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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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% Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 23 juin 2009}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 23 juin 2009~ \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : 
\[u_{0} = 1 \quad \text{et, pour tout nombre entier naturel} ~ n,~ u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u _{n} + 4.\] 
On pose, pour tout nombre entier naturel $n,~ v_{n} = u_{n} - 6$. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout nombre entier naturel $n$, calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$. Quelle est la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? 
		\item  Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n, u_{n} = -5 \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 6$. 
		\item  Étudier la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 
\item  On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ dont les termes vérifient, pour tout nombre entier $n \geqslant 1$  :

\[nw_{n}  = (n + 1)w_{n-1} +1\quad  \text{et}\quad  w_{0} = 1.\] 

Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite. 

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$w_{0}$&$w_{1}$&$w_{2}$&$w_{3}$&$w_{4}$&$w_{5}$&$w_{6}$&$w_{7}$&$w_{8}$&$w_{9}$\\ \hline
1&3&5&7&9&11&13&15&17&19\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.}

	\begin{enumerate}
		\item Détailler le calcul permettant d'obtenir $w_{10}$. 
		\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	 
Donner la nature de la suite $\left(w_{n}\right)$. Calculer $w_{\np{2009}}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = \ln \left(1 + x\text{e}^{-x}\right).\]

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. La courbe $\mathcal{C}$ est représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie). 

\medskip

\textbf{PARTIE I}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$. 
\item  Justifier que pour tout nombre réel positif $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $1 - x$. 
\item  Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE II}

\medskip

Soit $\lambda$ un nombre réel strictement positif. On pose $\mathcal{A}(\lambda) = \displaystyle\int_{0}^{\lambda}   f(x)\:\text{d}x$. On se propose de majorer $\mathcal{A}(\lambda)$ à l'aide de deux méthodes différentes. 

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Première méthode} 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter, sur l'annexe jointe (à rendre avec la copie), la partie du plan dont l'aire en unité d'aire, est égale à $\mathcal{A}(\lambda)$. 
		\item  Justifier que pour tout nombre réel $\lambda$ strictement positif, $\mathcal{A}(\lambda) \leqslant 	\lambda \times f(1)$.
	\end{enumerate} 
	
\item \textbf{Deuxième méthode} 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer à l'aide d'une intégration par parties $\displaystyle\int_{0}^{\lambda} x\text{e}^{-x}\:\text{d}x$ en fonction de $\lambda$. 
		\item On admet que pour tout nombre réel positif $u,~ \ln (1 + u ) \leqslant  u$.
	 
Démontrer alors que, pour tout nombre réel $\lambda$ strictement positif,

$\mathcal{A}(\lambda) \leqslant  - \lambda \text{e}^{- \lambda} - \text{e}^{- \lambda} + 1$. 
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Application numérique}

Avec chacune des deux méthodes, trouver un majorant de $\mathcal{A}(5)$, arrondi au centième. Quelle méthode donne le meilleur majorant dans le cas où $\lambda = 5$ ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\textbf{I.} \emph{Cette question est une restitution organisée de connaissances.}

\emph{On rappelle que si $n$ et $p$ sont deux nombres entiers naturels tels que $p \leqslant  n$ alors} $\displaystyle\binom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!(n - p)!}$.

\medskip

Démontrer que pour tout nombre entier naturel $n$ et pour tout nombre entier naturel $p$ tels que $1 \leqslant p \leqslant n$ on a : $\displaystyle\binom{n}{p} = \displaystyle\binom{n-1}{p-1} + \displaystyle\binom{n-1}{p}$.

\medskip
 
\textbf{II.}  Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher :
 
7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3. 

On tire simultanément deux jetons de ce sac. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On note A l'évènement \og obtenir deux jetons blancs \fg. 
		
 Démontrer que la probabilité de l'évènement A est égale à $\dfrac{7}{15}$. 
		\item On note B l'évènement \og obtenir deux jetons portant des numéros impairs \fg. 
	
Calculer la probabilité de B. 
		\item Les évènements A et B sont-ils indépendants ? 
	\end{enumerate}
\item Soit $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de' jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la loi de probabilité de $X$. 
		\item  Calculer l'espérance mathématique de $X$.
    \end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on associe à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, le point $M'$ milieu du segment $\left[MM_{1}\right]$ où $M_{1}$ est le point d'affixe $\dfrac{1}{z}$. 

Le point $M'$ est appelé l'image du point $M$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que les distances O$M$ et O$M_{1}$ vérifient la relation O$M \times \text{O}M_{1}= 1$ et que les angles $\left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M_{1}}\right)$ et $\left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M}\right)$ vérifient l'égalité des mesures suivantes 
		$\left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M_{1}}\right) = - \left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M}\right)$ à $2\pi$ près. 
		\item Sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point A appartient au cercle de centre O et de rayon 2. 
	
Construire le point A$'$ image du point A. (On laissera apparents les traits de construction).
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout nombre complexe $z$ non nul, le point $M'$ a pour affixe $z' = \dfrac{1}{2}\left( z + \dfrac{1}{z}\right)$. 
		\item Soient B et C les points d'affixes respectives 2i et $-$2i. Calculer les affixes des points B$'$ et C$'$ images respectives des points B et C. 
		\item Placer les points B, C, B$'$ et C$'$ sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie).
	\end{enumerate} 
\item  Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M' = M$. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Montrer que si le point $M$ appartient au cercle de centre O et de rayon 1 alors son image $M'$ appartient au segment [KL] où K et L sont les points d'affixes respectives $-1$ et 1.  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble des couples $(x,\:y)$ de nombres entiers relatifs, solution de l'équation (E) : $\quad  8x - 5y = 3$. 
		\item Soit $m$ un nombre entier relatif tel qu'il existe un couple $(p,~ q)$ de nombres entiers vérifiant $m = 8 p + 1$ et 
	$m = 5q + 4$.
	 
Montrer que le couple $(p,~ q)$ est solution de l'équation (E) et en déduire que $m \equiv 9\quad  (\text{modulo}~ 40)$. 
		\item  Déterminer le plus petit de ces nombres entiers $m$ supérieurs à \np{2000}.
	\end{enumerate} 
\item Soit $k$ un nombre entier naturel. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout nombre entier naturel $k$ on a : $2^{3k} \equiv  1 (\text{modulo}~7)$.
		 
		\item Quel est le reste dans la division euclidienne de $2^{\np{2009}}$ par 7 ? 
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. }

Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec $a \neq 0$. 

On considère le nombre $N = a \times  10^3 + b$. On rappelle qu'en base 10 ce nombre s'écrit sous la forme $N = \overline{a00b}$.
 
On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels $N$ ceux qui sont divisibles par 7. 
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que $10^3 \equiv  -1 (\text{modulo}~7)$. 
		\item  En déduire tous les nombres entiers $N$ cherchés. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2}

\vspace{1cm}

(À rendre avec la copie)

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.7cm,yunit=5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-0.6)(6,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-0.6)(6,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[u](3,0.15){\blue $\mathcal{C}$} \uput[d](1.3,0){$\lambda$}
\psline(1.3,-0.02)(1.3,0.02)\uput[d](1.3,0){$\lambda$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=6000,linewidth=1.25pt]{0}{6}{x 2.71828 x exp div  1 add ln}
\end{pspicture}

\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 4}

\vspace{1cm}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\vspace{1cm}

(À rendre avec la copie)

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(6,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-5,-5)(6,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}  \uput[dl](0,0){O}
\pscircle(0,0){1}
\pscircle(0,0){2}
\SpecialCoor
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.3](2;32)
\uput[ur](2;32){A}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}