\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{juin 1999}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole juin 1999~\decofourright}}\end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan (P) est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 4~cm comme unité sur les deux axes. On considère l'application $F$ du plan dans lui-même qui, à tout point $m$ d'affixe $z$ associe le point $M$ d'affixe $\dfrac{1}{2}z^2 - z$. L'objet de cet exercice est de tracer la courbe ($\Gamma$) décrite par $M$ lorsque $m$ décrit le cercle ($\mathcal{C}$) de centre O et de rayon 1. Soit $t$ un réel de [- $\pi~ ;~ \pi$] et $m$ le point de ($\mathcal{C}$) d'affixe $z = \text{e}^{\text{i}t}$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que l'image $M$ de $m$ par $F$ est le point de coordonnées : \[\renewcommand\arraystretch{1.8} \left\{ \begin{array}{l c l} x(t)& =&\dfrac{1}{2}\cos 2t - \cos t\\ y(t) & =& \dfrac{1}{2}\sin 2t - \sin t\\ \end{array}\right. ,~t \in [-~\pi~;~\pi].\renewcommand\arraystretch{1}\] Ces relations constituent une représentation paramétrique de la courbe ($\Gamma$). \item Comparer $x (- t)$ et $x(t)$ d'une part, $y(- t)$ et $y(t)$ d'autre part. En déduire que ($\Gamma$) admet un axe de symétrie que l'on précisera. \item Montrer que $x'(t) = \sin t(1 - 2 \cos t)$. Étudier les variations de $x$ sur [0 ;~ $\pi$]. \item Montrer que $y'(t) = (\cos t - 1) (1 + 2 \cos t)$. Étudier les variations de $y$ sur $[0~;~\pi$]. \item Dans un même tableau faire figurer les variations de $x$ et $y$ sur $[0~;~\pi]$. \item Placer les points de ($\Gamma$) correspondant aux valeurs 0,~$\dfrac{\pi}{3} ,~ \dfrac{2\pi}{3}$ et $\pi$ du paramètre $t$ et tracer les tangentes en ces points (on admettra que pour $t$ = 0 la tangente à ($\Gamma$) est horizontale). Tracer la partie de ($\Gamma$) obtenue lorsque $t$ décrit $[0~;~\pi$] puis tracer ($\Gamma$) complètement. \end{enumerate} \bigskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans cet exercice, $n$ est un entier naturel \emph{non nul}. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : \[u_n = \displaystyle\int_0^2 \dfrac{2t + 3}{t + 2} \text{e}^{\frac{t}{n}} \:\text{d}t.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $\varphi$ la fonction définie sur [0~;~2] par $\varphi(t) = \dfrac{2t + 3}{t + 2}$. Étudier les variations de $\varphi$ sur [0~;~2]. En déduire que, pour tout réel $t$ dans [0~;~2], \[\dfrac{3}{2} \leqslant \varphi(t) \leqslant \dfrac{7}{4}.\] \item Montrer que, pour tout réel $t$ dans [0~;~2], on a \[\dfrac{3}{2}\text{e}^{\frac{t}{n}} \leqslant \varphi(t)\text{e}^{\frac{t}{n}} \leqslant \dfrac{7}{4}\text{e}^{\frac{t}{n}}.\] \item Par intégration en déduire que : \[\dfrac{3}{2}\:n\left(\text{e}^{\frac{2}{n}} - 1\right) \leqslant u_n \leqslant \dfrac{7}{4}\:n\left(\text{e}^{\frac{2}{n}} - 1\right).\] \item On rappelle que $\displaystyle\lim_{h \to 0} \left(\dfrac{\text{e}^h - 1}{h}\right) = 1$. Montrer que, si ($u_n$) possède une limite $\ell$, alors $3 \leqslant \ell \leqslant\dfrac{7}{2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que, pour tout $t$ dans [0~;~2], on a : $\dfrac{2t+ 3}{t+ 2} = 2 - \dfrac{1}{t+ 2}$. En déduire l'intégrale I = $\displaystyle\int_0^2 \dfrac{2t+ 3}{t+ 2}\: \text{d}t$. \item Montrer que, pour tout $t$ dans [0~;~2], on a $1 \leqslant \text{e}^{\frac{t}{n}} \leqslant \text{e}^{\frac{2}{n}}.$ En déduire que I $\leqslant u_n \leqslant \text{e}^{\frac{2}{n}}$I. \item Montrer que ($u_n$) est convergente et déterminer sa limite $\ell$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \textbf{Exercice 2} \hfill 5 points \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère les nombres \[ a_n = 4 \times 10^n - 1,~ b_n = 2 \times 10^n - 1 ~\text{et}~ c_n = 2 \times 10^n+ 1.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $a_1,~ b_1,~ c_1,~ a_2,~ b_2,~ c_2,~ a_3,~ b_3$ et $c_3$. \item Combien les écritures décimales des nombres $a_n$ et $c_n$ ont-elles de chiffres ? Montrer que $an$ et $c_n$ sont divisibles par 3. \item Montrer, en utilisant la liste des nombres premiers inférieurs à 100 donnée ci-dessous, que $b_3$ est premier. \item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n,~ b_n \times c_n = a_{2n}$. En déduire la décomposition en produit de facteurs premiers de $a_6$. \item Montrer que PGCD ($b_n ,~ c_n$) = PGCD ($c_n$,~ 2). En déduire que $b_n$ et $c_n$ sont premiers entre eux. \end{enumerate} \item On considère l'équation : \[(1) \qquad b_3 x + c_3y = 1\] d'inconnues les entiers relatifs $x$ et $y$. \begin{enumerate} \item Justifier le fait que (1) possède au moins une solution. \item Appliquer l'algorithme d'Euclide aux nombres $c_3$ et $b_3$ ; en déduire une solution particulière de (1). \item Résoudre l'équation (1). \end{enumerate} \end{enumerate} \textsl{Liste des nombres premiers inférieurs à} 100 : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97. \bigskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \textbf{Problème \hfill 10 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} : on prendra 2~cm comme unité sur les deux axes et on placera l'axe des abscisses au milieu de la feuille et l'axe des ordonnées sur le bord gauche de la feuille millimétrée. \vspace{0,5cm} \textbf{Partie A} $\star$ Étude d'une fonction $f$ et de sa courbe représentative $\mathcal{C}$ On considère la fonction $f$, définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \left( 1 - \dfrac{1}{x}\right) (\ln x - 2)\] et on désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative relativement au repère \Oij. \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de $f$ en +~$\infty$ et $0$. \item Montrer que $f$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$ et calculer $f'(x)$. \item Soit $u$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $u(x) = \ln x + x - 3$. \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $u$. \item Montrer que l'équation $u(x) = 0$ possède une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [2~;~3]. Montrer que 2,20 $ < \alpha <$ 2,21. \item Étudier le signe de $u(x)$ sur $[0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier les variations de $f$. \item Exprimer $\ln \alpha$ comme polynôme en $\alpha$. Montrer que $f(\alpha) = - \dfrac{ (\alpha - 1)^2}{\alpha}$. En déduire un encadrement de $f(\alpha)$ d'amplitude $2 \times 10^{- 2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier le signe de $f(x)$. \item Tracer $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Partie B} $\star$ Étude d'une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. Soit $F$ la primitive de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$ qui s'annule pour $x = 1$. On appelle $(\Gamma)$ la courbe représentative de $F$ relativement au repère \Oij. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Sans calculer $F(x)$, étudier les variations de $F$ sur $]0~;~+ \infty[$. \item Que peut-on dire des tangentes à $(\Gamma)$ en ses points d'abscisses 1 et $\text{e}^2$ ? \end{enumerate} \item Calcul de $F(x)$. \begin{enumerate} \item $x$ étant un réel strictement positif, calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{1}^x \ln t\:\text{d}t$ (on pourra faire une intégration par parties). \item Montrer que, pour tout $x$ strictement positif : \[f(x) = \ln x - \dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{2}{x} - 2.\] \item En déduire l'expression de $F(x)$ en fonction de $x$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to 0}(x \ln x) = 0$. En déduire la limite de $F$ en 0. \item Montrer que, pour $x$ strictement supérieur à 1, \[F(x) = x \ln x\left(1 - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{2}{x} - \dfrac{3}{\ln x}\right) + 3.\] En déduire la limite de $F$ en + ~$\infty$. \item Dresser le tableau de variation de $F $. \item Tracer $(\Gamma)$ sur le même graphique que $(\mathcal{C})$. \end{enumerate} \item Calcul d'une aire Calculer, en cm$^2$ l'aire du domaine limité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}^2$. \end{enumerate} \end{document}