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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 21 juin 2011}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 21 juin 2011 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.}

\medskip

Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à $10^{-4}$.

Dans un pays, il y a 2\,\% de la population contaminée par un virus.

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de $0,99$ (sensibilité du test).
\item La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de $0,97$ (spécificité du test).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.

On note $V$ l'évènement \og la personne est contaminée par le virus\fg{} et $T$ l'évènement \og le test est positif \fg.

$\overline{V}$ et $\overline{T}$ désignent respectivement les évènements contraires de $V$ et $T$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les valeurs des probabilités $P(V),\, P_{V}(T),\, P_{\overline{V}}(\overline{T})$.
		
Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
		\item En déduire la probabilité de l'évènement $V \cap T$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la probabilité que le test soit positif est \np{0,0492}.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier par un calcul la phrase :
		
\og Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40\,\% de \og chances \fg{} que la personne soit contaminée \fg.
		\item Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants.

On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
\item Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n'est demandée. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv.

On désigne par A, B, C, D les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1,\, z_{\text{B}} = \text{i},\, z_{\text{C}} = - 1,$

$ z_{\text{D}} = - \text{i}$.

\begin{enumerate}
\item L'image E du point D par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ a pour affixe :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $z_{\text{}} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}(1 + \text{i})$,
\item[$\bullet~~$] $z_{\text{}} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}(1 - \text{i})$,
\item[$\bullet~~$] $z_{\text{}} = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2}(1 - \text{i})$,
\item[$\bullet~~$] $z_{\text{}} = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2}(1 + \text{i})$,
\end{itemize}

\item L'ensemble des points d'affixe $z$ telle que $|z + \text{i}| = |z -1|$ est :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la médiatrice du segment [BC],
\item[$\bullet~~$] le milieu du segment [BC],
\item[$\bullet~~$] le cercle de centre O et de rayon 1,
\item[$\bullet~~$] la médiatrice du segment [AD].
\end{itemize}

\item  L'ensemble des points d'affixe $z$ telle que $\dfrac{z + \text{i}}{z + 1}$ soit un imaginaire pur est :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la droite (CD) privée du point C,
\item[$\bullet~~$] le cercle de diamètre [CD] privé du point C,
\item[$\bullet~~$] le cercle de diamètre [BD] privé du point C,
\item[$\bullet~~$] la médiatrice du segment [AB].
\end{itemize}

\item  L'ensemble des points d'affixe $z$ telle que arg$(z - i) = - \dfrac{\pi}{2} + 2 k\pi$ où $k \in \Z$ est :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] le demi-cercle de diamètre [BD] passant par A,
\item[$\bullet~~$] la droite (BD),
\item[$\bullet~~$] la demi-droite ]BD) d'origine B passant par D privée de B,
\item[$\bullet~~$] le cercle de diamètre [BD] privé de B et D.
\end{itemize}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on désigne par $f_{n}$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[f_{n}(x) = x^n\text{e}^{- x}.\]

On note $\mathcal{C}_{n}$  sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{} du plan.

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbe $\mathcal{C}_{k}$ où $k$ est un entier naturel non nul, sa tangente $T_{k}$ au point d'abscisse 1 et la courbe $\mathcal{C}_{3}$·

\medskip

La droite $T_{k}$ coupe l'axe des abscisses au point A de coordonnées $\left(\dfrac{4}{5}~;~0\right)$.

\medskip

\psset{unit=1.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1.7)(5,2.5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-1,-1.5)(5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](5,0){$x$}\uput[r](0,2.5){$y$}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[d](0.8,0){A}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.9}{5}{x 3 exp  2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-0.99}{1.5}{x 6 exp  2.71828 x exp div}
\uput[l](1.35,1.6){\blue $\mathcal{C}_{k}$}\uput[r](-0.8,-1.3){$\mathcal{C}_{3}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.pt]{-0.15}{2.2}{x 1.84 mul 1.4715 sub}
\uput[r](2,2.15){$T_{k}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
		\item Étudier les variations de la fonction $f_{1}$ et dresser le tableau de variations de $f_{1}$.
		\item À l'aide du graphique, justifier que $k$ est un entier supérieur ou égal à 2.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour $n \geqslant 1$, toutes les courbes $\mathcal{C}_{n}$ passent par le point O et un autre point dont on donnera les coordonnées.
		\item Vérifier que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, et pour tout réel $x$,
		
\[f'_{n}(x) = x^{n-1} (n - x)\text{e}^{- x}.\]

	\end{enumerate}
\item Sur le graphique, la fonction $f_{3}$ semble admettre un maximum atteint pour $x = 3$.

Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration.
\item
	\begin{enumerate}
	\item Démontrer que la droite $T_{k}$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(\dfrac{k-2}{k-1}~;~0\right)$.
	\item En déduire, à l'aide des données de l'énoncé, la valeur de l'entier $k$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On désigne par $\left(I_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 par

\[I_{n} = \int_{0}^1 x^n \text{e}^{- x}\:\text{d}x.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $I_{1}$.
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les portions des courbes $\mathcal{C}_{1},\: \mathcal{C}_{2},$

$\mathcal{C}_{3},\: \mathcal{C}_{10},\: \mathcal{C}_{20},\: \mathcal{C}_{30}$ comprises dans la bande définie par $0 \leqslant x \leqslant 1$.

\medskip

\psset{unit=9cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.1,0.6)
%\psgrid[subgriddiv=10]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.5,comma=true]{->}(0,0)(-0.1,-0.1)(1.1,0.6)
\uput[d](1.1,0){$x$}\uput[l](0,0.6){$y$}\uput[dl](0,0){O}
%\multido{\n=1+1}{3}{\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x \n exp 2.71828 x exp div}}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x  2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 2 exp 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 3 exp 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 10 exp 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 20 exp 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{x 30 exp 2.71828 x exp div}
\uput[l](0.2,0.17){$\mathcal{C}_{1}$}
\uput[l](0.5,0.17){$\mathcal{C}_{2}$}
\uput[l](0.7,0.18){$\mathcal{C}_{3}$}
\uput[l](0.92,0.17){$\mathcal{C}_{10}$}
\uput[l](0.93,0.08){$\mathcal{C}_{20}$}
\uput[r](0.92,0.03){$\mathcal{C}_{30}$}
\psline[linestyle=dashed](1,0)(1,0.368)
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite $(I_{n})$ en décrivant sa démarche.
		\item Démontrer cette conjecture.
		\item En déduire que la suite $\left(I_{n}\right)$ est convergente.
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(I_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

\medskip

\textbf{Partie  A -- Restitution organisée de connaissances}

\medskip

On désigne par $\mathcal{P}$ le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$ et par $M_{0}$ le point de coordonnées $\left(x_{0}~;~y_{0}~;~z_{0}\right)$. On appelle $H$ le projeté orthogonal du point $M_{0}$ sur le plan $\mathcal{P}$.
\medskip

\emph{On suppose connue la propriété suivante :}

\textbf{Propriété :} Le vecteur $\vect{n} = a\vect{\imath} + b\vect{\jmath}+ c\vect{k}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.

Le but de cette partie est de démontrer que la distance $d\left(M_{0},\, \mathcal{P}\right)$ du point $M_{0}$ au plan $\mathcal{P}$, c'est-à-dire la distance $M_{0}H$, est telle que

\[d\left(M_{0},\, \mathcal{P}\right) = \dfrac{\left|ax_{0} + by_{0} + cz_{0} + d  \right|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.\]

\begin{enumerate}
\item Justifier que $\left|\vect{n} \cdot  \vect{M_{0}H}\right| = M_{0}H\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.
\item Démontrer que $\vect{n} \cdot  \vect{M_{0}H} = - ax_{0} - by_{0} - cz_{0} - d$.
\item Conclure.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On désigne par A, B, C, F les points de coordonnées respectives (4~;~1~;~5), $(-3~;~2~;~0)$,

 (1~;~3~;~6),\, $(-7~;~0~;~4)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points A, B, C définissent un plan $\mathcal{P}$ et que ce plan a pour équation cartésienne $x + 2y - z - 1 = 0$.
		\item Déterminer la distance $d$ du point F au plan $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate}
\item Le but de cette question est de calculer la distance $d$ par une autre méthode.

On appelle $\Delta$ la droite qui passe par le point F et qui est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
		\item Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point F sur le plan $\mathcal{P}$.
		\item Retrouver le résultat de la question 1. b.
	\end{enumerate}
\item Soit $\mathcal{S}$ la sphère de centre F et de rayon 6.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le point B appartient à la sphère $\mathcal{S}$.
		\item Préciser le centre et déterminer le rayon du cercle $\mathcal{C}$, intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et du plan $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{PARTIE A - Restitution organisée de connaissances}

\medskip

On rappelle ci-dessous le théorème de BÉZOUT et le théorème de GAUSS.

Théorème de BÉZOUT :

Deux entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si, il existe un couple
$(u~;~v)$ d'entiers relatifs vérifiant $au + bv = 1$.

\medskip

Théorème de GAUSS :

Soient $a,\, b,\, c$ des entiers relatifs.

Si $a$ divise le produit $bc$ et si  $a$   et $b$  sont premiers entre eux, alors $a$ divise $c$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant le théorème de BÉZOUT, démontrer le théorème de GAUSS.
\item Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels tels que $p$ et $q$ sont premiers entre eux.

Déduire du théorème de GAUSS que, si $a$ est un entier relatif, tel que 

$a \equiv 0 \quad [p]$  et $a \equiv 0 \quad [q]$, alors $a \equiv 0 \quad [pq]$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On se propose de déterminer l'ensemble $\mathcal{S}$ des entiers relatifs $n$ vérifiant le système :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
n &\equiv  & 9 \quad [17]\\
n &\equiv &3 \quad [5]
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item Recherche d'un élément de $\mathcal{S}$.

On désigne par $(u~;~v)$ un couple d'entiers relatifs tel que $17u + 5v = 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'existence d'un tel couple $(u~;~v)$.
		\item On pose $n_{0} = 3 \times  17u + 9 \times 5v$.
		
Démontrer que $n_{0}$ appartient à $\mathcal{S}$.
		\item Donner un exemple d'entier $n_{0}$ appartenant à $\mathcal{S}$.
	\end{enumerate}
\item  Caractérisation  des éléments  de $\mathcal{S}$.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n$ un entier relatif appartenant à $\mathcal{S}$.
		
Démontrer que $n - n_{0} \equiv  0\quad  [85]$.
		\item En déduire qu'un entier relatif $n$ appartient à $\mathcal{S}$ si et seulement si il peut s'écrire sous la forme $n =  43 + 85k$ où $k$ est un entier relatif.
	\end{enumerate}
\item Application

Zoé sait qu'elle a entre 300 et 400 jetons.

Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9.

Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3.

Combien a-t-elle de jetons ?
\end{enumerate}
\end{document}