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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 19 juin 2008}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 19 juin 2008 \decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Les courbes $\mathcal{C}_{f}$	et $\mathcal{C}_{g}$	données ci-dessous représentent respectivement, dans un repère orthonormal
\Oij, les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :
 
\[f(x) = \ln x \quad \text{et}\quad  g(x) = (\ln x)^2.\]

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(0,-3.5)(4.2,3)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(0,-3.5)(4.2,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](1,0){1} \uput[d](2.71828,0){e} \uput[l](0,1){1}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.0302}{4}{x ln}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1763}{4}{x ln 2 exp}
\psline[linestyle=dashed](2.718,0)(2.718,1)
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.71828}{x ln 2 exp}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{2.71828}{1}{x ln}
}
\uput[d](3.5,1.2){$\mathcal{C}_{f}$} \uput[u](3.5,1.6){\blue$\mathcal{C}_{g}$} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  On cherche à déterminer l'aire $\mathcal{A}$ (en unités d'aire) de la partie du plan hachurée.

On note $I = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \ln x\:\text{d}x$ et $J = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} (\ln x)^2\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 
		
		$F(x) = x\ln x - x$ est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire $I$.
		\item  Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que $J = \text{e} - 2I$.
		\item  En déduire $J$.
		\item  Donner la valeur de $\mathcal{A}$.
 	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.}

Pour $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~e], on note $M$ le point de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ d'abscisse $x$ et $N$ le point de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ de même abscisse. Pour quelle valeur de $x$ la distance $MN$ est maximale ? Calculer la valeur maximale de $MN$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère les points

\[\text{A}(1~;~1~;~0),\quad	\text{B}(1~;~2~;~1)\quad \text{et}\quad  \text{C}(3~;~- 1~;~2).\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
		\item  Démontrer que le plan (ABC) a pour équation cartésienne 
		
		$2x + y - z -3 = 0$.
 	\end{enumerate}
\item On considère les plans ($P$) et ($Q$) d'équations respectives $x + 2y - z - 4 = 0$ et $2x + 3y - 2z - 5 = 0$.

Démontrer que l'intersection des plans ($P$) et ($Q$) est une droite ($\mathcal{D}$), dont une représentation
paramétrique est :

\[  \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&-2 + t\\
y&=&3 \\	
z&=&t\\
\end{array} \right.\: (t \in \R)\]
	
\item Quelle est l'intersection des trois plans (ABC), ($P$) et ($Q$) ?
\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}

Déterminer la distance du point A à la droite ($\mathcal{D}$).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

La durée de vie, exprimée en heures, d'un agenda électronique est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $X$ est un réel strictement positif.

\medskip

On rappelle que pour tout $t \geqslant  0, ~P(X \leqslant  t) = \displaystyle\int_{0}^t \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$.
 
La fonction $R$ définie sur l'intervalle $[0~ ;~+\infty[$ par $R(t)= P(X> t)$ est appelée fonction de fiabilité.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Restitution organisée de connaissances
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout $t \geqslant 0$ on a $R(t) = \text{e}^{- \lambda t}$.
		\item  Démontrer que la variable $X$ suit une loi de durée de vie sans vieillissement, c'est-à-dire que pour tout réel $s\geqslant 0$, la probabilité conditionnelle $P_{X > t}(X > t + s)$ ne dépend pas du nombre $t \geqslant 0$.
 	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on prend $\lambda = \np{0,00026}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $P(X \leqslant \np{1000})$ et $P (X > \np{1000}$).
		\item  Sachant que l'évènement $(X>\np{1000})$ est réalisé, calculer la probabilité de l'évènement $(X> \np{2000})$.
		\item  Sachant qu'un agenda a fonctionné plus de \np{2000} heures, quelle est la probabilité qu'il tombe en panne avant \np{3000} heures ? Pouvait-on prévoir ce résultat ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 1~cm).

Soient A, B et I les points d'affixes respectives 1 + i, $3 - \text{i}$ et 2. 
 
À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que $z' = z^2 - 4z$. Le point $M'$ est appelé l'image de $M$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Faire une figure sur une feuille de papier millimétré et compléter cette figure tout au long de l'exercice.
\item  Calculer les affixes des points A$'$ et B$'$, images respectives des points A et B. Que remarque-t-on ?
\item  Déterminer les points qui ont pour image le point d'affixe $- 5$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que pour tout nombre complexe $z$, on a : $z' + 4 = (z - 2)^2$.
		\item  En déduire une relation entre $\left|z' + 4\right|$ et $|z - 2|$ et, lorsque $z$ est différent de 2, une relation entre
	arg$\left(z' +4\right)$ et arg $(z - 2)$,
		\item  Que peut-on dire du point $M'$ lorsque $M$ décrit le cercle $\mathcal{C}$ de centre I et de rayon 2 ?
 	\end{enumerate}
\item Soient E le point d'affixe $2 + 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$, J le point d'affixe $-4$ et E$'$ l'image de E.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la distance IE et une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{u}~;~\vect{\text{IE}}\right)$.
		\item  Calculer la distance JE$'$ et une mesure en radians de l'angle $\left(\vect{u}~;~\vect{\text{JE}'}\right)$.
		\item  Construire à la règle et au compas le point E$'$ ; on laissera apparents les traits de construction.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

Soient A et B les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 - \text{i}$ et $z_{\text{B}} = 7+ \dfrac{7}{2} \text{i}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère la droite ($d$) d'équation $4x + 3y = 1$.

Démontrer que l'ensemble des points de ($d$) dont les coordonnées sont entières est l'ensemble des points $M_{k}(3k + 1~;~- 4k -1)$ lorsque $k$ décrit l'ensemble des entiers relatifs.
\item Déterminer l'angle et le rapport de la similitude directe de centre A qui transforme B en $M_{-1}(- 2~;~3)$.
\item Soit $s$ la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z $ associe le point $M'$ d'affixe

\[z' = \dfrac{2}{3}\text{i}z + \dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{3}\text{i}.\]

Déterminer l'image de A par $s$, puis donner la nature et les éléments caractéristiques de $s$.
\item On note B$_{1}$ l'image de B par $s$ et pour tout entier naturel $n$ non nul, B$_{n+1}$ l'image de B$_{n}$ par $s$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la longueur AB$_{n+1}$ en fonction de AB$_{n}$.
		\item  À partir de quel entier $n$ le point B$_{n}$, appartient t-il au disque de centre A et de rayon $10^{-2}$ ?
		\item  Déterminer l'ensemble des entiers $n$ pour lesquels A, B$_{1}$ et B$_{n}$ sont alignés.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}