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% Tapuscrit Denis Vergès : avec le concours de Mickael Védrine (merci à lui) 
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\begin{document}
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\lhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\rhead{\small Baccalauréat S} 
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2002}} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center} {\Large \textbf{{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole juin 2002~\decofourright}}} 
\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Une urne contient quatre jetons numérotés de 1 à 4. 

On tire au hasard un jeton de l'urne, on lit le numéro, noté $a$, 
porté sur le jeton puis on remet le jeton tiré dans l'urne. On tire ensuite un deuxième jeton de l'urne et on note $b$ le numéro du jeton tiré. 

Soit \Oijk{} un repère orthonormal de l'espace. On considère les 
vecteurs $\vect{U}$ et $\vect{V}$ de coordonnées respectives 
$(a~;~- 5~;~1 - a)$ et $(1 + b~;~1~;~b)$. 

Montrer que la probabilité que ces vecteurs soient orthogonaux est 
égale à~$\dfrac{1}{4}$. 
\item Deux personnes A et B jouent au jeu suivant, constitué 
d'un certain nombre de parties identiques décrites ci-après : au cours d'une partie, 
chaque joueur effectue le tirage de deux jetons décrit dans la première question. 

Si A obtient des vecteurs orthogonaux et B des vecteurs non orthogonaux, A est 
déclaré vainqueur, le jeu s'arrête. 

Si A obtient des vecteurs non orthogonaux et B des vecteurs orthogonaux, B est 
déclaré vainqueur et le jeu s'arrête. 

Dans les autres cas, les joueurs entreprennent une nouvelle partie ; le jeu continue. 

Pour tout entier $n$, on désigne par : 

$A_n$ l'évènement : \og A gagne la $n$-ième partie \fg{}, 

$B_n$ l'évènement : \og B gagne la $n$-ième partie \fg{}, 

$C_n$ l'évènement : \og le jeu continue après la $n$-ième partie \fg{} 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer les probabilités $p\left(A_1\right) ,~ p\left(B_1\right)$ et 
$p\left(C_1\right)$. 
		\item Exprimer $p(C_{n+1})$ en fonction de $p(C_n)$ et montrer que $p\left(C_n\right) = \left(\dfrac{5}{8}\right)^n$. 

Exprimer $p\left(A_{n+1}\right)$ en fonction de $p\left(C_n\right)$ et en déduire que 
$p\left(\text{A}_n\right) = \dfrac{3}{16}\left(\dfrac{5}{8}\right)^{n - 1}.$ 

	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $p\left(A_n\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. 
		\item Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $p\left(A_n\right)$ soit inférieur ou égal à 0,01. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv 
[unité graphique : 2 cm]. 

\begin{enumerate} 
\item Résoudre dans $\C$ l'équation : $z^2 - 2\sqrt{3}z + 4 = 0$.
 
On pose $a=\sqrt{3}+\text{i}$ et $b=\sqrt{3}-\text{i}$. Écrire $a$ et $b$ sous forme exponentielle et placer les points A et B d'affixes 
respectives $a$ et $b$. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. Calculer l'affixe $a'$ du point $A'$ image du point A par $r$. Écrire $a'$ sous forme algébrique et placer $A'$ sur la figure précédente. 
		\item Soit $h$ l'homothétie de centre O et de rapport $-\dfrac{3}{2}$. Calculer l'affixe $b'$ du point $B'$ image du point B par $h$. Placer $B'$ sur la figure précédente. 
	\end{enumerate} 
\item Soit $C$ le centre du cercle circonscrit au triangle O$A'B'$ et 
$R$ le rayon de ce cercle. On désigne par $c$ l'affixe du point 
$C$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Justifier les égalités suivantes : 

\begin{center} 
\begin{tabular}{ccc} 
$c\overline{c}=R^2$ & $(c - 2\text{i})\left(\overline{c}+2\text{i}\right) = R^2$ & 
$\left(c + \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2}\text{i}\right)\left(\overline{c}+\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}\text{i}\right) = R^2.$ 
\\ 
\end{tabular} 
\end{center} 
		\item En déduire que $c-\overline{c}=2\text{i}$ puis, que $c + \overline{c} = -\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$. 
		\item En déduire l'affixe du point $C$ et la valeur de $R$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On considère l'équation
 
\[(\text{E}) ~:~ 6x + 7y = 57\]
 
où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer un couple d'entiers relatifs $(u,~ v)$ tel que $6u + 7v 
= 1$ ; en déduire une solution particulière $(x_{0},~ y_{0})$ de l'équation (E). 
		\item Déterminer les couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E). 
	\end{enumerate} 
\item Soit \Oijk~ un repère orthonormal de l'espace. 

On considère le plan (P) d'équation : $6x + 7y + 8z = 57$. 

On considère les points du plan P qui appartiennent aussi au plan 
\Oij. Montrer qu'un seul de ces points a pour coordonnées des entiers naturels ; déterminer les coordonnées de ce point. 
\item On considère un point $M$ du plan P dont les 
coordonnées $x,~ y$ et $z$ sont des entiers naturels. 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que l'entier $y$ est impair. 
		\item On pose $y = 2p + 1$ où $p$ est un entier naturel. 

Montrer que le reste dans la division euclidienne de $p + z$ par 3 est égal à 1. 
		\item On pose $p + z = 3q + 1$ où $q$ est un entier naturel. Montrer que 
les entiers naturels $x,~ p$ et $q$ vérifient la relation : $x + p + 4q = 7$. En déduire que $q$ prend les valeurs 0 ou 1. 
		\item En déduire les coordonnées de tous les points de (P) dont les coordonnées sont des entiers naturels. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Partie A}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 
\[ f(x) = \dfrac{1}{2}\left[ (x + (1 - x)\text{e}^{ 2x}\right] .\] 

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal 
\Oij, (unité graphique 2~cm) 

\begin{enumerate}
 \item 
 	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les limites de $f$ 
en $- \infty$ et en $+ \infty$. 
		\item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = \dfrac{x}{2}$ est asymptote à $\mathcal{C}$. 

Étudier la position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\Delta$. 
	\end{enumerate} 
\item Montrer que $f$ est dérivable sur $\R$ et calculer 
$f'(x)$. 
\item Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par $u(x) = 1 + 
(1 - 2x)\text{e}^{2x}$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier le sens de variation de $u$. 

Montrer que l'équation $u(x) = 0$ possède une solution 
unique $\alpha$ dans l'intervalle [0~;~1]. 

Déterminer une valeur décimale approchée par excès de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. 
		\item Déterminer le signe de $u(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
	\end{enumerate} 
\item Étudier le sens de variation de $f$ puis dresser son tableau de 
variations. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{Partie B}
 
Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij, on considère la courbe $\Gamma$ d'équation 
$y = \text{e}^x$ et la droite D d'équation $y = x$. Les courbes $\Gamma$ et D sont tracées sur la feuille annexe. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $t$ un réel ; on désigne par $M$, le point de  $\Gamma$ d'abscisse $t$. 

La tangente à $\Gamma$ au point $M_t$ coupe l'axe des ordonnées au point $N_t$. 

Déterminer les coordonnées du point $N_t$. 
\item On désigne par $P_t$ le point de D d'abscisse $t$ et par 
$G_t$ l'isobarycentre des points O,\: $M_t,\: P_t$ 
et $N_t$. Le point $G_t$ est donc le barycentre des points pondérés (O~;~ 
1),\:$ (M_t~;~1) ,\: (P_t~;~1)$ et $(N_t~;~1)$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Placer les points $M_{-2},~P_{-2}$, et $N_{-2}$ puis construire, 
en justifiant, le point $G_{-2}$ sur la feuille annexe. 
		\item Déterminer en fonction de $t$ les coordonnées du point $G_t$. 
	\end{enumerate} 
\item Quel est l'ensemble des points $G_t$ quand $t$ 
décrit $\R$ ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Partie C} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Construire la courbe $\mathcal{C}$ de la \textbf{partie A} sur 
la feuille annexe. 
\item Calculer l'aire $\mathcal{A}$, en cm$^2$, du domaine plan délimité 
par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\Delta$ et les droites 
d'équation $x = 0$ et $x = 1$ (on pourra utiliser une intégration par parties). 
\end{enumerate} 

\newpage 

\begin{center} {\large \textbf{Annexe problème}} 
\vspace*{1.2cm} 

\psset{unit=1.75cm} 
\begin{pspicture}(-4,-5)(3,5) 

\psgrid[gridlabels=0pt](0,0)(-4,-5)(3,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4,-5)(3,5)
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\psline(-4,-4)(3,3) 
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\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}