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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small{juin 2000}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole juin 2000~\decofourright}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\textsl{Les résultats numériques seront donnés sous forme de fractions.}

Dans une classe de 30 élèves sont formés un club photo et un club théâtre. Le club photo est composé de 10 membres, le club théâtre de 6 membres. Il y a deux élèves qui sont membres des deux clubs à la fois.

On note $\overline{\text{A}}$ l'évènement contraire de l'évènement A et 
$p$(A / B) la probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On interroge un élève de la classe pris au 
hasard.

On appelle P l'évènement : \og L'élève fait partie du club photo \fg, et T l'événement : \og L'élève fait partie du club théâtre \fg.
 
Montrer que les évènements P et T sont indépendants.

\item Lors d'une séance du club photo, les 10 membres sont tous présents. Un premier élève est tiré au sort. Il doit prendre la photo d'un autre membre du club qui sera lui aussi tiré au sort.
	\begin{enumerate}
		\item On appelle T$_1$ l'évènement : \og Le premier élève appartient au club théâtre \fg. Calculer $p (\text{T}_1)$.
		\item On appelle T$_2$ l'évènement \og L'élève pris en photo appartient au club 
théâtre \fg. Calculer $p(\text{T}_2 /\text{T}_1)$, puis $p\left(\text{T}_2 
/\overline{\text{T}_1}\right)$. En déduire $p\left(T_2~ \cap~ \text{T}_1\right)$ et 
$p\left(\text{T}_2~ \cap~ \overline{\text{T}_1}\right)$.

(On pourra éventuellement utiliser un arbre.)
		\item Montrer que la probabilité que l'élève pris en photo appartienne au club 
théâtre est 0,2.
	\end{enumerate}
\item Toutes les semaines, on recommence de façon 
indépendante la séance de photographie avec tirage au sort du photographe et 
du photographié. Le même élève peut être photographié plusieurs semaines de 
suite.

Calculer la probabilité qu'au bout de 4 semaines, aucun membre du club théâtre n'ait été photographié. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct
\Ouv, unité graphique 4~cm, on 
considère les points A d'affixe $z_{\text{A}} = 1$ et B d'affixe $z_{\text{B}} = 2$.\\ 
Soit un réel $\theta$ appartenant à l'intervalle $]0 ~;~ \pi[$.

On note $M$ le point d'affixe $z = 1 + \text{e}^{2\text{i}\theta}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que le point $M$ appartient au cercle 
$(\mathcal{C})$ de centre A et de rayon 1.
\item Exprimer l'angle $(\vect{\text{AB}}~ ;~\vect{\text{A}M})$ en fonction de $\theta$.

En déduire l'ensemble $E$ des points $M$ quand $\theta$ décrit l'intervalle $]0~ ;~ \pi[$.

\item On appelle $M'$ l'image de $M$ par la 
rotation de centre O et d'angle $-~2\theta$ et on note $z'$ l'affixe de $M'$.
Montrer que $z' = \overline{z}$ puis que $M'$ appartient à $(\mathcal{C})$.
\item Dans toute la suite, on choisit $\theta = \dfrac{\pi}{3}$.

On appelle $r$ la rotation de centre O et d'angle $-~ \dfrac{2\pi}{3}$ et A$'$ l'image de A par $r$.
	\begin{enumerate}
		\item Définir l'image $(\mathcal{C}')$ du cercle $(\mathcal{C})$ par $r$.

Placer sur une figure A,~ B,~$ (\mathcal{C}),~ M,~ (\mathcal{C}')$ puis le point 
$M'$ image de $M$ par $r$.
		\item Montrer que le triangle $AM$O est équilatéral.
		\item Montrer que $(\mathcal{C})$ et $(\mathcal{C}')$ se coupent en O et 
en $M'$.
		\item Soit le point $P$ symétrique de $M$ par rapport à A. Montrer 
que $M'$ est le milieu de $[\text{A}'P]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

Dans le plan orienté, on considère deux points A et B et le 
point E tel que $\vect{\text{AE}} = \dfrac{3}{4} 
\vect{\text{AB}}.$

Pour la figure, on prendra comme unité de longueur le centimètre et 
AB = 16. Cette figure sera complétée au fur et à mesure.
 
Soit un point $C$, distinct de $A$, tel que 
$\left(\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{A}C}\right) = 
\dfrac{\pi}{4}$.

La droite parallèle à (B$C)$ passant par E coupe la droite (A$C)$ en 
$F$.

On appelle $I$ le milieu de [B$C],~ J$ le milieu de [E$F]$ et $D$ le point 
d'intersection des droites (E$C)$ et (B$F)$.

On note $h_{\text{A}}$ l'homothétie de centre A qui transforme B en E et 
$h_{D}$ l'homothétie de centre $D$ qui transforme E en $C$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $h_{\text{A}}(C)$ puis $h_{D}(F)$.
\item En déduire la nature et les éléments caractéristiques 
de $h_{D} \circ h_{\text{A}}$ puis de $h_{\text{A}} \circ h_{D}$.
\item On appelle $E'$ l'image de E par 
$h_{\text{A}}$ et $E''$ l'image de $E'$ par $h_{D}$.

Représenter $E'$, puis construire $E''$ en justifiant la construction.
\item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques 
de $h_{D} \circ h_{\text{A}} \circ h_{\text{A}} \circ h_{D}$.
\item Montrer que le quadrilatère BE$CE''$ est un 
parallélogramme.
\item On appelle $(\Delta)$ l'ensemble des points $M$ tels 
que $\left(\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{A}M}\right) = 
\dfrac{\pi}{4}.$

$(\Delta)$ est donc une demi-droite ouverte d'origine A.

Pour la suite, les points A,\: B,\:E sont fixes et le point $C$ décrit $(\Delta)$.

Déterminer et construire le lieu géométrique $(\Delta)''$ du point 
$E''$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Problème \hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}
 
Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormal 
\Oij{} (unité graphique : 5 cm).

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

$\bigstar~$ On considère la fonction $f_{1}$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f_{1}(x) = x\text{e}^{- x^2}\]

et on appelle $(\mathcal{C}_{1})$ sa courbe représentative.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel positif $x,~ 
f'_{1}(x) = \text{e}^{-~x^2} - 2x^2\text{e}^{-~x^2}$. En déduire le sens 
de variation de $f_{1}$.
\item Calculer la limite de $f_{1}$ en $+~\infty$ (on pourra 
poser $u = x^2$). Interpréter graphiquement ce résultat.
\item Dresser le tableau de variation de $f_{1}$.
\item On appelle $(\Delta)$ la droite d'équation $y = x$.

Déterminer la position de ($\mathcal{C}_{1}$) par rapport à 
$(\Delta)$.
\item Tracer ($\mathcal{C}_{1}$) et $(\Delta)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

$\bigstar$ On considère la fonction $f_{3}$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f_{3}(x) = x^3\text{e}^{- x^2}$ et on appelle  $(\mathcal{C}_{3})$ sa courbe représentative.

\begin{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout réel $x$ positif, 
$f'_{3}(x)$ a même signe que $3 - 2x^2$. En déduire le sens de variation 
de $f_{3}$.
\item Déterminer les positions relatives de 
($\mathcal{C}_{1}$) et ($\mathcal{C}_{3}$).
\item Tracer ($\mathcal{C}_{3}$) dans le même repère que ($\mathcal{C}_{1}$) (on admettra que ($\mathcal{C}_{3}$) a la même asymptote que ($\mathcal{C}_{1}$) en $+ ~\infty$.
\item On appelle (D) la droite d'équation $x = 1$. Soit $\mathcal{A}_{1}$ l'aire en unités d'aire du domaine limité par la courbe ($\mathcal{C}_{1}$), les deux axes de coordonnées et la droite 
$(D)$ et soit $\mathcal{A}_{3}$ l'aire en unités d'aire du domaine limité par la courbe ($\mathcal{C}_{3}$) les deux axes de coordonnées et la droite 
(D).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\mathcal{A}_{1}$.
		\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $\mathcal{A}_{3} = - \dfrac{1}{2\text{e}} + \mathcal{A}_{1}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

$\bigstar$ On désigne par $n$ un entier naturel non nul et on considère la 
fonction $f$ définie sur $[0~;~ +~\infty[$ par

\[f_{n}(x) = x^n\text{e}^{-~x^2}.\]

On note $(\mathcal{C}_{n})$ la courbe représentative de $f$ dans le repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1,~ 
f_{n}$ admet un maximum pour $x = \sqrt{\dfrac{n}{2}}$. On note $\alpha_{n}$, ce maximum. 
\item On appelle $S_{n}$ le point de $(\mathcal{C}_{n})$ 
d'abscisse $\sqrt{\dfrac{n}{2}}$.

Montrer que, pour tout $n,\:(\mathcal{C}_{n})$ passe par $S_{2}$. 
Placer $S_{1},~ S_{2},~ S_{3}$ sur la figure. 
\item Soit la fonction $g$ définie sur $[0~;~+~\infty[$ 
par :

\[g(x) = \text{e}^{-~\frac{x}{2}\left[- 1 + \ln 
\left(\frac{x}{2}\right)\right]}\]

c'est-à-dire $g(x) = \exp \left[-~\frac{x}{2} \left(-~1 + 
\ln\left(\frac{x}{2}\right)\right)\right]$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier le sens de variation de $g$. 
		\item Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1,~\alpha_{n} = g(n)$.

En déduire que tout point $S_{n}$ a une ordonnée supérieure à 
celle de $S_{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}