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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\rhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat  S  Métropole juin 2003~\decofourright}}}\end{center}

\textbf{Note :}

Ce sujet a soulevé l'indignation des candidats et des professeurs de terminale. En rupture brutale avec les usages antérieurs, il était en effet trop difficile, trop long et ne correspondait pas à ce que doit être un sujet d'examen.

L'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.} a choisi de publier, en partant du thème d'un exercice et du problème de cette épreuve, d'autres rédactions possibles qui nous ont paru intéressantes.

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2 cm), on considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = 2,~ b = 1 - \text{i}$ et $c =  1 + \text{i}$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item
	 \begin{enumerate} 
	 	\item Placer les points A, B et C sur une figure.
		\item Calculer $\dfrac{c - a}{b - a}$. En déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item On appelle $r$ la rotation de centre A telle que 
$r$(B) = C.

Déterminer l'angle de $r$ et calculer l'affixe $d$ du point D = 
$r$(C).
		\item Soit $\Gamma$ le cercle de diamètre [BC].

Déterminer et construire l'image $\Gamma '$  du cercle $\Gamma$ par la rotation $r$.
	\end{enumerate}
\item Soit $M$ un point de $\Gamma$ d'affixe $z$, distinct de 
C et $M'$ d'affixe $z'$ son image par $r$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer qu'il existe un réel $\theta$ appartenant à 
$\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[ \cup \left]\dfrac{\pi}{2}~;~2\pi\right[$ tel que 

$z = 1 + \text{e}^{\text{i}\theta}$.
		\item Exprimer $z'$ en fonction de $\theta$.
		\item Montrer que	$\dfrac{z' - c}{z - c}$	est un réel. En déduire que les points C, $M$ et $M'$ sont alignés.
		\item Placer sur la figure le point M d'affixe $1+ 
\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$ et construire son image M$'$ par $r$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\vspace{0,25cm}

\parbox[l]{0.45\textwidth}{Soient $a$ un réel strictement positif et OABC un tétraèdre tel que :

$\bullet$	OAB, OAC et OBC sont des triangles rectangles en O,

$\bullet$	OA = OB = OC = $a$.

On appelle I le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC, H le pied de la hauteur issue de O
 du triangle OIC, et D le point de l'espace défini par
  
$\vect{\text{HO}} = \vect{\text{OD}}$.} \hfill 
\parbox[r]{0.53\textwidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(-0.5,0)(9,10.2)
%\psgrid
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.1pt](1.2,0.9)(2,4)(2,9.7)%AOC
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.1pt](6.7,4)(2,4)%BO
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.1pt](3.2,4.4)(2,4)%HO
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.1pt](6.7,4)(0.2,3.1)%BD
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.1pt](3.95,2.45)(2,4)%OI
\psline(2,9.7)(0.2,3.1)(1.2,0.9)(6.7,4)(2,9.7)(3.95,2.45)%CDABCI
\psline(1.2,0.9)(2,9.7)%AC
\uput[d](1.2,0.9){A} \uput[d](3.95,2.45){I} \uput[dr](6.7,4){B} 
\uput[ul](2,9.7){C} \uput[ul](2,4){O} \uput[l](0.2,3.1){D}  
\uput[r](3.2,4.4){H}
\end{pspicture}}

\begin{enumerate} 
\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
\item Démontrer que les droites (OH) et (AB) sont orthogonales, puis que H est
 l'orthocentre du triangle ABC.
\item Calcul de OH
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer le volume V du tétraèdre OABC puis l'aire S du triangle ABC.
		\item Exprimer OH en fonction de V et de S, en déduire que OH = $a\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
	\end{enumerate}
\item Étude du tétraèdre ABCD.

L'espace est rapporté au repère orthonormal $\left(\text{O}~ 
;~\dfrac{1}{a}\vect{\text{OA}},~\dfrac{1}{a}\vect{\text{OB}},~
\dfrac{1}{a}\vect{\text{OC}}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le point H a pour coordonnées : 
$\left(\dfrac{a}{3},~\dfrac{a}{3},~\dfrac{a}{3}\right)$.
		\item Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier (c'est-à-dire que toutes ses arêtes ont même longueur).
		\item Soit $\Omega$ le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD. Démontrer que $\Omega$ est un point de la droite (OH) puis calculer ses coordonnées.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} proposé par l'A. P{}. M. E. P{}. \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\vspace{0,25cm}

OABC est un tétraèdre tel que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item OAB, OAC, OBC, sont trois triangles rectangles en O.
\item OA = OB = OC.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Le dessin fourni en annexe sera complété au fur et à mesure de l'avancement du
problème, et rendu avec la copie.

(Je propose que seul le tétraèdre OABC soit représenté, avec une disposition qui
permette ultérieurement de bien distinguer les points O et K, les droites (CK) et
(CO), les droites (AK) et (AO), et de placer le repère dans la disposition habituelle).

\medskip

\begin{enumerate}
\item On nomme K le point du plan ABC qui est le point de concours des trois
médiatrices du triangle ABC. Montrer que K est aussi l'isobarycentre de A, B, C.
\item On choisit la distance OA comme unité de longueur, et on munit l'espace du repère
$\left(\text{O},~\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}},~\vect{\text{OC}}\right)$, qui est alors orthonormé.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées de K.
		\item Montrer que le vecteur $\vect{\text{OK}}$ est normal au plan ABC.
		\item Calculer la distance de O au plan ABC.
	\end{enumerate}
\item On rappelle que, dans l'espace, le plan médiateur d'un segment est défini de deux
façons équivalentes :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item c'est le plan orthogonal au segment et passant par son milieu
\item c'est l'ensemble de tous les points de l'espace situés à égale distance des deux
extrémités du segment.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le plan médiateur P du segment [AB] est le plan COK.
		
Déterminer le plan médiateur Q du segment [BC].
		\item Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points de l'espace situés à égale distance des trois points A, B, C.
	\end{enumerate}
\item Soit D le point de l'espace symétrique de K par rapport à O, c'est à dire le point
tel que $\vect{\text{OD}} = \vect{\text{KO}}$, et soit $\Omega$ l'isobarycentre des quatre points A, B, C, D.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\Omega$ est le milieu du segment [OK].
		\item Montrer que $\Omega$ est le centre d'une sphère S contenant les quatre sommets du tétraèdre ABCO (S se nomme sphère circonscrite au tétraèdre).
	\end{enumerate}
\item Les unités d'aire et de volume étant celles attachées au repère, calculer :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item l'aire du triangle ABC ;
\item la mesure de la hauteur issue de D du tétraèdre ABCD ;
\item le volume du tétraèdre ABCD ;
\item le volume de la sphère S.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les questions} \textbf{3.} \emph{et} \textbf{4.} \emph{sont indépendantes des
 questions} 1. \emph{et} 2. \emph{seule l'équation de} $\Gamma$ \emph{donnée en} \textbf{1.  c.} \emph{intervient à la question} \textbf{4.}.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk.
	\begin{enumerate}
		 \item Montrer que les plans P et Q d'équations respectives $x + 
y\sqrt{3}	- 2z = 0$ et $2x - z = 0$ ne sont pas parallèles.
		\item Donner un système d'équations paramétriques de la 
droite $\Delta$ intersection des plans P et Q.
		\item On considère le cône de révolution $\Gamma$ d'axe (O$x$) contenant la droite $\Delta$ comme génératrice.

Montrer que $\Gamma$ pour équation cartésienne $y^2 + z^2 = 7x^2$.
	\end{enumerate}
\item On a représenté sur les deux figures ci-dessous les intersections de $\Gamma$  avec des plans parallèles aux axes de coordonnées.

Déterminer dans chaque cas une équation des plans possibles, en justifiant avec soin votre réponse.
 
\begin{center} 
\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(14,7)
\pscurve(0,0)(1,1)(1.85,2)(2.5,3)(2.6,3.5)(2.5,4)(1.85,5)(1,6)(0,7)
\pscurve(7,0)(6,1)(5.15,2)(4.5,3)(4.4,3.5)(4.5,4)(5.15,5)(6,6)(7,7)
\pscircle(11,3.5){2.2}
\end{pspicture}
\end{center}

\hspace{2cm}Figure 1 	\hspace{5,5cm}Figure 2

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $x^2 \equiv 3 \quad [7]$ , 
dont l'inconnue $x$ est un entier relatif, n'a pas de solution,
		\item Montrer la propriété suivante :

pour tous entiers relatifs $a$ et $b$, si 7 divise $a^2 + b^2$ alors
 7 divise $a$ et 7 divise $b$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soient $a,\: b$ et $c$ des entiers relatifs non nuls. Montrer la propriété  suivante :

si le point A de coordonnées $(a,\: b,\: c)$ est un point du cône 
$\Gamma$ alors $a,~b$ et $c$ sont divisibles par 7.
		\item En déduire que le seul point de $\Gamma$ dont les coordonnées 
sont des entiers relatifs  est le sommet de ce cône.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit N$_{0}$ le nombre de bactéries introduites dans un milieu de culture à l'instant
 
$t = 0$~ (N$_{0}$ étant un réel strictement positif, exprimé en millions d'individus).

\textbf{Ce problème a pour objet l'étude de deux modèles d'évolution de cette population  de bactéries :}

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] un premier modèle pour les instants qui suivent l'ensemencement 
(\textbf{partie A})
\item[$\bullet~$]  un second modèle pouvant s'appliquer sur une longue période 
(\textbf{partie B}).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center} \textbf{Partie A} \end{center}

Dans les instants qui suivent l'ensemencement du milieu de culture, on considère que la vitesse d'accroissement des bactéries est proportionnelle au nombre de bactéries en présence.

Dans ce premier modèle, on note $f(t)$ le nombre de bactéries à l'instant $t$ (exprimé en millions d'individus). La fonction $f$ est donc solution de l'équation différentielle :  $y' = ay$. (où $a$ est un réel strictement positif dépendant des conditions expérimentales).

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Résoudre cette équation différentielle, sachant 
que $f(0) = \text{N}_{0}$.
\item  On note $T$ le temps de doublement de la population bactérienne.

Démontrer que, pour tout réel $t$ positif : $f(t) = \text{N}_{0} 
2^{\frac{t}{T}}$.
\end{enumerate}

\begin{center}  \textbf{Partie B} \end{center}

Le milieu étant limité (en volume, en éléments nutritifs, ...), le nombre de bactéries ne peut pas croître indéfiniment de façon exponentielle. Le modèle précédent ne peut donc s'appliquer sur 
une longue période. Pour tenir compte de ces observations, on représente l'évolution de la
population de bactéries de la façon suivante :

Soit $g(t)$ est le nombre de bactéries à l'instant $t$ (exprimé en millions  d'individus) ; la fonction $g$ est une fonction strictement positive et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$ qui vérifie pour tout $t$ de $[0~;~+ \infty[$ la relation :

\[\text{(E)}\qquad g'(t) = ag(t)\left[1 - 
\dfrac{g(t)}{\text{M}}\right].\]
 
où M est une constante strictement positive dépendant des conditions expérimentales et $a$ le réel défini dans la \textbf{partie A}.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que si $g$ est une fonction strictement positive vérifiant la relation (E), alors la fonction $\dfrac{1}{g}$ est solution de l'équation différentielle 
 
 \[\text{(E}') \qquad y'+ ay = \dfrac{a}{\text{M}}.\]

		\item Résoudre (E$'$).
		\item Démontrer que si $h$ est une solution strictement positive de (E$'$), alors $\dfrac{1}{h}$ vérifie (E).
	\end{enumerate}
\item On suppose désormais que, pour tout réel positif 
$t,~ g(t) = \dfrac{\text{M}}{1 + C\text{e}^{-at}}$ où $C$ est une constante
 strictement supérieure à 1 dépendant des conditions expérimentales.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$ et démontrer, pour tout réel $t$ positif ou nul, la double inégalité : $0 < g(t) <  \text{M}$.
		\item Étudier le sens de variation de $g$ (on pourra utiliser la relation (E)).

Démontrer qu'il existe un réel unique $t_{0}$ positif tel que 
$g(t_{0}) = \dfrac{\text{M}}{2}$.
		\item Démontrer que $g'' = a\left(1 - 
\dfrac{2g}{\text{M}}\right)g'$. Étudier le signe de $g''$. En déduire que la vitesse d'accroissement du nombre de bactéries est décroissante à partir de l'instant $t_{0}$ défini ci-dessus.

Exprimer $t_{0}$ en fonction de $a$ et $C$.
		\item Sachant que le nombre de bactéries à l'instant $t$ est 
$g(t)$, calculer le nombre moyen de bactéries entre les instants $0$ et $t_{0}$, en fonction de M et $C$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie C} \end{center}

\begin{enumerate} 
\item Le tableau présenté en \textbf{Annexe I} a permis d'établir que 
la courbe représentative de $f$ passait par les points de coordonnées respectives (0~;~1) et (0,5~;~2). En déduire les valeurs de N$_{0},~T$ et $a$.
\item Sachant que $g(0) = \text{N}_{0}$ et que M = 100 
N$_{0}$, démontrer, pour tout réel $t$ positif ou nul, l'égalité suivante :

\[g(t) = \dfrac{100}{1 + 99 \times 4^{-t}}.\]
	
\item Tracer, sur la feuille donnée en \textbf{Annexe 
II}, la courbe $\Gamma$ représentative de $g$, l'asymptote à $\Gamma$ ainsi que le point de $\Gamma$ d'abscisse $t_{0}$.
\item Dans quelles conditions le premier modèle vous 
semble-t-il adapté aux observations faites ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} proposé par l'A. P{}. M. E. P{}. \hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On étudie une population de bactéries introduites dans un milieu de culture à l'instant
$t = 0$. 

Ce problème a pour objet l'étude de trois modèles d'évolution de cette
population. Dans tout le problème, la population initiale sera de 1 million
d'individus, et on exprimera le temps en heures, et la population de bactéries en
millions d'individus.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\emph{Un modèle discret}

On suppose que la population double toutes les demi-heures.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien y-a-t-il de bactéries au bout d'une heure ? au bout de deux heures ?
\item Soit $P(n)$ le nombre d'individus au bout de $n$ heures. Donner l'expression de $P(n)$
en fonction de $n$.
\item Au bout de combien d'heures la population dépasse-t-elle $100$~millions
d'individus ?

Quelle est la limite de la suite $\left(P(n)\right)$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\emph{Un premier modèle continu}

\medskip

On s'intéresse à la population de bactéries à l'instant $t$. 

Pour faciliter le traitement
mathématique, on la représente par une fonction continue et dérivable $f(t)$ (ceci
malgré le fait qu'en toute rigueur, elle devrait être forcément un nombre décimal
n'ayant pas plus de 6 décimales, puisqu'il y a un nombre entier de bactéries).

On prend pour hypothèse dans ce premier modèle continu qu'à chaque instant
l'accroissement de la population par unité de temps, $f'(t)$, est proportionnel à la
population. 

Cela revient à dire qu'il existe un coefficient $a$ strictement positif et
invariant au cours du temps tel que $f'(t) = af(t)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation différentielle $y' = ay$, et en déduire l'expression de $f(t)$, en prenant en compte la population initiale.
		\item On suppose que la population double toutes les demi-heures. En déduire la
valeur de $a$.
	\end{enumerate}
\item On suppose désormais que la population à l'instant $t$ est : $f(t) = \text{e}^{t \ln 4}  = 4^t$.
	\begin{enumerate}
		\item Dans ce modèle, combien y-a-t-il de bactéries au bout de 10 minutes, au bout
de 1~h 40 ? 
		
Quelle est la limite de $f(t)$ en plus l'infini ?
		\item Si l'instant initial était midi, à quelle heure, à la minute près, la population atteindrait-elle $100$~millions ?
		\item Comparer $f(n)$ et $P(n)$ ; qu'apporte cette deuxième modélisation par rapport à la première? (On peut comparer les questions posées dans A et dans B pour
évaluer les \og performances \fg de chaque modélisation.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\emph{Un modèle continu moins simpliste :  l'équation logistique}

\medskip

L'expérience montre que le nombre de bactéries ne peut pas croître sans limite comme dans le modèle précédent. Pour améliorer le modèle, on introduit un terme négatif dans l'équation différentielles qui va avoir pour effet de diminuer la vitesse du phénomène. Ce modèle a été imaginé par Verhulst en 1838. 

Dans ce paragraphe, la population à l'instant $t$ est notée $g(t)$ ; elle est supposée
définie sur l'ensemble des réels positifs ou nuls, dérivable et strictement positive et
elle est solution de l'équation différentielle :

\[y' = y \ln (4) - ky^2\]

où $k$ est une constante strictement positive dépendant des conditions expérimentales.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résolution de cette équation différentielle:
	\begin{enumerate}
		\item Prouver, pour toute fonction $g$ dérivable et strictement positive, l'équivalence suivante :
		
\[\left(\forall t, \:g'(t) = g(t)\ln 4 - k(g(t)^2\right) \iff  \left(\forall t, \: \left(\dfrac{1}{g}\right)'(t) = -  \dfrac{1}{g(t)}\ln 4 + k\right).
		\]
		\item Résoudre l'équation différentielle $y' = - y \ln (4) + k$.
		\item Déduire de a. et b. une expression de $g(t)$ en prenant en compte la condition
initiale : $g(0) = 1$.
		\item On suppose dans cette question que : $g(t) = \dfrac{\ln 4}{(\ln 4 - k)\text{e}^{-t\ln 4} + k}$.
		
Des mesures expérimentales montrent que la population finit par se stabiliser à
$100$~millions d'individus. On traduit cette stabilisation par la condition :
$\displaystyle\lim_{t \to + \infty} g(t) = 100$.

Quelle est la valeur de $k$ pour que cette condition soit remplie.
 	\end{enumerate}
\item  Comportement de ce modèle.

On suppose désormais que $g(t) = \dfrac{100}{1 + 99\text{e}^{t \ln 4}} = \dfrac{100}{1 + 99\times 4^t}$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que cette fonction est solution de l'équation différentielle $(E)$
		
\[y' = y \ln 4 - \dfrac{\ln 4}{100}y^2\]

et qu'elle vérifie les deux conditions $g(0) = 1$ et $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} g(t) = 100$.
		\item Comparer les nombres $100$ et $g(t)$.
		\item Établir le tableau de variation complet de $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. Tracer dans un repère adapté aux données la représentation graphique $(T)$ de $g$.
		\item Résoudre graphiquement puis par le calcul l'équation : $g(T) = 50$.

On note la solution $d$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Document à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{Annexe I}

\vspace{0,8cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$ (en h)				& 0 &0,5&1 & 1,5 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\  \hline
Nombre de bactéries (en millions)&1,0&2,0&3,9&7,9&14,5&37,9&70,4&90,1 &98\\ 
 \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{0,8cm}

Les points obtenus à partir de ce tableau, ainsi que le 
graphe de la fonction $f$, sont représentés dans le graphique 
ci-dessous.



\begin{center} \textbf{Annexe II}
    
\vspace{0,5cm}
    
\psset{xunit=1.55cm,yunit=1mm}
\begin{pspicture}(8,110)
\multido{\r=.5+1}{8}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\r,0)(\r,110)}
\multido{\r=0+5}{23}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](0,\r)(8,\r)}
\multido{\i=1+1}{8}{\psline[linecolor=orange](\i,0)(\i,110)}
\multido{\r=0+20}{6}{\psline[linecolor=orange](0,\r)(8,\r)}
\psline(0,110)(8,110)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(8,110)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2]
(0,1)(0.5,2)(1,3.9)(1.5,7.9)(2,14.5)(3,37.9)(4,70,4)(5,90.1)(6,98)
\uput[r](8,0){$t$} \uput[u](0,110){$y$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{3.39}{4 x exp}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}