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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 1998}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}
    
\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole septembre 1998~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1\hfill 4 points}

\medskip
 
L'espace est muni d'un repère orthonormal direct \Oijk.
 
Il n'est pas demandé de faire de figure.
 
Les questions 3 et 4 sont indépendantes des questions 1 et 2.
 
On considère les quatre points A,\ B,\ C et I de coordonnées respectives :

\[\text{A}\left(
\begin{array}{c}%
-~1\\ 2\\ 1
\end{array}\right)  \qquad\quad 
\text{B}\left(
\begin{array}{c}%
1\\ -~6\\ -~1
\end{array}
\right)  \qquad\quad 
\text{C}\left(
\begin{array}{c}%
2\\ 2\\ 2
\end{array}
\right)  \qquad\quad \text{I}\left(
\begin{array}{c}%
0\\ 1\\ - 1
\end{array}
\right)\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer le produit vectoriel $\vect{\strut
\text{AB}}\wedge \vect{\strut \text{AC}}$.

		\item Déterminer une équation cartésienne du plan contenant les trois points 
A,\ B et C.
	\end{enumerate}

\item  Soit (Q) le plan d'équation :

\[x + y - 3z + 2 = 0\]

et (Q$'$) le plan de repère \Oijk.

	\begin{enumerate} 
		\item Pourquoi (Q) et (Q$'$) sont-ils sécants~?

		\item Donner un point E et un vecteur directeur$ \vect{\strut u}$ de la droite d'intersection $(\Delta)$ des plans (Q)  et (Q$'$).
 
	\end{enumerate}

\item Écrire une équation cartésienne de la sphère S de
 centre I et de rayon 2.
 
\item On considère les points J et K de coordonnées
 respectives :
\[
\text{J}\left(
\begin{array}{c}%
-~2\\ 0\\ 0
\end{array}
\right)  \qquad\quad \text{K}\left(
\begin{array}{c}%
1\\ 0\\ 1
\end{array}
\right)
\]
Déterminer avec soin l'intersection de la sphère (S) et de la droite
(JK).\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère le polynôme $P$ défini
par :

\[P(z) = z^{3}- 6z^{2} + 12z - 16.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $P(4)$.

		\item  Résoudre dans $\C$ l'équation : $P(z) = 0$.

	\end{enumerate}
    
\item Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct
\Ouv{} tel que :

$\left\Vert\vect{u}\right\Vert = \left\Vert\vect{v}\right\Vert= 2\;$cm.

Soient A,B, C les points d'affixes respectives :

\[a = 4\qquad b = 1+\text{i}\sqrt{3}\qquad c = 1 - \text{i}\sqrt{3}\]

	\begin{enumerate}
		\item   Placer les points A,~B,~C  sur une figure que l'on complètera tout au long de l'exercice.
		\item  Montrer que le triangle ABC est équilatéral.
	\end{enumerate}

\item  Soit K le point d'affixe $k=-\sqrt{3}+\text{i}$

On appelle F l'image de K par la rotation de centre O et
d'angle de mesure $\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$ et G l'image de
K par la translation de vecteur $\vect{\text{OB}}$.

	\begin{enumerate}
		\item Quelles sont les affixes respectives de F et de G ?
		\item Montrer que les droites (OC) et (OF) sont perpendiculaires.

	\end{enumerate}

\item Soit H le quatrième sommet du parallélogramme 
COFH.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le quadrilatère COFH est un carré.
\item Calculer l'affixe du point H.
\item Le triangle AGH est-il équilatéral ?
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation différentielle :

\[y'-4y' + 4y = 0.\]

\item  Déterminer la solution $\varphi$ de cette équation,
 définie sur $\mathbb{R}$ et qui vérifie les conditions :

\[\varphi(0)=0\quad\text{et}\quad\varphi^{\prime}(0)=- \text{e}\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$
 par :

\[f(x) = - x\text{e}^{2x+1}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Quel est, suivant les valeurs de $x$, le signe de $f(x)$ ?
		\item Étudier le sens de variation de de $f$.
		\item Déterminer les limites de $f$ en $+~\infty$ et en $-~\infty$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$.
		\item On appelle ($\mathcal{C}$) la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé \Oij~ \ (unité graphique : $4$~cm).

Quelle est la tangente à ($\mathcal{C}$) au point O ?
 
Écrire une équation de la tangente T à ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse $(-1)$. 
		\item On appelle ($\Gamma$) la représentation graphique dans le	repère \Oij{}  de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

\[g(x)= \text{e}^{x}.\]

Quelle est la tangente à ($\Gamma$) au point d'abscisse $(-1)$ ?
	\end{enumerate}

\item  On appelle $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$
 par :

\[h(x) = 1 + \text{e}x\text{e}^{x}.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Étudier le sens de variation de $h$.
    
En déduire le signe de $h(x)$ suivant les valeurs de $x$.    
		\item  Étudier la position de ($\mathcal{C}$) par rapport à ($\Gamma$).
		\item  Tracer, sur le même graphique, les courbes T, ($\mathcal{C}$) et
($\Gamma$).

	\end{enumerate}

\item Soit $m$  un réel quelconque et $M$  le point de la
courbe ($\Gamma$) d'abscisse $m$.

	\begin{enumerate} 
		\item  Écrire une équation de la tangente D à ($\Gamma$) en $M$.    
		\item  La tangente D coupe les axes de coordonnées en $A$ et $B$.

Calculer, en fonction de $m$, les coordonnées du milieu $J$ du
segment $[AB]$.
		\item  Prouver que $J$ appartient à ($\mathcal{C}$).
		\item  Tracer (D) et $J$ pour $m=0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $x$ un réel quelconque.
À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'intégrale :

\[I(x)=\int_{0}^{x}{t\text{e}^{2t}}\:\text{d}t.\]
\item  Soit $x$ un réel négatif.

Calculer l'aire $\mathcal{A}(x)$, exprimée en $\text{cm}^{2}$, de l'ensemble des points $N$ du plan dont les coordonnées ($u,~v$) vérifient :

\[\left\{
\begin{array}{l c c c l}
x &\leqslant	& u 	&\leqslant	& 0\\
 0& \leqslant& v	& \leqslant& f(x)
\end{array}
\right.\]

\item Calculer $\mathcal{A}(-~1)$.
\item $\mathcal{A}(x)$ admet-elle une limite quand $x$ tend vers moins l'infini ? Si oui laquelle ?
\end{enumerate}
\end{document}