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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 15 juin 2006}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 15 juin 2006~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit \Oijk{} un repère orthonormal de l'espace.

On considère les points 

\[\text{A}(2~;~4~;~1),\: \text{B}(0~;~4~;~-3),\:\text{C}(3~;~1~;~-3),\:\text{D}(1~;~0~;~-2),\: \text{E}(3~;~2~;~-1),\:	\text{I}\left(\dfrac{3}{5}~;~4~;~- \dfrac{9}{5}\right)\]

\emph{Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire, sans le justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse. Pour chaque question, il est compté un point si la réponse est exacte et zéro sinon.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Une équation du plan (ABC) est : $2x + 2y - z - 11 =  0$.
\item Le point E est le projeté orthogonal de D sur le plan (ABC).
\item Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.
\item La droite (CD) est donnée par la représentation paramétrique suivante :

\[(\text{CD})\quad \left\{\begin{array}{l c r}
x &=& - 1+2t \\
 y&=&- 1+\phantom{2}t\\
z &= &1 - \phantom{2}t\\
\end{array}\right. \quad (t \in \R).\]

\item Le point I est sur la droite (AB).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par

\[f(x) = x^2 \text{e}^{1 - x}.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative
dans un repère orthonormal \Oij{}  d'unité graphique 2~cm.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$ ; quelle conséquence graphique pour $\mathcal{C}$ peut-on en tirer ?
		\item Justifier que $f$ est dérivable sur $\R$. Déterminer sa fonction dérivée $f'$. 
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ et tracer la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'intégrale $I_{n}$ définie par

\[ I_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 x^n\text{e}^{1 - x}\:\text{d}x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Établir une relation entre $I_{n+1}$  et $I_{n}$.
		\item Calculer I$_{1}$, puis I$_{2}$.
		\item Donner une interprétation graphique du nombre I$_{2}$. On la fera apparaître sur le graphique de la question 1. c.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout nombre réel $x$ de [0 ; 1] et pour tout entier naturel $n$ non nul, on a l'inégalité suivante :

\[x^n \leqslant x^n\text{e}^{1 - x} \leqslant  x^n  \text{e}.\]

		\item En déduire un encadrement de $I_{n}$ puis la limite de $I_{n}$ quand $n$ tend vers~$+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère le plan complexe $\mathcal{P}$ rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. Dans tout l'exercice, $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ désigne le plan $\mathcal{P}$ privé du point origine O.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Question de cours}

On prend comme pré-requis les résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Si $z$ et $z'$ sont deux nombres complexes non nuls, alors : 

arg$(zz') = \text{arg}(z) + \text{arg}(z')$ à $2k\pi$ près, avec k entier relatif
\item Pour tout vecteur $\vect{w}$ non nul d'affixe $z$ on a : arg$(z) = \left(\vect{u}~;~\vect{w}\right)$ à $2k\pi$ près, avec $k$ entier relatif
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\begin{enumerate}
		\item Soit $z$ et $z'$ des nombres complexes non nuls, démontrer que

arg$\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \text{arg}(z)- \text{arg}(z')$ à $2k\pi$ près, avec $k$ entier relatif.
		\item Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts, d'affixes respectives $a,~ b,~ c$, on a : arg$\left(\dfrac{c - a}{b - a}\right)  = \left(\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AC}}\right)$ à $2k\pi$ près, avec $k$ entier relatif.
	\end{enumerate}
\item On considère l'application $f$ de $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ dans $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ qui, au point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : $z'= \dfrac{1}{\overline{z}}$. On appelle U et V les points du plan d'affixes respectives $1$ et i.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour $z \neq 0$, on a arg$\left(z'\right) =  \text{arg}(z)$ à $2k\pi$ près, avec $k$ entier relatif.

 En déduire que, pour tout point $M$ de $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ les points $M$ et $M' = f(M)$ appartiennent à une même demi-droite d'origine O. 
		\item Déterminer l'ensemble des points $M$ de $\mathcal{P}\verb+\+ \{\text{O}\}$ tels que $f(M) = M$.
		\item $M$ est un point du plan $\mathcal{P}$ distinct de O, U et V, on admet que $M'$ est aussi distinct de O, U et V.
		
Établir l'égalité $\dfrac{z' - 1}{z' - \text{i}}= \dfrac{1}{\text{i}}\left(\dfrac{\overline{z} - 1}{\overline{z} + \text{i}}  \right) = -\text{i}\overline{\left(\dfrac{z - 1}{z - \text{i}} \right)}$.

En déduire une relation entre arg$\left(\dfrac{z' - 1}{z' - \text{i}}\right)$ et  arg$\left(\dfrac{z - 1}{z - \text{i}} \right)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $z$ un nombre complexe tel que $z \neq 1$ et $z \neq \text{i}$ et soit $M$ le point d'affixe $z$. Démontrer que $M$
est sur la droite (UV) privée de U et de V si et seulement si  $\dfrac{z - 1}{z - \text{i}}$ est un nombre réel non nul.
		\item Déterminer l'image par $f$ de la droite (UV) privée de U et de V.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A : Question de cours}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.
\item Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Il s'agit de résoudre dans $\Z$ le système 
\[(S) \quad \left\{ \begin{array}{l c l r}
n& \equiv & 13 \quad &(19)\\
n & \equiv & 6 \quad &(12)\\
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item  Démontrer qu'il existe un couple $(u ~;~ v)$ d'entiers relatifs tel que :

$19u + 12v = 1$.

(On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d'un tel couple).

Vérifier que, pour un tel couple, le nombre $N = 13\times  12v + 6\times 19u$ est une solution de ($S$).
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $n_{0}$ une solution de ($S$), vérifier que le système ($S$) équivaut à 
\[\left\{ \begin{array}{l c l r} 
n& \equiv &n_{0}\quad  &(19)\\
n & \equiv & n_{0}\quad &(12)\\
\end{array}\right.\]
		\item Démontrer que le système	$\left\{ \begin{array}{l c lr} 
n& \equiv &n_{0}\quad  &(19)\\
n & \equiv & n_{0}\quad &(12)\\
\end{array}\right.$	équivaut à

$n \equiv n_{0}\quad  (12 \times 19)$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Trouver un couple $(u~;~v)$ solution de l'équation $19u + 12v =  1$ et calculer la valeur de $N$ correspondante.
		\item Déterminer l'ensemble des solutions de ($S$) (on pourra utiliser la question 2. b.).
	\end{enumerate}
\item Un entier naturel $n$ est tel que lorsqu'on le divise par 12 le reste est 6 et lorsqu'on le divise par 19 le reste est 13.

 On divise $n$ par $228 = 12 \times 19$. Quel est le reste $r$ de cette division ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre un ballon afin de le crever. À chacun de ces tirs, il a la probabilité $0,2$ de crever le ballon. Le tireur s'arrête quand le ballon est crevé. Les tirs successifs sont supposés indépendants.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité qu'au bout de deux tirs le ballon soit intact ?
		\item Quelle est la probabilité que deux tirs suffisent pour crever le ballon ?
		\item Quelle est la probabilité $p_{n}$ que $n$ tirs suffisent pour crever le ballon ?
		\item Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $p_{n} > 0,99$ ?
	\end{enumerate}
\item Ce tireur participe au jeu suivant :

Dans un premier temps il lance un dé tétraédrique régulier dont les faces sont numérotées de 1 à 4 (la face obtenue avec un tel dé est la face cachée) ; soit $k$ le numéro de la face obtenue. Le tireur se rend alors au stand de tir et il a droit à $k$ tirs pour crever le ballon.

Démontrer que, si le dé est bien équilibré, la probabilité de crever le ballon est égale à \np{0,4096} (on pourra utiliser un arbre pondéré).
\item Le tireur décide de tester le dé tétraédrique afin de savoir s'il est bien équilibré ou s'il est pipé. Pour cela il lance 200 fois ce dé et il obtient le tableau suivant :

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}\hline
Face $k$&1	&2	&3	&4	\\ \hline
Nombre de sorties de la face $k$&	58	&49	&52	&41	\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les fréquences de sorties $f_{k}$ observées pour chacune des faces.
		\item On pose $d^2 = \Sigma_{k = 1}^{4} \left(f_{k} - \dfrac{1}{4}\right)^2$. Calculer $d^2$.
		\item On effectue maintenant \np{1000} simulations des 200 lancers d'un dé tétraédrique bien équilibré et on calcule pour chaque simulation le nombre $d^2$. On obtient pour la série statistique des  \np{1000} valeurs de $d^2$ les résultats suivants :

\medskip

\hspace*{-1.3cm}\begin{tabular}{|*{7}{c|}}\hline
Minimum	& D$_{1}$&Q$_{1}$	&Médiane&Q$_{3}$&D$_{9}$
	&Maximum\\ \hline
\np{0,00124} & \np{0,00192}& \np{0,00235}	&\np{0,00281}	&\np{0,00345} 	 &\np{0,00452}	& \np{0,01015}\\ \hline
\end{tabular}

\medskip

Au risque de $10$\,\%, peut-on considérer que ce dé est pipé 7
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}