ passe par les points $P(0~;~\np{1700})$, $Q(10~;~\np{1950})$ et $R(20~;~\np{2900})$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $c = \np{1700}$.
		\item Déterminer les nombres réels $a$ et $b$.
		\item En déduire le nombre prévisible de personnes qui seront atteintes de la maladie B en 2011. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

La société \og Vélibre \fg{}, spécialisée dans la location de vélos, a été créée en janvier 2010 avec un parc de 150 vélos neufs.

Afin de conserver un parc de bonne qualité, le directeur de la société a décidé :

\begin{itemize}
	\item de racheter 40 vélos neufs en janvier de chaque année ;
	\item de revendre 20\,\% des vélos en janvier 2011 et en janvier 2012 ;
	\item de revendre 20\,,\% au moins des vélos les plus usagés en janvier de chaque année suivante.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Pour tout nombre entier naturel $n$, on modélise le nombre approximatif de vélos du parc en janvier de l'année $2010 + n$ par les termes de la suite $(U_n)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ par

	 \[U_{n+1}=0,8U_n + 40 \text{ et } U_0 = 150 \]
	 	
Vérifier que $U_1$ et $U_2$ correspondent bien au nombre prévu de vélos du parc pour janvier 2011 et janvier 2012.
\item Pour connaître l'évolution du nombre approximatif de vélos du parc, le directeur utilise un tableur. Voici un extrait de sa feuille de calcul :

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{0.5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}m{0.5cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
	&\textsf{A} &	\textsf{B} &	\textsf{C} &	\textsf{D} &	\textsf{E} \\ \hline
\textsf{\small{1}} & 	Valeur de $n$& 	Valeur de $U_n$ & &		Valeur de $n$ &	Valeur de $U_n$ \\ \hline 
\textsf{\small{2}} & 	0 &	150 & & 18 &	199,10 \\ \hline
\textsf{\small{3}} & 	1 &	160 & & 19 &	199,28 \\ \hline
\textsf{\small{4}} & 	2 &	168 & & 20 &	199,42 \\ \hline
\textsf{\small{5}} & 	3 &	174,4 & & 21 &	199,54 \\ \hline
\textsf{\small{6}} &	4 &	179,52 & & 22 &	199,63 \\ \hline
\textsf{\small{7}} & 	5 &	183,62 & & 23 &	199,70 \\ \hline
\textsf{\small{8}} & 	6 &	186,89 & & 24 &	199,76 \\ \hline
\textsf{\small{9}} &	7 &	189,51 & & 25 &	199,81 \\ \hline
\textsf{\small{10}}&	8 &	191,61 & & 26 &	199,85 \\ \hline
\textsf{\small{11}}&	9 &	193,29 & & 27 &	199,88 \\ \hline
\textsf{\small{12}}& 	10&	194,63 & & 28 &	199,90 \\ \hline
\textsf{\small{13}}& 	11&	195,71 & & 29	& 199,92 \\ \hline
\textsf{\small{14}}& 	12& 196,56 &	& 30 & 199,94 \\ \hline
\end{tabularx}
\begin{enumerate}
	\item Conjecturer le sens de variation de la suite $(U_n)$. 
	\item Quelle semble être la limite de la suite $(U_n)$ ?
\end{enumerate}
\item Pour tout nombre entier naturel $n$, on pose  $V_n = U_n-200$.
\begin{enumerate}
	\item Prouver que la suite $(V_n)$ est géométrique de raison $0,8$. Déterminer son premier terme.
	\item En déduire, pour tout nombre entier naturel $n$, l'expression de $V_n$ puis celle de $U_n$ en fonction du nombre entier $n$.
	\item Déterminer la limite de la suite $(U_n)$.
	\item Démontrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a :

	\[U_{n+1}-U_n = 10 \times 0,8^n \]
	
	\item En déduire le sens de variation de la suite $(U_n)$.
\end{enumerate}
 \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
 La municipalité prévoit d'implanter de nouvelles bornes dans la ville afin d'offrir aux usagers 250 emplacements. La société \og Vélibre \fg{} pourra-t-elle satisfaire cette demande ? Argumenter la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une entreprise fabrique chaque mois $x$ tonnes d'un certain produit, avec $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~6]$. Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros, pour une production mensuelle de $x$ tonnes est donné par $C(x)$, où $C$ est la fonction définie par :

 \[C(x)=\dfrac{0,01 \mathrm {e}^x +2}{x}.\]

\smallskip
 
\begin{enumerate}
	\item À l'aide de la calculatrice :	
	\begin{enumerate}
		\item conjecturer en terme de variations l'évolution du coût moyen de fabrication sur l'intervalle $]0~;~6]$;
		\item estimer le minimum du coût moyen de fabrication et la production mensuelle correspondante ;
		\item dire s'il est possible d'atteindre un coût moyen de fabrication de 4000 euros. On précisera la méthode utilisée.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $C'$  la fonction dérivée de la fonction $C$. Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~6]$ :

\[C'(x) = \dfrac{0,01 x \mathrm {e}^x - 0,01 \mathrm {e}^x - 2}{x^2}.\]
 
 \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~6]$ par :

\[f(x) = 0,01 x \mathrm {e}^x - 0,01 \mathrm {e}^x - 2.\]
  
  On désigne par $f'$  la fonction dérivée de la fonction $f$.  
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~6]$   
		
\[f'(x) = 0,01 x \mathrm{e}^x .\]

		\item Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0~;~6]$.
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$  admet une seule solution $\alpha$  appartenant à l'intervalle $[4; 5]$.
	
Donner la valeur arrondie au dixième du nombre réel $\alpha$.
		\item Déduire des résultats précédents le signe de $f(x)$ sur l'intervalle $]0~;~6]$.
	\end{enumerate}
\item À l'aide des questions précédentes, justifier que le minimum du coût moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de $\alpha$ tonnes du produit.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte.

Recopier le numéro de chaque question et préciser la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée.

\emph{Barème : Une réponse exacte rapporte \emph{1} point; une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item En septembre 2009, la T.V.A. dans la restauration est passée de 19,6\,\% à 5,5\,\%. En août 2009, une brasserie proposait un menu à 12,70~ \euro{} (T.V.A incluse). Le responsable a appliqué ce changement de T.V.A. Quel était en septembre 2009 le prix de ce menu après le changement de T.V.A. (arrondi au centime) ?
	\begin{enumerate}
		\item 10,91 \euro
		\item 11,20 \euro
		\item 12,70 \euro
	\end{enumerate}
\item La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $f(x)=\ln \left( 100 +x \right)$. Comment varie la fonction $f$ ?
	\begin{enumerate}
		\item la fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
		\item la fonction $f$ est constante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
		\item la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate}
\item Quelle est la valeur de l'intégrale  	$\displaystyle\int_{0}^1 \left(3x - x^2 \right) \,\mathrm{d} x $ ?
	\begin{enumerate}
		\item $0$
		\item $\dfrac{7}{6}$
		\item $2$
	\end{enumerate}
\item La fonction $g$ est définie sur l'intervalle $]0~;~4]$ par $g(x) = \ln x$. Parmi les trois courbes suivantes, laquelle représente une primitive de la fonction $g$ ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
a. & b. & c. \\ \hline
\psset{unit=.7cm}
\begin{pspicture}(-.2,-2.2)(4,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{1/x}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(0,-2)(4,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.25pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.33}{4}{\f}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.7cm}
\begin{pspicture}(-.2,-2.2)(4,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x*ln(x)-x}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(0,-2)(4,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.25pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.0001}{4}{\f}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=.7cm}
\begin{pspicture}(-.2,-2.2)(4,3.5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x-x*ln(x)+1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{-}(0,0)(0,-2)(4,3)
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=1.25pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=400,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{0.0001}{4}{\f}
\end{pspicture} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textsf {\textbf{\textsc{Annexe à rendre avec la copie}}}
\end{center}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}
\rput[bl]{90}(12,-5.5){
\psset{xunit=2.5mm,yunit=0.015mm}
\begin{pspicture}(-2,-100)(45,7600)
\rput(22.5,7600){Nombre de personnes atteintes de la maladie A ou de la maladie B}
\rput(22.5,7400){en France entre 1970 et 2005}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\psset{xunit=1.6cm,yunit=0.8cm}
%\psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=gray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(9,15)
%\psset{xunit=3.5mm, yunit=0.02mm}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=5,Dy=10000]{->}(0,0)(45,7250)
\multido{\n=0+5}{10}{\psline[linewidth=.1pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,7250)}
\multido{\n=0+250}{30}{\psline[linewidth=.1pt,linecolor=gray](0,\n)(45,\n)}
\multido{\n=0+1000}{8}{\uput[l](0,\n){\footnotesize \np{\n}}}
\uput[ul](45,0){\footnotesize{Rang de l'année}}
\uput[dr](0,7300){\footnotesize{Nombre de personnes atteintes}}
\psdots[dotstyle=triangle*,linecolor=bleu,plotstyle=dots,dotscale=.8](0,4884)(1,4618)	(2,4706)(3,4529)(4,4396)(5,4303)(6,4151)(7,4085)(8,3952)(9,3774)(10,3713)(11,3596)(12,3552)(13,3441)(14,3419)(15,3175)(16,3019)(17,2953)(18,3019)(19,2864)(20,2836)(21,2642)(22,2620)(23,2620)(24,2398)(25,2352)(26,2264)(27,2176)(28,2131)(29,2087)(30,2011)(31,1954)(32,1976)(33,1776)(34,1820)(35,1789)
\psdots[dotstyle=square*,linecolor=prune,plotstyle=dots,dotscale=.8](0,1554)(1,1634)	(2,1665)(3,1732)(4,1754)(5,1776)(6,1785)(7,1829)(8,1931)(9,1865)	(10,1954)	(11,2065)	(12,2122)(13,2242)(14,2220)(15,2353)(16,2442)(17,2664)(18,2753)(19,2864)(20,2900)(21,3064)	(22,3041)(23,3286)(24,3352)(25,3600)(26,3792)(27,3774)(28,4218)(29,4316)	(30,4240)	(31,4440)(32,4928)(33,5217)(34,5460)(35,5945)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=760,linewidth=1.25pt, linecolor=prune]{0}{41}{3.5*x^2-10*x+1700}
\uput[ur](38,6570){\prune{$\Gamma$}}
\psdot[dotstyle=triangle*,linecolor=bleu](26,6850)\uput[r](26,6850){\small{\bleu{Maladie A}}}
\psdot[dotstyle=square*,linecolor=prune](26,6550)\uput[r](26,6550){\small{\prune{Maladie B}}}
\end{pspicture}}
\end{pspicture}
\end{document}


