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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Métropole-La Réunion}}
\rfoot{\small{8 septembre 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Baccalauréat STMG Métropole-La Réunion ~\decofourright\\[6pt]8 septembre 2020}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}  

\medskip

Dans un cadre économique, on appelle fonction de \emph{satisfaction} toute fonction $S$ de la variable $t$ dont les valeurs $S(t)$ sont comprises entre $0$ et $100$.

On dit qu'il y a \emph{envie} sur un intervalle lorsque la fonction de satisfaction $S$ est croissante sur cet intervalle, sinon on dit qu'il y a rejet.

On dit qu'il y a \emph{saturation} lorsque la fonction $S$ prend la valeur $100$.

Un client dispose de trois heures pour faire ses achats dans une zone commerciale. On modélise sa \emph{satisfaction} en fonction de son temps de présence sur place, en minute, par la fonction de satisfaction $S$, définie sur l'intervalle [0~;~180], dont la courbe est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=0.06cm}
\begin{pspicture}(-10,-15)(210,110)
\multido{\n=0+10}{21}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,110)}
\multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(210,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(210,110)
\uput[r](0,105){\emph{satisfaction}}
\uput[d](175,-8){temps passé en minute}
\uput[u](205,0){$t$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{180}{x 180 x sub  mul 81 div}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le client est-il plus satisfait au bout de $20$ minutes ou au bout de $2$ heures de présence dans la zone commerciale ? 

On explicitera la démarche menée.
\item À l'aide du graphique, préciser le moment où il y a \emph{saturation}.
\item À l'aide du graphique donner un intervalle sur lequel il y a \emph{envie}.
\item On admet que, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle [0~;~180], $S(t) = a t (180 - t)$, où $a$ est un nombre réel. 

Déterminer la valeur de $a$ en précisant la démarche mise en œuvre.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}  

\medskip

Pour essayer de prévoir le risque de défaillance des entreprises, l'économiste W. Beaver a introduit un ratio défini, pour chaque entreprise, par le quotient de la marge brute d'autofinancement par les dettes totales.

On admet que, pour une entreprise saine, ce ratio peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 0,7$ et d'écart-type $\sigma = 0,18$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour chacune des courbes de densité ci-dessous, la droite représentée en pointillés est un axe de symétrie.

Parmi les représentations suivantes, préciser celle qui correspond à la courbe de densité de la loi de $X$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=6cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-2,-0.1)(6,0.7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=0.1]{->}(0,0)(-2,0)(6,0.7)
\psGauss[mue=0.18,sigma=0.7,linecolor=blue]{-2}{5}
\psline[linestyle=dotted](0.18,-0.1)(0.18,0.6)
\rput(0.18,-0.1){\small $x = 0,18$}
\end{pspicture}&
\psset{xunit=2.5cm,yunit=0.75cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.05,-1)(1.3,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=0.2,Dy=1]{->}(0,0)(-0.05,-0.2)(1.3,4)
\psline[linestyle=dotted](0.7,-0.1)(0.7,4)
\psGauss[mue=0.7,sigma=0.18,linecolor=blue]{0}{1.3}
\rput(0.7,-1){\small $x = 0,7$}
\end{pspicture}&
\psset{xunit=1.9cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.3)(2,0.7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(2,0.8)
\psline[linestyle=dotted](0.88,-0.1)(0.88,0.7)
\psGauss[mue=0.9,sigma=0.7,linecolor=blue]{-0.1}{2}
\rput(0.88,-0.35){\small $x = 0,88$}
\end{pspicture}\\
Figure 1&Figure 2&Figure 3\\
\end{tabularx}
\end{center}

\item Quelle est la probabilité qu'une entreprise saine ait un ratio compris entre 0,34 et 1,06?
\end{enumerate}

On admet que le ratio d'une entreprise défaillante peut être modélisé par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale d'espérance $\mu = 0,1$.

On admet que $P(- 0,2 \leqslant Y \leqslant- 0,1) = 0,068$ et $P(0,1 \leqslant Y \leqslant 0,3) = 0,409$.

\begin{enumerate}[resume]
\item La courbe de densité de la loi de $Y$ est représentée en annexe 1, à rendre avec la copie.

 Hachurer sur le graphique les zones correspondant aux deux probabilités données.
\item En s'aidant du graphique et en utilisant les valeurs fournies, calculer la probabilité qu'une entreprise défaillante ait un ratio supérieur à $0,4$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}  

\medskip

Léo est un amateur d'\emph{escape games}, jeux comportant la résolution de plusieurs énigmes pour réussir une mission donnée. Ses amis lui ont offert un coffret cadeau lui permettant de participer à l'\emph{escape game} de son choix.

Le livret accompagnant le coffret cadeau comporte $150$ pages. Chaque page correspond à un \emph{escape game} différent dont elle précise le cadre (soit en intérieur, soit en extérieur) et la catégorie (soit enquête, soit évasion, soit science-fiction).

La moitié des pages du livret correspond à la catégorie \emph{enquête}.

Le tiers des pages du livret correspond à la catégorie \emph{évasion}.

Les pages restantes correspondent aux \emph{escape games} de la catégorie \emph{science-fiction}.

\medskip

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item Dans la catégorie \emph{enquête}, 70 \emph{escape games} se déroulent en intérieur.
\item Dans la catégorie \emph{évasion}, 42 \emph{escape games} se déroulent en intérieur.
\item Dans la catégorie \emph{science-fiction}, 3 \emph{escape games} se déroulent en extérieur.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

Léo choisit de façon équiprobable un nombre entier entre 1 et 150. Il ouvre alors le livret à la page ayant ce nombre pour numéro.

On définit les évènements suivants:

\setlength\parindent{1cm}
\begin{description}
\item[ ] $E$ : \og la page correspond à un \emph{escape game} de la catégorie enquête\fg{};
\item[ ] $V$ : \og la page correspond à un \emph{escape game} de la catégorie évasion\fg{} ;
\item[ ] $S$ : \og la page correspond à un \emph{escape game} de la catégorie science-fiction\fg{} ; 
\item[ ] $I$ : \og la page correspond à un \emph{escape game} se déroulant en intérieur\fg{} ;
\end{description}
\setlength\parindent{0cm}

$\overline{I}$ désigne l'évènement contraire de l'évènement $I$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter l'arbre pondéré donné en \textbf{annexe 1, à rendre avec la copie}.
\item Calculer la probabilité de l'évènement $S \cap \overline{I}$.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Montrer que la probabilité que la page choisie corresponde à un \emph{escape game} se déroulant en extérieur est égale à $\dfrac{8}{75}$
\item Léo décide finalement de sélectionner une page parmi celles concernant les \emph{escape games} se déroulant en extérieur.

Quelle est la probabilité que la page choisie corresponde à un \emph{escape game} de la catégorie \emph{science-fiction} ?
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points}  

\medskip

Le produit intérieur brut par habitant (PIB) est une mesure de l'activité économique d'un pays.

\bigskip

\textbf{Partie A : PIB par habitant de la zone euro}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne le PIB par habitant de la zone euro, exprimé en standard de pouvoir d'achat (SPA), pour les années 2012 à 2018. Le SPA est une unité monétaire artificielle qui permet de gommer les différences de prix entre les États membres.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&2012	&2013	&2014	&2015	&2016	&2017	&2018\\ \hline
Rang de l'année: $x_i$	& 0 	&1 		&2 		&3		&4		&5 		&6\\ \hline
PIB par habitant de la zone euro (en SPA) : $y_i$	&\np{28600} &\np{28700} &\np{29500} &\np{30900}&\np{31200}&\np{31900}&\np{32800}\\  \hline
\multicolumn{8}{r}{\footnotesize Source : https ://ec.europa.eu/eurostat/}
\end{tabularx}
\end{center} 

Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est donnée en \textbf{annexe 2, à rendre avec la copie}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner l'équation réduite de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au dixième.
\item On décide d'ajuster le nuage de points par la droite $D$ d'équation $y = 740x + \np{28300}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées de deux points de la droite $D$, puis tracer cette droite sur le graphique donné en \textbf{annexe 2, à rendre avec la copie}.
		\item D'après ce modèle, que l'on admet valide jusqu'en 2021, quel PIB par habitant de la zone euro peut-on prévoir pour 2020 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne le PIB par habitant des États-Unis, exprimé en standard de pouvoir
PIB par habitant des États-Unis (en SPA), pour les années 2012 à 2018.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année&2012& 2013& 2014& 2015&2016&2017& 2018\\ \hline
PIB par habitant des États-Unis d'achat (en SPA)&\np{38900} & \np{38900} & \np{40500} & \np{42600} & \np{42000}& \np{42200}& \np{44300}\\ \hline
\multicolumn{8}{r}{\footnotesize Source: https ://ec.europa.eu/eurostat/}
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, à l'aide du tableau, le taux d'évolution global du PIB par habitant des États-Unis entre 2012 et 2018. Le résultat sera exprimé en pourcentage, arrondi au centième.
\item Calculer le taux d'évolution moyen annuel du PIB par habitant des États-Unis entre 2012 et 2018, exprimé en pourcentage arrondi au centième.
\item On fait l'hypothèse que le taux d'évolution moyen annuel du PIE par habitant des États-Unis est constant et égal à 2,2\,\%, entre 2018 et 2035.

On modélise alors l'évolution de ce PIB par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0 = \np{44300}$. Le terme $u_n$ représente ce PIB, exprimé en SPA, pour l'année $(2018 + n)$, où $n$ est un entier naturel.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la valeur de la raison de cette suite géométrique. 
		\item Exprimer $u_n$ en fonction de l'entier naturel $n$.
		\item D'après ce modèle, estimer le PIB par habitant des États-Unis en 2032.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : comparaison des PIB par habitant des deux zones}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier qu'en 2018 le PIB par habitant de la zone euro était inférieur aux trois quarts du PIB par habitant des États-Unis.
\end{enumerate}

On fait l'hypothèse que le PIB par habitant de la zone euro augmente chaque année de 2,3\,\% entre 2018 et 2035 et on reprend le modèle de la \textbf{Partie B question 3} pour le PIB par habitant des États-Unis.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1} 
\item On s'interroge alors sur la possibilité que le PIB par habitant de la zone euro devienne supérieur aux trois quarts du PIB par habitant des États-Unis avant 2035.

Compléter l'algorithme donné en \textbf{annexe 2, à rendre avec la copie}, afin qu'il réponde à cette interrogation.
\item On admet que la variable $N$ contient la valeur \np{2032} après exécution de cet algorithme.

 Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{\large ANNEXE 1}

\medskip

\textbf{à rendre avec la copie}
\end{center}
\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=10cm,yunit=1.5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.4,-0.1)(0.6,2.5)
\multido{\n=-0.3+0.1}{10}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,-0.1)(\n,2.5)}
\multido{\n=0.0+0.75}{4}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](-0.4,\n)(0.6,\n)}
\psaxes[linewidth=0pt,Dx=0.1](0,0)(-0.4,0)(0.6,0.3)
\psGauss[mue=0.1,sigma=0.2]{-0.4}{0.6}
\psline[linewidth=1.25pt](0.1,0)(0.1,2)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{Exercice 3}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=3cm,treesep=1.2cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$E$~~}\taput{$\frac{75}{150}$}}
	{\TR{$I$} \taput{$\frac{70}{75}$}
	\TR{$\overline{I}$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$V$~~}\taput{\ldots}}
	{\TR{$I$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{I}$} \tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$S$~~}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$I$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{I}$} \tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}
\newpage
\begin{center}

\textbf{\large ANNEXE 2}

\medskip

\textbf{à rendre avec la copie}
\end{center}

\textbf{Exercice 4 -- Partie A}

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.0005cm}
\begin{pspicture}(-0.4,25000)(10,39000)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,26000)(\n,39000)}
\multido{\n=26000+500}{27}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(10,\n)}
\multido{\n=26000+1000}{13}{\uput[l](0,\n){\footnotesize\np{\n}}}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=1000,labels=x]{->}(0,26000)(10,39000)
\psdots(0,28600)(1,28700)(2,29500)(3,30900)(4,31200)(5,31900)(6,32800)
\end{pspicture} 
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 - Partie C}

\medskip

\begin{center}

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\fbox{
\begin{tabular}{l}
$N \gets  2018$\\
$U \gets  \np{44300}$\\
$V \gets  \np{32800}$\\
Tant que $V < \dfrac{3}{4} \times  U$\\
\qquad $N \gets \ldots$\\
\qquad $U \gets \ldots$\\
\qquad $V \gets 1,023 \times V$\\
Fin Tant que \\
\end{tabular}
}
\end{center}
\end{document}