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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Métropole septembre 2003~\decofourright}}}\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

On considère les points A et $\Omega$ d'affixes respectives : $a = - 1 + \sqrt{3} + \text{i}$\: et \: $\omega  = - 1 + 2\text{i}$.

On appelle \emph{r} la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\dfrac{2\pi }{3}$ et \emph{h} l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $- \dfrac {1}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer sur une figure les points A et $\Omega$, l'image B du point A par \emph{r}, l'image C du point B par \emph{r} et l'image D du point A par \emph{h}.
\item On note \emph{b}, \emph{c} et \emph{d} les affixes respectives des points B, C et D.

Le tableau ci-dessous contient une suite de $18$ affirmations, dont chacune débute dans la première colonne et s'achève sur la même ligne colonne $2$, colonne $3$ ou colonne $4$.

Le candidat doit se prononcer sur chacune de ces affirmations. Pour cela il doit remplir le tableau de la feuille annexe, en faisant figurer dans chacune des cases la mention VRAI ou FAUX (en toutes lettres).
\end{enumerate}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{1.9}
\begin{tabularx}{\linewidth}{c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2- 5}
1.&$|\emph{a} - \omega| =$& $2$ &  $4$ &  $\sqrt{3} - \text{i}$ \\ \cline{2- 5}
2.&$\arg (a - \omega) = $&$- \dfrac{5\pi}{6}$&$\dfrac{47\pi}{6}$&$\dfrac{\pi}{6}$
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \cline{2- 5}
\end{tabularx}\\[0.5cm]

\begin{tabularx}{\linewidth}{c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2- 5}
3.& $(\vect{v},\,\vect{\Omega \mathrm{C}}) =$ &$\arg((\omega - c)\text{i})$  &  $(- \vect{v},\,\vect{\mathrm{C}\Omega})$&  $\dfrac{2\pi }{3}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}  \\ \cline{2-5}
4.&$\omega$ = & $\dfrac{1}{3}(a+b+c)$ & $a+b+c$&$b - 2\text{i}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \cline{2-5}
\end{tabularx}\\[0.5cm]

\begin{tabularx}{\linewidth}{c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2- 5}
5.& $\dfrac{b - d}{a - d}$ = &  $\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$&  $- \dfrac{\sqrt{3}}{3}i$ & $\dfrac{\sqrt{3}}{3}i$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\
\cline{2-5}
6.&Le point D est &\footnotesize l'image de $\Omega$ par la translation de vecteur $\dfrac{1}{2} \vect{\mathrm{A}\Omega}$.&\footnotesize l'image de $\Omega$ par l'homothétie de centre A et de rapport $\dfrac{3}{2}$&\footnotesize l'image de $\Omega$ par la rotation de centre B et d'angle $-\dfrac{\pi}{6}$\\ \cline{2-5}
\end{tabularx}\\[0.2cm]

\b igskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un commerce possède un rayon \og journaux \fg{} et un rayon \og souvenirs \fg.

À la fin d'une journée, on trie les pièces de monnaie contenues dans les caisses de chaque rayon.
On constate que la caisse du rayon \og journaux \fg{} contient trois fois plus de pièces de $1$~\euro{} que celle du rayon \og~souvenirs \fg.

Les pièces ont toutes le côté pile identique, mais le côté face diffère et symbolise un des pays utilisant la monnaie unique.

Ainsi, $40\,\%$ des pièces de $1$~\euro{} dans la caisse du rayon \og souvenirs \fg{} et $8\,\%$ de celles du rayon \og journaux \fg{} portent une face symbolisant un pays autre que la France (on dira \og face étrangère \fg).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le propriétaire du magasin, collectionneur de monnaies, recherche les pièces portant une face étrangère.

Pour cela il prélève au hasard et avec remise $20$ pièces issues de la caisse \og souvenirs \fg. On note $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque prélèvement le nombre de pièces portant une face étrangère.
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale ; déterminer les paramètres de cette loi.
		\item Calculer la probabilité qu'exactement $5$ pièces parmi les $20$ portent une face étrangère.
		\item Calculer la probabilité qu'au moins $2$ pièces parmi les $20$ portent une face étrangère.
	\end{enumerate}
\item Les pièces de $1$\euro{} issues des deux caisses sont maintenant rassemblées dans un sac.

On prélève au hasard une pièce du sac.

On note $S$ l'évènement : \og la pièce provient de la caisse \og souvenirs \fg{} et $E$ l'évènement \og la pièce porte une face étrangère \fg.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $P(S)$, $P_\mathrm{S}(E)$ ; en déduire $P(S \cap E)$.
		\item Démontrer que la probabilité que la pièce porte une face étrangère est égale à $0,16$.
		\item Sachant que cette pièce porte une face étrangère, déterminer la probabilité qu'elle provienne de la caisse \og souvenirs \fg.
	\end{enumerate}
\item Dans la suite, la probabilité qu'une pièce choisie au hasard dans le sac porte une face étrangère est égale à $0,16$.

Le collectionneur prélève \emph{n} pièces (\emph{n} entier supérieur ou égal à $2$) du sac au hasard et avec remise.

Calculer \emph{n} pour que la probabilité qu'il obtienne au moins une pièce portant une face étrangère soit supérieure ou égale à $0,9$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\begin{center}
\textbf{Partie A : Une équation différentielle}
\end{center}

On considère l'équation différentielle

\[\mathrm{(E)}\quad y' - 3y = \dfrac{-3\text{e}}{(1 + \text{e}^{-3x})^2}.\]

On donne une fonction $\varphi $ dérivable sur $\R$ et la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \text{e}^{-3x} \varphi(x).\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$, exprimer $\varphi\,'(x) - 3 \varphi (x)$ en fonction de $f'(x)$.
\item Déterminer $f$ de sorte que $\varphi $ soit solution de (E) sur $\R$ et vérifie $\varphi(0) = \dfrac{\text{e}}{2}$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B : Étude d'une fonction}
\end{center}

\smallskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^{1 - 3x}}{1 + \text{e}^{-3x}}.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique $2$ cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty $ et en $+ \infty $, puis étudier les variations de $f$.
\item Tracer $\mathcal{C}$.
\item Pour $\alpha $ réel non nul, on pose I$_\alpha = \displaystyle \int_0^\alpha f(x)\mathrm{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner le signe et une interprétation graphique de I$_\alpha$ en fonction de $\alpha$.
		\item Exprimer I$_\alpha$ en fonction de $\alpha$.
		\item Déterminer la limite de $I_\alpha$ lorsque $\alpha$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie C}
\end{center}

On définit sur $\N^{*}$ la suite $\left(u_n\right)$ par :

\begin{center}
$u_n = \displaystyle \int_0^\alpha f(x) \text{e}^{\frac{x}{n}}\mathrm{d}x$ où $f$ est la fonction définie dans la \textbf{partie B}.
\end{center}

On ne cherchera pas à calculer $u_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner, pour tout $n$ de $\N^{*}$, le signe de $u_n$.
		\item Donner le sens de variation de la suite $(u_n)$.
		\item La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $n$ de $\N^{*}$ :

\[\textrm{I}_1 \leqslant u_n \leqslant \text{e}^{\frac{1}{n}} \textrm{I}_1\]

où I$_1$ est l'intégrale de la \textbf{partie B} obtenue pour $\alpha$ égal à $1$.
		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
		
Donner sa valeur exacte.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}