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\rhead{A. P. M. E. P.} 
\lhead{\small Baccalauréat S}
\thispagestyle{empty}
\lfoot{\small{Métropole}} 
\rfoot{\small{septembre 2001}} 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole septembre 2001~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textbf{Exercice 1} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On dispose de deux urnes $a$ et $b$ contenant des boules blanches ou rouges 
indiscernables au toucher. L'épreuve consiste à choisir une urne parmi 
les urnes $a$ et $b$ proposées (le choix de l'urne est effectué au 
hasard, les deux choix étant équiprobables) puis à effectuer le 
tirage d'une boule dans l'urne choisie. 

On note A l'évènement \og l'urne $a$ est choisie \fg{} , B 
l'évènement \og l'urne $b$ est choisie \fg{} et R l'évènement \og 
une boule rouge est obtenue au tirage \fg{}. 

On note $p_{\text{A}}\left(\text{R}\right)$ la probabilité 
conditionnelle de l'évènement R par rapport à l'évènement A. 

\begin{enumerate} 
\item Dans cette question, l'urne $a$ contient une boule rouge 
et quatre boules blanches, l'urne $b$ contient quatre boules rouges et deux 
boules blanches. 

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les probabilités suivantes : 
$p\left(\text{A}\right)$,~$p_{\text{A}}(\text{R})$,~$p(\text{A} \cap \text{R})$. 

		\item Montrer que 
\[p(\text{R}) = \dfrac{13}{30}\] 

		\item Sachant que la boule obtenue est rouge, quelle est la probabilité 
que l'urne choisie soit l'urne $a$ ? 
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on suppose que l'urne $a$ contient 
quatre boules blanches et l'urne $b$ deux boules blanches. L'urne $a$ contient 
en outre $n$ boules rouges (où $n$ désigne un entier naturel inférieur ou égal à $5$), l'urne $b$ en contient $5 - n$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer $p_{\text{A}}\left(\text{R}\right) $ et $p_{\text{B}} 
\left(\text{R}\right)$ en fonction de $n$. 

		\item Démontrer que 

\[ p(\text{R} ) = \dfrac{- n^2+ 4n+ 10}{(4 + n) (7 - n)}.\] 

		\item On sait que $n$ ne prend que six valeurs entières. Déterminer 
la répartition possible des cinq boules rouges entre les urnes $a$ et $b$ 
donnant la plus grande valeur possible de $p\left(\text{R} \right) $. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textbf{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv~ direct. 

Soit A le point d'affixe i et B le point d'affixe $- \text{i}$. 

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{C}- \left\{\text{i}\right\}$ 
par : 
\[f(z) =\dfrac{1 - \text{i}z}{z - \text{i}}.\] 

\begin{enumerate} 
\item Vérifier que pour tout $z$ de 
$\mathbb{C}- \left\{\text{i}\right\}$ 

\[f\left(z\right) = - \text{i} + \frac{2}{z - \text{i}}.\] 

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que $- \text{i}$ n'a pas d'antécédent par $f$. 
		\item Déterminer les antécédents de $0$ et de i par $f$. 
	\end{enumerate} 
\item À tout point $M$ différent de A, d'affixe $z$, on associe 
le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z' = f(z)$. 

	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que pour tout point $M$ différent de A, le produit 
des longueurs A$M$ et B$M'$ est égal à $2~~ ($A$M \cdot \text{B}M'=2$). 
		\item Démontrer que lorsque $M$ décrit le cercle $C$ de centre A et de rayon $4$, $M'$ se déplace sur un cercle $C'$ dont on 
précisera le centre et le rayon. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer l'ensemble E des points $M(z)$ 
tels que $z - \text{i}$ soit un nombre réel non nul. 
		\item Démontrer que lorsque $M$ décrit E, $M'$ se 
déplace sur une droite $\Delta$ que l'on précisera. 
		\item Lorsque $M$ décrit E, $M'$ décrit-il toute la droite $\Delta$ ? 
	\end{enumerate} 
\item Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels que $f(z)$ soit un imaginaire pur non nul. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textbf{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer le PGCD des nombres 168 et 20. 
		\item Soit l'équation $168x + 20y = 6$ dont les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Cette équation a t-elle des solutions ? 
		\item Soit l'équation $168x + 20y = 4$ dont les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. Cette équation a t-elle des solutions ? 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item 
Déterminer, en utilisant l'algorithme d'Euclide, et en détaillant les 
calculs effectués, deux entiers relatifs $m$ et $p$ tels que $42m + 5p = 1$. 
		\item En déduire deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $42u + 5v = 2$. 
		\item Démontrer que le couple d'entiers relatifs $(x~;~y)$ est solution de  l'équation $42x + 5y = 2$ si, et seulement si $42(x + 4) = 5(34 - y)$. 
		\item Déterminer tous les couples d'entiers $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation $42x + 5y = 2$. 
	\end{enumerate} 
\item Déduire du \textbf{2.} les couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs 
solutions de l'équation

$(42x + 5y - 3)(42x + 5y + 3) = - 5$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textbf{Problème} \hfill 9 points}


\medskip

\emph{Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.}

Le plan est muni d'un repère orthonormal $\mathcal{R} =$ 
\Oij. L'unité graphique est $1$ cm. 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f\left(x\right) =\left(x^{2}- 3x + 1\right) \text{e}^{x}.\]
 
Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère 
$\mathcal{R}$. 

\begin{enumerate} 
\item Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son 
ensemble de définition. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier le sens de variation de $f$ et donner le 
tableau de variation de $f$. 
		\item Tracer $\mathcal{C}$. 
	\end{enumerate} 
\item Soit
 
\[ \text{I}= \int_{-3}^{0} f(x) \, \text{d}x.\] 

	\begin{enumerate} 
		\item Interpréter graphiquement I. 
		\item En utilisant l'intégration par parties, calculer 

\[\int_{-3}^{0} x\text{e}^{x}\:\text{d}x,\] 

puis 

\[ \int_{-3}^{0}x^{2}\text{e}^{x}\:\text{d}x.\] 

		\item En déduire la valeur exacte de I. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\medskip 

\textbf{Partie B} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $a$ et $b$ deux nombres réels et $g$ la fonction 
définie sur $\R$ par 

\[ g\left( x\right) = \text{e}^{\left(x^{2} + ax + b\right)}. \] 

Quelles sont les valeurs de $a$ et de $b$ pour lesquelles le tableau de 
variations de $g$ est celui donné ci-dessous ? 

\[ \begin{array}{l|lllll} 
x & -\infty & & \frac{3}{2} & & + \infty\\\hline 
g'\left( x\right) & & - & 0 & + & \\\hline 
& + \infty & & & & +\infty\\ 
g(x) & & \searrow & & \nearrow & \\ 
& & & \text{e}^{-\frac{5}{4}} & & 
\end{array} \] 

\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[ h\left(x\right) = \text{e}^{\left(x^{2}- 3x + 1\right)} \] 

et $\Gamma$ sa courbe représentative dans le repère $\mathcal{R}$. 

	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que la droite D d'équation $x = \dfrac{3}{2}$ est axe 
de symétrie de $\Gamma$. 
		\item Justifier l'affirmation suivante : \og 3,2 est une valeur approchée à $10^{-1}$ près d'une solution de l'équation $h(x) = 5$ \fg{}. 
		\item Soit $\alpha$ un nombre dont 1,7 est une valeur approchée 
à 0,5 près. Établir que 

\[0,28\leqslant h\left(\alpha\right) \leqslant 0,47. \] 

	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $u$ une fonction dérivable sur $\R$ dont le tableau de 
variation est donné ci-dessous ( $a,~b$ et $c$ étant trois nombres 
réels). 

\[\begin{pspicture}(10,3.6)
\psframe(10,3.6) \psline(2,0)(2,3.6) \psline(0,3)(10,3)
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.3,3){$- \infty$} \uput[u](4,3){$0$} \uput[u](6,3){$a$} \uput[u](8,3){$b$} \uput[u](9.7,3){$+ \infty$}
\uput[u](1,1){$u(x)$}  \uput[d](2.3,3){$+ \infty$} \uput[u](6,0){$c$} \rput(8,1.55){$0$} \uput[d](9.7,3){$+ \infty$}
\psline{->}(2.6,2.7)(5.8,0.4) \psline{->}(6.2,0.4)(9.6,2.6)
\psline[linestyle=dashed](6,3)(6,0.7)  \psline[linestyle=dashed](8,3)(8,1.7)  
\end{pspicture}\]

Soit $v_{1},~v_{2},~v_{3}$ les fonctions définies par : 

\[v_{1}(x) = \text{e}^{u(x) } \qquad v_{2}(x) 
= u\left(\text{e}^{x}\right) \qquad v_{3}(x) = u(x) \text{e}^{x}. \] 

\begin{enumerate} 
\item Déterminer le sens de variation des fonctions $v_{1}$ 
et $v_{2}$ (en justifiant votre réponse). 
\item Indiquer un intervalle sur lequel il est possible de 
donner le sens de variation de la fonction $v_{3}$ (en justifiant votre réponse). 
\end{enumerate}
\end{document}