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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}} 
\rfoot{\small{juin 1999}}
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\thispagestyle{empty} 

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} 

\vspace{0,5cm} 

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole juin 
1999~\decofourright}}\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

Le plan (P) est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. 
On prendra 4~cm comme unité sur les deux axes. 

On considère l'application $F$ du plan dans lui-même qui, à tout 
point $m$ d'affixe $z$ associe le point $M$ d'affixe $\dfrac{1}{2}z^2 - 
z$. 

L'objet de cet exercice est de tracer la courbe ($\Gamma$) décrite par $M$ lorsque $m$ décrit le cercle ($\mathcal{C}$) de centre O et de rayon 1.
 
Soit $t$ un réel de [- $\pi~ ;~ \pi$] et $m$ le point de ($\mathcal{C}$) d'affixe $z = \text{e}^{\text{i}t}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que l'image $M$ de $m$ par $F$ est le point de 
coordonnées :
 
\[\renewcommand\arraystretch{1.8}
 \left\{ \begin{array}{l c l} 
x(t)& =&\dfrac{1}{2}\cos 2t - \cos t\\ 
y(t) & =& \dfrac{1}{2}\sin 2t - \sin t\\ 
\end{array}\right. ,~t \in [-~\pi~;~\pi].\renewcommand\arraystretch{1}\] 

Ces relations constituent une représentation paramétrique de la courbe 
($\Gamma$). 
\item Comparer $x (- t)$ et $x(t)$ d'une part, 
$y(- t)$ et $y(t)$ d'autre part. 

En déduire que ($\Gamma$) admet un axe de symétrie que l'on précisera. 
\item Montrer que $x'(t) = \sin t(1 - 2 \cos t)$. 
étudier les variations de $x$ sur [0 ;~ $\pi$]. 
\item Montrer que $y'(t) = (\cos t - 1) (1 + 
2 \cos t)$. Étudier les variations de $y$ sur $[0~;~\pi$]. 
\item Dans un même tableau faire figurer les 
variations de $x$ et $y$ sur $[0~;~\pi]$. 
\item Placer les points de ($\Gamma$) correspondant 
aux valeurs 0,~$\dfrac{\pi}{3} ,~ \dfrac{2\pi}{3}$ et $\pi$ du paramètre $t$ et tracer les tangentes en ces points (on admettra que pour $t$ = 0 la tangente à ($\Gamma$) est horizontale). Tracer la partie de ($\Gamma$) obtenue lorsque $t$ décrit $[0~;~\pi$] puis tracer ($\Gamma$) complètement. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} 

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

Dans cet exercice, $n$ est un entier naturel \emph{non nul}.
 
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : 

\[u_n = \displaystyle\int_0^2 \dfrac{2t + 3}{t + 2} \text{e}^{\frac{t}{n}} \:\text{d}t.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $\varphi$ la fonction définie sur 
[0~;~2] par $\varphi(t) = \dfrac{2t + 3}{t + 2}$. 

Étudier les variations de $\varphi$ sur [0~;~2]. En déduire que, pour tout réel $t$ dans [0~;~2], 

\[\dfrac{3}{2} \leqslant \varphi(t) \leqslant \dfrac{7}{4}.\] 

		\item Montrer que, pour tout réel $t$ dans [0~;~2], on a 

\[\dfrac{3}{2}\text{e}^{\frac{t}{n}} \leqslant \varphi(t)\text{e}^{\frac{t}{n}} \leqslant \dfrac{7}{4}\text{e}^{\frac{t}{n}}.\] 

		\item Par intégration en déduire que : 
\[\dfrac{3}{2}\:n\left(\text{e}^{\frac{2}{n}} - 1\right) \leqslant u_n \leqslant \dfrac{7}{4}\:n\left(\text{e}^{\frac{2}{n}} - 1\right).\] 

		\item On rappelle que $\displaystyle\lim_{h \to 0} \left(\dfrac{\text{e}^h - 1}{h}\right) = 1$. 

Montrer que, si ($u_n$) possède une limite $\ell$, alors 
$3 \leqslant \ell \leqslant\dfrac{7}{2}$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout $t$ dans [0~;~2], 
on a : $\dfrac{2t+ 3}{t+ 2} = 2 - \dfrac{1}{t+ 2}$. 

En déduire l'intégrale I = $\displaystyle\int_0^2 \dfrac{2t+ 3}{t+ 2}\: 
\text{d}t$. 
		\item Montrer que, pour tout $t$ dans [0~;~2], on a $1 \leqslant \text{e}^{\frac{t}{n}} \leqslant \text{e}^{\frac{2}{n}}.$ 

En déduire que I $\leqslant u_n \leqslant \text{e}^{\frac{2}{n}}$I. 
		\item Montrer que ($u_n$) est convergente et déterminer sa limite $\ell$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\textbf{Exercice 2} \hfill 5 points 

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère les nombres 
\[ a_n = 4 \times 10^n - 1,~ b_n = 2 \times 10^n - 1 ~\text{et}~ c_n = 2 \times 10^n+ 1.\] 

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer $a_1,~ b_1,~ c_1,~ a_2,~ b_2,~ 
c_2,~ a_3,~ b_3$ et $c_3$. 
		\item Combien les écritures décimales des nombres $a_n$ et $c_n$ ont-elles de  chiffres ? Montrer que $an$ et $c_n$ sont divisibles par 3. 
		\item Montrer, en utilisant la liste des nombres premiers inférieurs à 100 donnée ci-dessous, que $b_3$ est premier. 
		\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n,~ b_n \times c_n = a_{2n}$. 

En déduire la décomposition en produit de facteurs premiers de $a_6$. 
		\item Montrer que PGCD ($b_n ,~ c_n$) = PGCD ($c_n$,~ 2). 

En déduire que $b_n$ et $c_n$ sont premiers entre eux. 
	\end{enumerate} 
\item On considère l'équation : 

\[(1) \qquad b_3 x + c_3y = 1\] 

d'inconnues les entiers relatifs $x$ et $y$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Justifier le fait que (1) possède au moins une solution. 
		\item Appliquer l'algorithme d'Euclide aux nombres $c_3$ et $b_3$ ; en déduire une solution particulière de (1). 
		\item Résoudre l'équation (1). 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\textsl{Liste des nombres premiers inférieurs à} 100 :

2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 
59 ; 61 ; 67; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97. 

\vspace{0,5cm} 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\textbf{Problème \hfill 10 points} 

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère orthonormal 
\Oij{} : on prendra 2~cm comme unité sur les deux axes et on placera l'axe des  abscisses au milieu de la feuille et l'axe des ordonnées sur le bord gauche de la feuille millimétrée. 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Partie A} 

$\star$ Étude d'une fonction $f$ et de sa courbe représentative 
$\mathcal{C}$ 

On considère la fonction $f$, définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 
\[f(x) = \left( 1 - \dfrac{1}{x}\right) (\ln x - 2)\] 

et on désigne par $\mathcal{C}$  sa courbe représentative relativement au repère \Oij. 

\begin{enumerate} 
\item Déterminer les limites de $f$ en +~$\infty$ et $0$. 
\item Montrer que $f$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ 
et calculer $f'(x)$. 
\item Soit $u$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ 
par $u(x) = \ln x + x - 3$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier les variations de $u$. 
		\item Montrer que l'équation $u(x) = 0$ possède une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [2~;~3]. Montrer que 2,20 $ < \alpha <$ 2,21. 
		\item Étudier le signe de $u(x)$ sur $[0~;~+ \infty[$ . 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier les variations de $f$. 
		\item Exprimer $\ln \alpha$ comme polynôme en $\alpha$. 

Montrer que $f(\alpha) = - \dfrac{ (\alpha - 1)^2}{\alpha}$. 

En déduire un encadrement de $f(\alpha)$ d'amplitude $2 \times 
10^{- 2}$. 
\end{enumerate} 

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier le signe de $f(x)$. 
		\item Tracer $\mathcal{C}$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Partie B} 

$\star$ Étude d'une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 

Soit $F$ la primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$ qui s'annule pour $x = 1$. 

On appelle $(\Gamma)$ la courbe représentative de $F$ relativement au repère \Oij. 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sans calculer $F(x)$, étudier les 
variations de $F$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Que peut-on dire des tangentes à $(\Gamma)$ en ses points d'abscisses 1 et $\text{e}^2$ ? 
	\end{enumerate} 
\item Calcul de $F(x)$. 
	\begin{enumerate}
		\item $x$ étant un réel strictement positif, calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{1}^x \ln t\:\text{d}t$ (on pourra faire une intégration par parties). 
		\item Montrer que, pour tout $x$ strictement positif : 
\[f(x) = \ln x - \dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{2}{x} - 2.\] 
		\item En déduire l'expression de $F(x)$ en fonction de $x$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to 
0}(x \ln x) = 0$. En déduire la limite de $F$ en 0. 
		\item Montrer que, pour $x$ strictement supérieur à 1, 
\[F(x) = x \ln x\left(1 - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\ln x}{x} + 
\dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{\ln x}\right) + 3.\] 

En déduire la limite de $F$ en + ~$\infty$. 
		\item Dresser le tableau de variation de $F $. 
		\item Tracer $(\Gamma)$ sur le même graphique que $(\mathcal{C})$. 
	\end{enumerate} 
\item Calcul d'une aire 

Calculer, en cm$^2$ l'aire du domaine limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}^2$. 
\end{enumerate} 
\end{document}