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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 1999}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole septembre 1999~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textsl{Dans tout l'exercice, on donnera les résultats sous forme de 
fractions irréductibles.}

\medskip

Une urne contient trois boules noires et une boule blanche.

On considère l'expérience suivante :

On lance un jeton parfaitement équilibré, présentant une face noire 
et une face blanche. Si le jeton tombe sur la face blanche, on ajoute une 
boule blanche dans l'urne ; si le jeton tombe sur la face noire, on ajoute 
une boule noire dans l'urne.

Puis on tire simultanément, et au hasard, trois boules de l'urne.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle $E_0$ l'évènement : \og Aucune boule blanche ne 
figure parmi les trois boules tirées \fg{} et $B$ l'évènement : \og Le jeton est 
tombé sur la face blanche \fg{}.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(E_0~ \cap ~ B),\: P\left(E_0~ \cap 
\overline{B}\right)$, puis $P(E_0$).
		\item On tire trois boules de l'urne, aucune boule blanche ne figure dans ce tirage. Quelle est la probabilité que le jeton soit tombé sur la face noire ?
	\end{enumerate}
\item On appelle $E_{1}$ l'évènement : \og Une boule blanche et une seule figure parmi les trois boules tirées \fg{} et $B$ l'évènement : \og Le jeton est tombé sur la face blanche \fg{}.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{1}$.
		\item On effectue successivement quatre fois l'expérience 
décrite au début, qui consiste à lancer le jeton, puis à tirer les trois boules de l'urne.

Quelle est la probabilité d'obtenir, au moins une fois, une et une seule boule blanche ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsl{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Le plan est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv~ (unité graphique : 2~cm).
On note $Z_{M}$ l'affixe d'un point $M$.
 
Soit A le point d'affixe 4 et B le point d'affixe 4i.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\theta$ un réel de [0, 2$\pi$[ et $r$ un réel 
strictement positif.

On considère le point $E$ d'affixe $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ et 
$F$ le point tel que O$EF$ est un triangle rectangle isocèle vérifiant 
$\left(\vect{\text{O}E},~ \vect{\text{O}F}\right) = \dfrac{\pi}{2}$.

Quelle est, en fonction de $r$ et $\theta$, l'affixe de $F$ ?
\item Faire une figure et la compléter au fur et à mesure de 
l'exercice.

On choisira, uniquement pour cette figure :

\[\theta = 5\dfrac{\pi}{6}~ \text{et}~ r = 3.\]
\item On appelle $P,~ Q,~ R,~ S$ les milieux respectifs des 
segments [AB], [B$E$], [$EF],~ [F$A].
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que $PQRS$ est un parallélogramme.
		\item On pose : $Z = \dfrac{Z_{R} - Z_{Q}}{Z_{Q} 
-Z_{\text{P}}}$.

Déterminer le module et un argument de $Z$.

En déduire que $PQRS$ est un carré.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, en fonction de $r$ et $\theta$, les affixes 
respectives des points $P$ et $Q$.
		\item Quelle est, en fonction de $r$ et $\theta$, l'aire du 
carré $PQRS$ ?
		\item $r$ étant fixé, pour quelle valeur de $\theta$ cette 
aire est-elle maximale ?

Quelle est alors l'affixe de $E$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Soit le repère orthonormal direct \Ouv~ du plan complexe. Les 
points A, B et C sont définis par leurs affixes respectives : 
\[z_{\text{A}} = 3 - \text{i}\sqrt{3}~;~ z_{\text{B}} = 3 + 
\text{i}\sqrt{3}~;~ z_{\text{C}} = 2 + \sqrt{3} + 3\text{i}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Faire la figure en choisissant pour unité graphique 2 cm.
(On placera  l'origine sur la gauche de la feuille).
\item Prouver que OAB est un triangle équilatéral direct. Soit 
G le centre de gravité du triangle OAB. Déterminer l'affixe $z_{\text{G}}$ de G.

Dans la suite de l'exercice, on étudie deux isométries transformant 
[OA] en [GC].
\item Soit $a$ et $b$ deux nombres complexes et R l'application 
qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que 
$z' = az + b$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $a$ et $b$ pour que R(O) = G et R(A) = C.
		\item Prouver que R est une rotation dont on déterminera le 
centre et l'angle.
		\item Prouver que les droites (OA) et (GC) sont 
perpendiculaires. Que peut-on dire des points G, B et C ?
		\item Construire, en justifiant la construction, l'image du 
triangle OAB par R.
	\end{enumerate}
\item Soit $a'$ et $b'$ deux nombres complexes et $f$ 
l'application qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que  $z' = a'\overline{z} + b'$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $a'$ et $b'$ pour que $f$(O) = G et $f$(A) = C.
		\item Soit I le milieu du segment [OG]. Déterminer le point $f$(I). $f$ est-elle une réflexion ?
		\item Construire en justifiant la construction, l'image du 
triangle OAB par $f$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{(\ln x)^2}{ x}.\]
On appelle $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$, dans un 
repère orthogonal \Oij{} du plan (unités graphiques : 1~cm sur l'axe des abscisses, 2~cm sur l'axe des ordonnées).

\bigskip
 
\textbf{Partie A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en +~$\infty$ et 0.
\item Calculer $f'(x)$ en fonction de $x$. Montrer que $f'(x)$ 
a le même signe que

$\ln x(2 - \ln x)$. Déterminer le sens de variation de $f$ 
sur $]0~;~ +\infty[$.
\item Tracer la représentation graphique $\mathcal{C}$ de $f$ 
dans \Oij.
\item On pose pour $p \geqslant 1,~ I_{p} = 
\displaystyle\int_{1}^{\text{e}^2} \dfrac{(\ln x)^p}{x^2}\: \text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer : 
\[I_{1} = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}^2} \dfrac{\ln x}{x^2}\: 
\text{d}x.\]
		\item Prouver, en effectuant une intégration par parties, que pour tout entier $p$ supérieur ou égal à 1 :
		
\[I_{p+1} = - \dfrac{2^{p + 1}}{\text{e}^2} + (p + 1)I_{p}.\]
		\item En utilisant les résultats précédents, calculer 
successivement $I_{2},~I_{3},~I_{4}$.
		\item On fait tourner autour de l'axe des abscisses l'arc de 
courbe constitué des points de $\mathcal{C}$, d'abscisses comprises entre 1 et e$^2$. Le point $M$ de $\mathcal{C}$, d'abscisse $x$, décrit alors un cercle de rayon $f(x)$.
Calculer le volume du solide ainsi engendré, en unités de volume.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Partie B :}

\medskip

Soit $a$ un réel strictement positif et $A$ le point de $\mathcal{C}$ 
d'abscisse $a$.
Soit T$_{a}$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point $A$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire une équation de T$_{a}$.
\item Déterminer les réels $a$, pour lesquels T$_{a}$ passe par 
l'origine O du repère.
\item Donner une équation de chacune des tangentes à 
$\mathcal{C}$,  passant par O.

Tracer ces tangentes sur la figure.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C :}

\medskip

On étudie maintenant l'intersection de $\mathcal{C}$ avec la droite 
$\Delta$ d'équation $y = \dfrac{1}{\text{e}^2}x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose pour $x$ strictement positif, $\varphi_{1}(x) = x 
- \text{e} \ln x$.
 
Montrer que $\varphi_{1}$ est strictement croissante sur ]e,~+$~\infty$[ et strictement décroissante sur ]0~;~e[.
\item On pose pour $x$ strictement positif, $\varphi_{2}(x) = x 
+ \text{e} \ln x.$
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de $\varphi_{2}$ sur ] 0,~ 
+~$\infty$[.
		\item Prouver que $\varphi_{2}(x) = 0$ a une solution unique sur $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$. On appelle $\alpha$ cette 
solution ; donner un encadrement de $\alpha$, d'amplitude $10^{-~1}$.
		\item En déduire que $\varphi_{2}(x) = 0$ 
a une seule solution sur $]0~;~+~\infty$[.
	\end{enumerate}
\item Déterminer les points d'intersection de $\mathcal{C}$ et 
de $\Delta$.
\end{enumerate}
\end{document}