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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Le baccalauréat de 1997}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 1997}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole septembre 1997~\decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1  \hfill 4 points}}

\medskip

Un gardien de but doit faire face, lors d'une démonstration, à un certain nombre de tirs directs. Les expériences précédentes conduisent à penser que : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item s'il a arrêté le $n-$ième tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant [le $(n + 1)$-ième] est 0,8 ; 
\item s'il a laissé passer le $n$-ième tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant est 0,6; 
\item la probabilité pour qu'il arrête le premier tir est 0,7. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Dans tout l'exercice, si $E$ est un évènement, on note $p(E)$ la probabilité de 
$E,\: \overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.

On note $P(E/F)$ la probabilité conditionnelle de l'évènement $E$ sachant que $F$ est réalisé.

$A_{n}$ est l'évènement \og le gardien arrête le $n$-ième tir \fg. On a donc $P\left(A_{1}\right) = 0,7$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner, pour $n \geqslant 1$, les valeurs de $P\left(A_{n+1}/A_{n}\right)$ et $P\left(A_{n+1}/\overline{A_{n}}\right)$. 
		\item Exprimer $P\left(A_{n+1} \cap A_{n}\right)$ et $P\left(A_{n+1} \cap \overline{A_{n}}\right)$ en fonction de $P\left(A_{n}\right)$· 
		\item En déduire que, pour tout entier strictement positif $n \geqslant 1$, on a : 
		
		\[P\left(A_{n+1} \right) = 0,2P\left(A_{n} \right) + 0,6.\] 
	\end{enumerate}
\item On pose à présent, pour $n \geqslant 1$,\: $p_{n} = P\left(A_{n}\right)$ et $u_{n} = p_{n}- 0,75$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,2$. 
		\item En déduire une expression de $p_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Montrer que $\left(p_{n}\right)$ admet une limite que l'on calculera. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 (obligatoire)  \hfill 4 points}}

\medskip

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv{} 
(unité graphique : 2~cm), on considère :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item le point A d'affixe $a = 5 - \text{i}\sqrt{3}$ ; 
\item le point B tel que le triangle OAB soit équilatéral direct, c'est-à-dire
 
$\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right) = \dfrac{\pi}{3}$. 
\item le milieu Q de [OB].
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que B a pour affixe $b = 4 + 2\text{i}\sqrt{3}$. En déduire l'affixe $q$ de Q.
		\item Déterminer l'affixe $z_{\text{K}}$ du point K tel que ABQK soit un parallélogramme. 
		\item Démontrer que $\dfrac{z_{\text{K}} - a}{z_{\text{K}}}$ est imaginaire pur. Qu'en déduit-on pour le triangle OKA ?
 
Préciser la nature du quadrilatère OQAK. 
		\item Placer les points A, B, Q et K dans le plan.
	\end{enumerate} 
\item Soit C le point d'affixe $c = \dfrac{2a}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\dfrac{z_{\text{K}} - b}{z_{\text{K}} - c}$. Que peut-on en déduire pour les points B, C et K ? 
		\item Placer C sur la figure. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 (obligatoire)  \hfill 4 points}}

\medskip

$n$ et $c$ étant deux entiers naturels non nuls, le but de l'exercice est de comparer le
PGCD de $(cn)$ et de $2n + 1$ au PGCD de $c$ et de $2n + 1$ et de déterminer selon
les valeurs de $n$ le PGCD des deux nombres $A = 3n$ et $B = 2n + 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $n$ et $2 n + 1$ sont premiers entre eux.
\item En utilisant le théorème de Bezout démontrer que pour tout entier naturel $c$ non
nul le PGCD de $(cn)$ et de $2n + 1$ est égal au PGCD de $c$ etde $2n+ 1$.
\item En déduire que le PGCD de $A$ et $B$ est le PGCD de $3$ et de $(2n + 1)$.
\item Déterminer le PGCD de $3$ et de $(2n + 1)$ selon les valeurs de $n$ en utilisant,
par exemple, les 3 valeurs possibles du reste dans la division euclidienne de $n$
par 3.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème  \hfill }}

Dans ce problème, on étudie quelques propriétés de la fonction $f$ définie sur
 $\R$ par : 
 
\[f(x) = x^2 + \text{e}^{2x}.\]

\begin{center} \textbf{I. Études des variations de} \boldmath$f$\unboldmath \end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer, pour tout nombre réel $x, f^{\prime}(x)$ et $f^{\prime\prime}(x)$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a $f^{\prime\prime}(x) > 0$.
		\item En déduire que l'équation $f^{\prime}(x) = 0$ admet sur $\R$ une solution et une
 seule qu'on note $\alpha$.
		\item Vérifier la double inégalité $- 0,5 < \alpha < - 0,4$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Préciser, suivant les valeurs du nombre réel $x$, le signe de 
$f'(x)$ .
		\item Calculer $\lim\limits_{x \to -~\infty} f(x)$ et $\lim\limits_{x \to +~\infty} 
f(x)$.
		\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
		\item Tracer, en se limitant à l'intervalle $\left[-~2~;~\frac{1}{2}\right]$
la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité 
graphique : 4~cm).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\begin{center} \textbf{II. Interprétation géométrique de} \boldmath$f$
\unboldmath \end{center}
 
 On note $\Gamma$ la courbe représentative, dans le repère  \Oij{} introduit
 dans la partie I, de la fonction $g$ définie par :
  
\[g(x) = \text{e}^x.\]
  
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer la distance O$M$ du point O au point $M$ de $\Gamma$ d'abscisse
 $x$ en fonction de $f(x)$ .
		\item Traduire alors les résultats obtenus dans la partie I en une propriété 
concernant la variation de la distance O$M$ quand $M$ parcourt $\Gamma$.
	\end{enumerate}
\item Soit $A$ le point de $\Gamma$ d'abscisse $\alpha$ ($\alpha$ a été introduit
 dans la partie I ; on rappelle que $f'(\alpha) = 0 )$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire une équation de la tangente $T$ à $\Gamma$ en $A$.
		\item Quelle relation peut-on écrire entre les c{\oe}fficients directeurs des droites (O$A)$ et $T$ ? Interpréter géométriquement le résultat obtenu.
\item On note $\beta$ l'abscisse du point d'intersection de la droite $T$ avec l'axe
 $(\text{O},~ \vect{\imath})$.
		
Calculer en fonction de $\alpha$  et en cm$^2$ l'aire $\mathcal{A}$ du domaine limité par la courbe $\Gamma$, la tangente $T$ et les droites  d'équations $x = \alpha$ et $x = \beta$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}