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\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small Baccalauréat S }
\lhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lfoot{\small{Métropole}}
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 \thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole septembre 2002~\decofourright}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  tous les candidats}

\vspace{0,25cm}

\parbox[c]{0.5\textwidth}{Un carré de côté 20 cm est partagé selon
les 10 zones suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item un disque D de rayon 1 cm,
\item 8 secteurs S$_1$,~ S$_2$, ~\ldots, S$_8$ de même aire délimités par les frontières du disque D et du disque D$'$ de même centre et de rayon 9 cm,
\item une zone R entre le disque D$'$ et le bord du carré.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On place un point aléatoirement dans le carré. La probabilité de placer le point dans une zone quelconque du carré est proportionnelle à l'aire de cette zone.}
\hfill \parbox[c]{0.45\textwidth}{\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\psframe(-4,-4)(4,4)
\rput(-3.5,-3.5){R}\rput(0,0){D}
\pscircle(0,0){0.45}\pscircle(0,0){3.25}
\multido{\n=0+45}{8}{\psline(0.5;\n)(3.25;\n)}
\multido{\n=22.5+45.0,\na=1+1}{8}{\rput(1.85;\n){S$_{\na}$}}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité $p$(D) pour que le point soit placé dans le disque D.
		\item Déterminer la probabilité $p(\text{S}_1)$ pour que le point soit 
placé dans le secteur S$_1$.
	\end{enumerate}

\item Pour cette question \textbf{2.}, on utilisera les valeurs approchées
 suivantes : 
 
 $p$(D) = 0,008 et  pour tout $k$ appartenant à
 $\{1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6~;~7~;~8\},$
 
$ p(\text{S}_k) = \np{0,0785}$.

À cette situation aléatoire est associé le jeu suivant :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item un point placé dans le disque D fait gagner 10 euros ;
\item un point placé dans le secteur S$_k$ fait gagner $k$ euros pour tout
 $k$ appartenant à $\{1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6~;~7~;~8\}$ ;
\item un point placé dans la zone R fait perdre 4~euros.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique obtenu.


	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité $p$(R) pour que le point soit placé dans la zone R.

Calculer l'espérance de $X$.
		\item On joue deux fois de suite. On a donc placé deux points de manière 
indépendante dans le carré. Calculer la probabilité d'obtenir un gain total
 positif ou nul.
		\item Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à deux.  On joue $n$
fois de suite. On a donc placé $n$ points de manière indépendante dans le carré.

Calculer la probabilité $p_n$ d'obtenir au moins un point placé dans le disque D.

Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $p_n \geqslant 0,9$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à  un repère orthonormal direct 
\Ouv{} d'unité graphique 4~cm. 
On note A et B les points d'affixes respectives 1 et i.  À tout point $M$, distinct de A et d'affixe $z$, est associé le point $M'$ d'affixe $Z$ définie par :

\[ Z = \dfrac{(1 - \text{i})(z - \text{i})}{z - 1}.\]

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'affixe du point C$'$ associé au point C d'affixe $- \text{i}$.
		\item Placer les points A, B et C.
	\end{enumerate}

\item Soit $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ désignent deux
 nombres réels.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer l'égalité :

\[Z = \dfrac{ (x-1)^2 +(y-1)^2 - 1}{(x-1)^2 +y^2} - \text{i}\dfrac{x^2 + 
y^2 - 1}{(x-1)^2 +y^2}.\]
		\item Déterminer l'ensemble E des points $M$ d'affixe $z$ telle que $Z$ soit réel.
		\item Déterminer l'ensemble F des points $M$ d'affixe $z$ telle que Re($Z$) soit négatif ou nul.
 	\end{enumerate}
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Écrire le nombre complexe $(1 - \text{i})$ sous forme 
trigonoétrique.
		\item Soit $M$ un point d'affixe $z$, distinct de A et de B. Montrer que :
		
$\dfrac{(1 - \text{i})(z - \text{i})}{z - 1}~\in ~\R^*$ si et seulement s'il existe un entier $k$ tel que 

$\left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right) = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$.
		\item En déduire l'ensemble des points $M$ vérifiant	$\left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right) =
\dfrac{\pi}{4} + k\pi$.
		\item Déterminer l'ensemble des points $M$ vérifiant	$\left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right) =
\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.45cm}
\begin{pspicture}(26.2,10.2)
\psframe(0,0)(5,10) \psframe(5,0)(10,5) 
\psframe(10,0)(15,10)  \psframe(15,0)(25,5) 
\uput[ul](0,10){C} \uput[ur](5,10){B} \uput[d](0,0){D}
\uput[d](5,0){A} \uput[d](6.55,0){E$_1$} \uput[d](13.1,0){E$_2$}
\uput[d](19.65,0){E$_3$} \uput[d](9.05,0){A$_1$} \uput[d](26.2,0){E$_4$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](6.55,0)(13.1,0)(19.65,0)(26.2,0)
\psline(20,0)(26.2,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,4cm}

On considère un rectangle direct ABCD vérifiant : AB = 10~cm et AD
= 5~cm.

\begin{enumerate}
\item  Faire une figure : construire ABCD, puis les images
 respectives M, N et P de B, C et D par la rotation $r$  de centre A et
 d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Construire le centre $\Omega$ de la rotation $r'$ qui
vérifie $r'$(A) = N et $r'$(B) = P. Déterminer l'angle de $r'$.
		\item Montrer que l'image de ABCD par $r'$ est AMNP.
		\item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la
transformation $r^{- 1} \circ r'$.
	\end{enumerate}
\item On considère les images successives des rectangles ABCD
 et AMNP par la translation de vecteur $\vect{\text{DM}}$.  Sur la
 demi-droite [DA), on définit ainsi la suite de points $\left(A_k\right)_{k
 \geqslant 1}$ vérifiant, en cm,~ D$A_k = 5 + 15k$.  Sur la même demi-droite, on considère la suite de points $\left(E_n\right)_{n \geqslant 1}$ vérifiant, en cm, D$E_n = 6,55 n$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l'entier $k$ tel que $E_{120}$ appartienne à $[A_k,~A_{k+1}]$. Que vaut la longueur $A_kE_{120}$ en cm ?
		\item On cherche dans cette question pour quelle valeur minimale $n_0$ le point $E_{n_0}$ est confondu avec un point $A_k$.

Montrer que si un point $E_n$ est confondu avec un point $A_k$ alors 

$131 n - 300k = 100$.

Vérifier que les nombres $n = \np{7100}$ et $k = \np{3100}$ forment une  solution de cette équation.

Déterminer la valeur minimale $n_0$ recherchée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}

\begin{enumerate}
\item  Montrer que pour tout $x > 0$, on a : e$^{2x} 
-1 > 0$.
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~\infty[$ 
par : $g(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{2x} - 1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $g$ en 0 et en $+ \infty$. Interpréter graphiquement  les résultats.
		\item Calculer $g'(x)$. Étudier le sens de variation de $g$ puis dresser son tableau de variations.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie B} \end{center}

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~\infty[$ dont la courbe représentative $\cal{C}$ dans un repère orthogonal \Oij{} est donnée sur la feuille annexe avec sa tangente au point d'abscisse e.

On admet l'égalité suivante : $f(x) = 2x\left[a(\ln x)^2 + b 
\ln x + c\right]$ où $a,~b$ et $c$ désignent trois réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Exprimer $f'(x)$ en fonction de $a,~b$ et $c$.
\item À l'aide des informations données sur le graphique, déterminer
les valeurs de  $f'\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right),~f'\left(\sqrt{\text{e}}\right)$ et $f'(\text{e})$.
\item En déduire l'égalité : $f(x) = 2x\left[2(\ln x)^2 - 3 \ln x + 
2\right]$ pour tout $x  \in\: ]0~;~+ \infty[$.
\item   Déterminer la limite de $f$ en $0$.  On pourra poser 
$t =- \ln x$ et vérifier pour tout $x  \in ]0~;~+ \infty[$ l'égalité :

\[f(x) = 2\text{e}^{-t}\left[2t^2 + 3t + 2\right].\]

\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Montrer pour tout $x  \in ]0~;~+ \infty[$ l'égalité : 
$f'(x) = 2(\ln x+ 1)(2\ln x - 1)$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie C} \end{center}

\begin{enumerate}
\item  Tracer, dans le repère \Oij{} de la feuille annexe, la courbe représentative $\Gamma$ de la fonction $g$ étudiée en \textbf{partie A}.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout $x > 0$ , on
 a $g(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{2x} - 1} - 1$.
		\item Calculer, et exprimer en unités d'aire, l'aire de la surface délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $\Gamma$ et les droites  d'équation $x = \dfrac{1}{4}$ et $x = 2$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\varphi$ la fonction définie sur [0,1~;~0,3] 
par : $\varphi(x) = f(x) - g(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout $x$ appartenant  [0,1~;~0,3], on a : $\varphi'(x) > 0$.
		\item Montrer que l'équation $f(x) = g(x)$ possède une solution unique $\alpha$ sur [0,1~;~0,3] et déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude  $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} \textbf{Partie D} \end{center}

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout $x > 0,\: f(x) > 0$.
\item On définit la fonction $h$ sur $]0~;~+ \infty[$ par 
l'expression suivante : $h = g \circ f$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites en 0 et en $+ \infty$ de $h$.
		\item Déterminer le sens de variation de $h$ sur $]0~;~+ \infty[$.
		\item Montrer que $h(\alpha) = g \circ f (\alpha)$. Déterminer une valeur  approchée de $h(\alpha)$ à $10^{-4}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\psset{unit=2.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(4,7)
\psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(4,7)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)
\psline{<->}(0.05,5.15)(0.65,5.15)
\psline{<->}(1.30,3.3)(1.95,3.3) 
\psline(1.359,0)(3.109,7) % tangente en e 
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](1.649,0)(1.649,3.3)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0.3679,0)(0.3679,5.15)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0,5.437)(2.718,5.437)(2.718,0)
\uput[u](0.5,0){$\overrightarrow{\imath}$}
\uput[r](0,0.5){$\overrightarrow{\jmath}$}
\uput[d](0.3679,0){$\dfrac{1}{\text{e}}$}   
\uput[d](1.359,0){$\dfrac{\text{e}}{2}$}\uput[d](1.649,0){$\sqrt{\text{e}}$}
\uput[d](2.718,0){e} \uput[l](-0.1,5.437){2e}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.001}{3}{x  ln dup mul 2 mul x ln 3
mul sub 2 add 2 mul x mul}
\end{pspicture}	
\end{center}
\end{document} 