% Préambule APMEP - Annales
% Auteurs
% tapuscrit : 			François Kriegk
% relecture : François Hache
% figures TikZ :
% figures pstricks :
% modifications :
% Remerciements :

\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}

% Packages
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%
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%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
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%% pour TikZ
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%% Définitions ou redéfinitions
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%
% Taille de la zone d'écriture
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% Formatage du pdf
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\begin{document}

% Réglage entête, pied de page
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sujet 1}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{8 septembre 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

% Titre
\begin{center}
{\Large \textbf{
	\decofourleft~ Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) ~\decofourright\\[11pt]
	Sujet jour 1\\[11pt]
	Métropole -- La Réunion -- 8 septembre 2026 }}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\end{center}

\section*{Exercice 1 \hfill 5 points}

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-1}$ près.

Les parties A, B et C sont indépendantes les unes des autres et peuvent donc être traitées séparément.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On s'intéresse au respect des délais de livraison de colis à domicile dans une agglomération. Une étude a permis d'établir que :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item lorsque le livreur est expérimenté, le délai de livraison est respecté pour 95\,\% des colis ;
\item lorsque le livreur est débutant, le délai de livraison est respecté pour 75\,\% des colis.
\end{itemize}

Dans une entreprise qui emploie ses propres livreurs parmi lesquels 60\,\% sont expérimentés et les autres sont débutants, on s'intéresse à une livraison choisie au hasard.

On note :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $E$ l'évènement : \og la livraison est effectuée par un livreur expérimenté \fg ; 
\item $R$ l'évènement : \og le délai de livraison est respecté \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(E \cap R)$.

On pourra s'appuyer sur un arbre de probabilité.
\item Justifier que $P(R) = 0,87$.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Sachant qu'un colis a été livré en respectant les délais de livraison, quelle est
la probabilité qu'il ait été livré par un livreur expérimenté ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans le but d'améliorer le service livraison, l'entreprise analyse un échantillon de 200~livraisons prises au hasard parmi celles effectuées par un livreur expérimenté sur une période donnée.

On rappelle que la probabilité qu'un livreur expérimenté respecte les délais de livraison est 95\,\%.

On suppose que le nombre de colis est assez important pour que l'on puisse assimiler le choix de cet échantillon à des tirages successifs avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de colis livrés en respectant les délais de livraison parmi les livraisons de cet échantillon.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item L'évènement \og tous les colis ont été livrés en respectant les délais de livraison \fg{} est-il un événement impossible ? Justifier.
\item Donner $P(X \geqslant 190)$ puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Deux zones géographiques sont desservies sans que les livraisons dans l'une n'aient d'incidence sur celles dans l'autre :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item en zone A, les délais de livraison sont respectés dans 85\,\% des cas ;
\item en zone B, les délais de livraison sont respectés dans 90\,\% des cas.
\end{itemize}

L'entreprise observe 120 livraisons effectuées en zone A et 80 livraisons effectuées en zone B.

On note :
\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $X_A$ la variable aléatoire comptabilisant le nombre de colis livrés respectant les 
délais de livraison en zone A ;
\item $X_B$ la variable aléatoire comptabilisant le nombre de colis livrés respectant les
délais de livraison en zone B ;
\item $S =  X_A + X_B$ la variable aléatoire donnant le nombre total de colis livrés
respectant les délais de livraison.
\end{itemize}

On admet que $X_A$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(120~;~0,85)$ et que $X_B$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(80~;~0,90)$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'espérance et la variance des variables $X_A$
et $X_B$.
\item Calculer $E(S)$.
\item Quelle condition permet d'affirmer que $V(S) = 22,5$ ?
\item À l'aide d'une inégalité de Bienaymé-Tchebychev, minorer $P(S \in [165~;~183])$ et interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]-3~;~+\infty[$ par :

\[f() = \dfrac{2x}{x + 3}.\]

On admet que $f$ est dérivable sur $]-3~;~+\infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier, en détaillant les calculs, que pour tout réel $x$ de $]-3~;~+\infty[,\: f'(x) = \dfrac{6}{(x + 3)^2}$.

En déduire que $f$ est croissante sur $]-3~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = f(u_n)$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer, par récurrence, que pour tout entier $n$, on a : $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant  u_n \leqslant 1.$
\item En déduire que $(u_n)$ est convergente.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que pour tout entier naturel $n,\:u_n \ne 0$.

On note $(v_n)$ et $(w_n)$ les suites définies pour tout entier naturel $n$ par :

\[v_n = \dfrac{1}{u_n} \quad et \quad w_n = v_n + 1.\]

\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout entier naturel $n$, \: $v_{n+1} = \dfrac32 v_n + \dfrac12$.
\item Démontrer que $(w_n)$ est une suite géométrique dont on précisera les paramètres.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,

\[ u_n = \dfrac{1}{2\left(\frac32\right)^n - 1} \]

\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le script suivant de telle sorte que la fonction seuil()
renvoie le plus petit entier $n$ tel que $u_n$ soit inférieur ou égal à $10^{-3}$.
\begin{center}
\begin{ttfamily}
\begin{tabular}{l l}
1&def seuil():\\
2&\quad n = 0\\
3&\quad u = 1\\
4&\quad while \ldots :\\
5&\quad \quad n = n + 1\\
6&\quad \quad u = \ldots\\
7&\quad return \ldots
\end{tabular}
\end{ttfamily}
\end{center}

		\item Quelle est la valeur renvoyée par la fonction \texttt{seuil()} ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 \hfill 4 points}

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Les affirmations sont indépendantes.

Pour toutes les questions, l'espace est muni d'un repère orthonormé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\vect{u}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$, \:$\vect{v}\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}$ et $\vect{w}\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$ trois vecteurs de l'espace .

\textbf{Affirmation 1 :} Les vecteurs $\vect{u},\vect{v}$ et $\vect{w}$
forment une base de l'espace.

\item Soit quatre points de l'espace :

\begin{center}A(1~;~2~;~3),\: B(2~;~0~;~1),\: C(0~;~1~;~2),\: D$(0~;~4~;~- 1)$\end{center}

On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés. 

\textbf{Affirmation 2 :} La droite (CD)
est orthogonale au plan (ABC).
\item Soit $d$ une droite de l'espace dont une représentation paramétrique est :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&2t\\
y&=&-2 + 4t\\
z&=&- 2 + t
\end{array}\right. \:\:\text{avec}\:\: t \in \R\]

Soit $P_1$ le plan de vecteur normal $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$ et passant par E$(1~;~1~;~-1)$.

\textbf{Affirmation 3 :} L'intersection de la droite $d$ et du plan $P_1$ est le point M$(2~;~2~;~-1)$.
\item Soit N$(2~;~0~;~-2)$ et H$(1~;~-2~;~0)$ deux points de l'espace.

Soit $P_2$ le plan d'équation cartésienne $x + 2y - 2z + 3 = 0$.

\textbf{Affirmation 4 :} La distance de N au plan $P_2$
est NH.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 \hfill 6 points}

On peut traiter indépendamment les parties A et B.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère l'équation différentielle :

\[(E) :\quad 2 y' + 3y = 8 \e^{- \frac32t}\]

où $y$ est une fonction de la variable $y$ et elle est définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'équation différentielle 

\[(E') :\quad 2y' +3 y = 0.\]

\item Soit $f$ la fonction dérivable sur $[0~;~+\infty[$, définie par 

\[f(t) = 4t\e^{- \frac32t}.\]

On admet que cette fonction $f$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$.

On considère une fonction $g$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$.

Démontrer que :
\og $g$ est solution de $(E)$ \fg est équivalent à \og $g - f$ solution de $(E')$ \fg.
\item  En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item  Déterminer toutes les solutions de $(E)$
qui s'annulent en $0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un essai clinique est réalisé auprès de plusieurs patients volontaires afin de valider ou non l'efficacité d'un médicament.

On demande au patient d'avaler le médicament sous la forme d'un comprimé de 1 mg puis on étudie la quantité de ce médicament présente dans le sang au cours du temps.

La quantité de ce médicament en fonction du temps écoulé après la prise du comprimé, en mg, est modélisée par la fonction $f$ dérivable sur $[0~;~+\infty[$, définie par :

\[f(t) = 4t\e^{- \frac32t},\:\: t\:\: \text{étant exprimé en heures}.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f(t)$.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier en détaillant les calculs que pour tout réel $t$ positif,
$f'(t) = (4 - 6t)\e^{- \frac32t}$.
		\item Étudier le signe de la dérivée et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\item Au bout de combien de temps la quantité de ce médicament présente dans le sang est-elle maximale ?
	\end{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $f(t) = 0,5$ 
admet une unique solution sur [1~;~3].

Donner un encadrement de cette solution, notée $\alpha$, à $10^{-2}$ près.
\item L'essai clinique sera validé si les deux conditions suivantes sont vérifiées : 

\begin{itemize}
\item Condition 1 : 50\,\% de la quantité du médicament est éliminée de
l'organisme au plus tard 2 heures après la prise du comprimé.
\item Condition 2 : la quantité moyenne du médicament présente dans le corps
du patient entre 1 heure et 3 heures après la prise du comprimé est inférieure à $0,40$ mg.
\end{itemize}

La condition 1 est-elle réalisée ?

La condition 2 est-elle réalisée ?
\end{enumerate}

\end{document}