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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{10 septembre 2025}}
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\thispagestyle{empty}


\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole 10 septembre 2025~\decofourright\\[7pt] Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

El Niño est un phénomène océanique à grande échelle du Pacifique équatorial qui affecte le régime des vents, la température de la mer et les précipitations sur l’ensemble du globe. Certaines années, ce phénomène est dit \og dominant \fg. Les scientifiques cherchent à modéliser l’apparition de ce phénomène.

\begin{center}\emph{Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes}\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A - Premier modèle}

\medskip

À partir d’un échantillon de données, on considère une première modélisation :

\begin{itemize}
\item chaque année, la probabilité que le phénomène El Niño soit dominant est égale à $0,4$ ;
\item la survenue du phénomène El Niño se fait de façon indépendante d’une année sur
l’autre.
\end{itemize}

On note $X$ la variable aléatoire qui, sur une période de 10 ans, associe le nombre d’années où El Niño est dominant.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que, sur une période de 10 ans, le phénomène El Niño soit dominant exactement 2 années.
		\item Calculer $P(X \leqslant 2)$. Que signifie ce résultat dans le contexte de l’exercice ?
	\end{enumerate}
\item Calculer $E(X)$. Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Second modèle}

\medskip

Après une étude d’un recueil de données plus important sur les 50 dernières années, une autre modélisation apparait plus pertinente :

\begin{itemize}
\item si le phénomène El Niño est dominant une année, alors la probabilité qu’il le soit
encore l’année suivante est $0,5$
\item par contre, si le phénomène El Niño n’est pas dominant une année, alors la
probabilité qu’il soit dominant l’année suivante est $0,3$.
\end{itemize}

On considère que l’année de référence est 2023.

On note pour tout entier naturel $n$ :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $E_n$ l’évènement \og le phénomène El Niño est dominant l’année $2023 + n$ \fg ;
\item $p_n$ la probabilité de l’évènement $E_n$.
\end{itemize}

En 2023, El Niño n’était pas dominant. On a ainsi $p_0 = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$E_n~$}\taput{$p_n$}}
	{\TR{$E_{n+1}$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{E_{n+1}}$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{E_n}~$}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$E_{n+1}$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{E_{n+1}}$} \tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}
\item Justifier que $p_1 = 0,3$.
\item En vous aidant de l’arbre, montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a :

\[p_{n+1} = 0,2p_n + 0,3\]
\end{enumerate}

On cherche à prévoir l’évolution de l’apparition du phénomène El Niño.

\begin{enumerate}[resume]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Conjecturer les variations et la limite éventuelle de la suite $(p_n)$.
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $p_n \leqslant \dfrac38$.
		\item Déterminer le sens de variation de la suite $(p_n)$.
		\item En déduire la convergence de la suite $(p_n)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On cherche à déterminer la limite de la suite $(p_n)$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n = p_n - \dfrac38$ pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique de raison 0,2 et préciser son premier terme.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a :
		
		\[p_n = \dfrac38\left(1 - 0,2^n\right).\]
		
		\item Calculer la limite de la suite $(p_n)$.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse.\\ Chaque réponse doit être justifiée.\\ Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans une classe de 24 élèves, il y a 14 filles et 10 garçons.

\textbf{Affirmation 1 :}

Il est possible de constituer 272 groupes différents de quatre élèves composés de deux filles et deux garçons.
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 3\sin(2x + \pi)$ et $C$ sa courbe représentative dans un repère donné.

\textbf{Affirmation 2 :}

Une équation de la tangente à $C$ au point d’abscisse $\dfrac{\pi}{2}$ est $y = 6x - 3\pi$.

\item On considère la fonction $F$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $F(x) = (2x + 1)\ln (x)$.

\textbf{Affirmation 3 :}

La fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac2x$.
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(t) = 45\e^{0,06t} + 20$.

\textbf{Affirmation 4 :}

La fonction $g$ est l’unique solution de l'équation différentielle

$(E_1)\: ∶ y' + 0,06y = 1,2$ vérifiant $g(0) = 65$.

\item On considère l’équation différentielle :

\[(E_2) :\quad y' - y = 3\e^{0,4x}\]

où $y$ est une fonction positive de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ la fonction dérivée de la fonction $y$.

\textbf{Affirmation 5 :}

Les solutions de l’équation $(E_2)$ sont des fonctions convexes sur $\R$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur ]0~;~8] par 

\[f(x) = \dfrac{10\ln \left(- x^2 + 7x + 9\right)}{x}\]

Soit $C_f$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l’inéquation $- x^2 + 7x + 8 \geqslant 0$.
\item En déduire que pour tout $x \in ]0~;~8]$, on a $f(x) \geqslant 0$.
\item Interpréter graphiquement ce résultat.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

La courbe $C_f$ est représentée ci-dessous.

Soit $M$ le point de $C_f$ d’abscisse $x$ avec $x \in ]0~;~8]$.

On appelle $N$ et $P$ les projetés orthogonaux du point $M$ respectivement sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées.

Dans cette partie, on s’intéresse à l’aire $\mathcal{A}(x)$ du rectangle O$NMP$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(8.5,10)
\uput[ur](4,7.6){\red $(C_f)$}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,labels=none](0,0)(8.5,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,labels=none]{->}(1,1)
\psframe[linewidth=1.5pt](6.8,3.438)\psframe(6.8,0)(6.6,0.2)\psframe(0,3.438)(0.2,3.238)
\uput[dl](0,0){O}\uput[l](0,3.438){$P$}\uput[ur](6.8,3.438){$M$}\uput[d](6.8,0){$N$}
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,labels=none](0,0)(8,10)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{3}{8}{7 x mul 9 add x dup mul sub ln 10 mul x div}
\uput[d](0.5,0){\small $\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){\small $\vect{\jmath}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des points $N$ et $P$ en fonction de $x$.
\item Montrer que pour tout $x$ appartenant à l’intervalle ]0~;~8],

\[\mathcal{A}(x) = 10 \ln \left(-x^2 + 7x + 9\right)\]

\item Existe-t-il une position du point $M$ pour laquelle l’aire du rectangle O$NMP$ est
maximale ? Si elle existe, déterminer cette position.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère un réel strictement positif $k$.

On souhaite déterminer la plus petite valeur de $x$, approchée au dixième, appartenant à [3,5~;~8] pour laquelle l’aire $\mathcal{A}(x)$ devient inférieure ou égale à $k$.

Pour ce faire, on considère l’algorithme ci-dessous.

Pour rappel, en langage Python, $\ln (x)$ s’écrit log ($x$).

\begin{center}
\begin{ttfamily}
\begin{tabular}{c l}
1&from math import *\\
2&\\
3&def A(x) :\\
4&\quad return 10*log (- 1* x**2 + 7*x + 9)\\
5&\quad \\
6&def pluspetitevaleur(k) :\\
7&\quad x = 3.5\\
8&\quad while A(x).......... :\\
9& \qquad x = x + 0.1\\
10&\quad return ...........
\end{tabular}
\end{ttfamily}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter les lignes 8 et 10 de l’algorithme.
\item Quel nombre renvoie alors l’instruction \texttt{pluspetitevaleur}(30) ?
\item Que se passe-t-il lorsque $k = 35$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.

On considère les points 

\begin{center}A$(4~;~-1~;~3)$,\quad B$(-1~;~1~;~-2)$,\quad C(0~;~4~;~5) et D$(-3~;~-4~;~6)$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que les points A, B, C ne sont pas alignés.
	\end{enumerate}

On admet qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : $29x + 30y - 17z = 35$.

	\begin{enumerate}[resume]
		\item Les points A, B, C, D sont-ils coplanaires ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On admet que lorsque quatre points ne sont pas coplanaires, il existe un unique point situé à égale distance de ces quatre points.

L’objectif de cet exercice est de déterminer le point H se situant à égale distance des quatre points A, B, C, D.

On définit le plan médiateur d’un segment comme le plan passant par le milieu de ce segment et orthogonal à la droite portant ce segment. C’est l’ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $P_1$ le plan médiateur du segment [AB].
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du milieu du segment [AB].
		\item En déduire qu'une équation cartésienne de $P_1$ est : $5x - 2y + 5z = 10$.
	\end{enumerate}
\item On note $P_2$ le plan médiateur du segment [CD].
	\begin{enumerate}
		\item Soit M un point du plan $P_2$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$.
		
Exprimer MC$^2$ et MD$^2$ en fonction des coordonnées de M.

En déduire qu’une équation cartésienne du plan $P$ est : $-3x - 8y + z = 10$.
		\item Justifier que les plans $P_1$ et $P_2$ sont sécants.
	\end{enumerate}
\item Soit $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x& =& -2 - 1,9t\\
y&= &\phantom{-2 - 1,9}t\\
z&= & \phantom{-}4 + 2,3t
\end{array}\right.\: \text{où}\: t \in \R\]

Démontrer que $\Delta$ est la droite d’intersection de $P_1$ et $P_2$.
\end{enumerate}

On note $P_3$ le plan médiateur du segment [AC].

On admet qu'une équation cartésienne du plan $P_3$ est : $8x - 10y - 4z= - 15.$

\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer que la droite $\Delta$ et le plan $P_3$ sont sécants.
\item Justifier que le point d’intersection entre $\Delta$ et $P_3$ est le point H.
\end{enumerate}

\end{document}