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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small{Métropole, Antilles-Guyane, Maroc}}
\rfoot{\small{21 mars 2023}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole\footnote{Antilles-Guyane, Maroc} 21 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.\\
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse inexacte.}

\bigskip

Un jeu vidéo possède une vaste communauté de joueurs en ligne. Avant de débuter une partie, le joueur doit choisir entre deux \og mondes \fg : soit le monde A, soit le monde B.

\smallskip

On choisit au hasard un individu dans la communauté des joueurs.

Lorsqu'il joue une partie, on admet que:
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la probabilité que le joueur choisisse le monde A est égale à $\dfrac25$ ;
\item[$\bullet~~$] si le joueur choisit le monde A, la probabilité qu'il gagne la partie est de $\dfrac{7}{10}$ ;
\item[$\bullet~~$] la probabilité que le joueur gagne la partie est de $\dfrac{12}{25}$.
\end{itemize}

On considère les évènements suivants : 

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ : \og Le joueur choisit le monde A \fg{}; 
\item[$\bullet~~$] $B$ : \og Le joueur choisit le monde B \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $G$ : \og Le joueur gagne la partie \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité que le joueur choisisse le monde A et gagne la partie est égale à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{7}{10}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{3}{25}$&\textbf{c.~~} $\dfrac{7}{25}$&\textbf{d.~~} $\dfrac{24}{125}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item La probabilité $P_B(G)$ de l'événement $G$ sachant que $B$ est réalisé est égale à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{1}{5}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{1}{3}$&\textbf{c.~~} $\dfrac{7}{15}$&\textbf{d.~~} $\dfrac{5}{12}$
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

Dans la suite de l'exercice, un joueur effectue 10 parties successives. 

On assimile cette situation à un tirage aléatoire avec remise. 

On rappelle que la probabilité de gagner une partie est de $\dfrac{12}{25}$.
\begin{enumerate}[resume]
\item La probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne exactement $6$ parties est égale à : 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\textbf{a.~~} $0,859$&\textbf{b.~~}0,671&\textbf{c.~~}0,188&\textbf{d.~~}  0,187
\end{tabularx}
\end{center}
\item On considère un entier naturel $n$ pour lequel la probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne au plus $n$ parties est de $0,207$. Alors :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\textbf{a.~~} $n = 2$&\textbf{b.~~} $n = 3$&\textbf{c.~~} $n = 4$&\textbf{d.~~} $n = 5$
\end{tabularx}
\end{center}
\item La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est égale à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\textbf{a.~~} $1 - \left(\dfrac{12}{25}\right)^{10}$&\textbf{b.~~} $\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10}$&\textbf{c.~~} $\left(\dfrac{12}{25}\right)^{10}$&\textbf{d.~~}$1 - \left(\dfrac{13}{25}\right)^{10}$
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Des biologistes étudient l'évolution d'une population d'insectes dans un jardin botanique. 

Au début de l'étude la population est de \np{100000}~insectes.

Pour préserver l'équilibre du milieu naturelle nombre d'insectes ne doit pas dépasser \np{400000}.

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude d'un premier modèle en laboratoire}

\medskip

L'observation de l'évolution de ces populations d'insectes en laboratoire, en l'absence de tout prédateur, montre que le nombre d'insectes augmente de 60\,\% chaque mois.

En tenant compte de cette observation, les biologistes modélisent l'évolution de la population d'insectes à l'aide d'une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, \: $u_n$ modélise le nombre d'insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois. 

On a donc $u_0 = 0,1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$ : \:$u_n = 0,1 \times 1,6^n$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\item En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel $u_n > 0,4$.
\item Selon ce modèle, l'équilibre du milieu naturel serait-il préservé ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude d'un second modèle}

\medskip

En tenant compte des contraintes du milieu naturel dans lequel évoluent les insectes, les biologistes choisissent une nouvelle modélisation.

Ils modélisent le nombre d'insectes à l'aide de la suite $\left(v_n\right)$, définie par :

\begin{center}$v_0 = 0,1$ \quad et, pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} = 1,6v_n - 1,6v_n^2$,\end{center}

où, pour tout entier naturel $n,\: v_n$ est le nombre d'insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre d'insectes au bout d'un mois.
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac12\right]$ par
\[f(x) = 1,6x - 1,6x^2.\]

	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $f(x) = x$.
		\item Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac12\right]$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: 0 \leqslant v_n  \leqslant  v_{n+1} \leqslant  \dfrac12$.
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente.
		
On note $\ell$ la valeur de sa limite. On admet que $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = x$.
		\item Déterminer la valeur de $\ell$. 
		
Selon ce modèle, l'équilibre du milieu naturel sera-t-il préservé ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item  On donne ci-contre la fonction seuil, écrite en langage Python.
	\begin{enumerate}
		\item Qu'observe-t-on si on saisit seuil(0.4) ?
		\item Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de seuil(0.35).
		
Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.36\linewidth}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
def seuil(a) :\\
\qquad v=0.1\\
\qquad n=0\\
\qquad while v<a :\\
\qquad \qquad v=1.6*v-1.6*v*v\\
\qquad \qquad n=n+1\\
\qquad return n\\ \hline
\end{tabularx}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]le plan $\mathcal{P}_1$ dont une équation cartésienne est $2x + y - z +2 = 0$,
\item[$\bullet~~$]le plan $\mathcal{P}_2$ passant par le point B(1~;~1~;~2) et dont un vecteur normal est $\vect{n_2}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$.
\end{itemize}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées d'un vecteur $\vect{n_1}$ normal au plan $\mathcal{P}_1$.
		\item On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si un vecteur normal à l'un des plans est orthogonal à un vecteur normal à l'autre plan.
		
Montrer que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_2$.

		\item On note $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est : $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&0\\y &=& -2 + t\\ z&=&\phantom{2+t}t
\end{array}\right.,\quad t \in  \R$.

Montrer que la droite $\Delta$ est l'intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
	\end{enumerate}
On considère le point A(1~;~1~;~1) et on admet que le point A n'appartient ni à $\mathcal{P}_1$ ni à $\mathcal{P}_2$.

On note H le projeté orthogonal du point A sur la droite $\Delta$.
\item On rappelle que, d'après la question 2. b, la droite $\Delta$ est l'ensemble des points $M_t$ de coordonnées $(0~;~-2 + t~;~t)$, où $t$ désigne un nombre réel quelconque.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $t$,\: A$M_t = \sqrt{2t^2 - 8t + 11}$.
		\item En déduire que AH $= \sqrt 3$.
	\end{enumerate}
\item On note $\mathcal{D}_1$ la droite orthogonale au plan $\mathcal{P}_1$ passant par le point A et H$_1$ le projeté orthogonal du point A sur le plan $\mathcal{P}_1$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}_1$.
		\item En déduire que le point H$_1$ a pour coordonnées $\left(- \dfrac13~;~\dfrac13~;~\dfrac53\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item Soit H$_2$ le projeté orthogonal de A sur le plan $\mathcal{P}_2$.

On admet que H$_2$ a pour coordonnées $\left(\dfrac43~;~\dfrac23~;~\dfrac43\right)$
et que H a pour coordonnées (0~;~0~;~2). 

Sur le schéma ci-contre, les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$
sont représentés, ainsi que les points A, H$_1$, H$_2$, H. 

Montrer que AH$_1$HH$_2$ est un rectangle.
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.4,8.6)
%\psgrid
\pspolygon(0,2.7)(5.5,0.5)(7.2,4.3)(1.7,6.5)
\psline(2.5,0)(2.5,4.7)(4.2,8.4)(4.2,5.3)
\psline(1.8,0)(3.1,2.7)
\psline[linestyle=dashed](3.1,2.7)(3.6,3.62)
\psline[linestyle=dashed](4.2,5.3)(4.2,1.1)
\psline(3.6,3.62)(5.6,8)
\psline(4.2,1.1)(3.7,0)
\pspolygon(3.1,2.7)(4.6,2.3)(4.6,3.4)(3.1,3.8)%HH2AH1
\uput[l](2,0.4){$\Delta$}\rput(0.4,2.8){$\mathcal{P}_2$}\rput(4,7.4){$\mathcal{P}_1$}
\uput[dl](3.1,2.7){H}\uput[dr](4.6,2.3){H$_2$}\uput[ur](4.6,3.4){A}\uput[ul](3.1,3.8){H$_1$}
\end{pspicture}
\end{minipage}


\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
\[f(x) = \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right),\]

où ln désigne la fonction logarithme népérien.
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij. 

La courbe $\mathcal{C}$ est tracée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=2.25cm,yunit=2.25cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-3,-0.8)(2.4,2.6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3,-0.8)(2.4,2.6)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{-3}{2.4}{2.71828 x neg exp 1 add ln}
\psplotTangent[linestyle=dashed]{0}{4}{2.71828 x neg exp 1 add ln}
\psline[linestyle=dashed](-3,2.7)(3.4,-0.45)
\psdots(-2.2,2.3)(2.3,0.1)
\uput[u](-2.2,2.3){$M_a$}\uput[u](2.3,0.1){$N_a$}
\uput[dl](-1.6,1.8){\red $\mathcal{C}$}\uput[d](2.3,-0.43){$T_0$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		
Interpréter graphiquement ce résultat.
		\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
		
Calculer $f'(x)$ puis montrer que, pour tout nombre réel $x$,\: $f'(x) = \dfrac{-1}{1 + \text{e}^x}$.
		\item Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}	
\item On note $T_0$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente $T_0$.
		\item Montrer que la fonction $f$ est convexe sur $\R$.
		\item En déduire que, pour tout nombre réel $x$, on a : 
		\[f(x) \geqslant  - \dfrac12x + \ln (2).\]
		\end{enumerate}	
\item Pour tout nombre réel $a$ différent de 0, on note $M_a$ et $N_a$ les points de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives $-a$ et $a$. 

On a donc : $M_a\left(-a~;~ f(-a)\right)$ et $N_a\left(a~;~ f(a)\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x) - f(-x) = - x$.
		\item En déduire que les droites $T_0$ et $\left(M_aN_a\right)$ sont parallèles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}