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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole La Réunion}}
\rfoot{\small septembre 2006}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole septembre 2006~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\begin{center}
\textbf{Commun à tous les candidats}
\end{center}

\emph{La scène se passe en haut d'une falaise au bord de la mer. Pour trouver une plage et aller se baigner, les touristes ne peuvent choisir qu'entre deux plages, l'une à l'Est et l'autre à l'Ouest.}

\medskip

\textbf{ A -} Un touriste se retrouve deux jours consécutifs en haut de la falaise. Le premier jour, il choisit au hasard l'une des deux directions. Le second jour, on admet que la probabilité qu'il choisisse une direction opposée à celle prise la veille vaut 0,8.

Pour $i = 1$ ou $i = 2$, on note $E_{i}$ l'évènement : \og Le touriste se dirige vers l'Est le $i$-ème jour\fg~  et $O_{i}$ l'évènement : \og Le touriste se dirige vers l'Ouest le $i$-ème jour \fg. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dresser un arbre de probabilités décrivant la situation.

\item Déterminer les probabilités suivantes : $p\left(E_{1}\right)$ ; $p_{E_{1}}\left(O_{2}\right)$ ; $p\left(E_{1}\cap E_{2}\right)$.

\item Calculer la probabilité que ce touriste se rende sur la même plage les deux jours consécutifs.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B -} On suppose maintenant que $n$ touristes ($n \geqslant  3$) se retrouvent un jour en haut de la falaise. Ces $n$ touristes veulent tous se baigner et chacun d'eux choisit au hasard et indépendamment des autres l'une des deux directions.

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de ces touristes qui choisissent la plage à l'Est.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que $k$ touristes ($0\leqslant k\leqslant n$) partent en direction de l'Est.

\item On suppose ici que les deux plages considérées sont désertes au départ. On dit qu'un touriste est \emph{heureux} s'il se retrouve seul sur une plage.
	\begin{enumerate}
		\item Peut-il y avoir deux touristes heureux ?

		\item Démontrer que la probabilité (notée $p$) qu'il y ait un touriste \emph{heureux} parmi ces $n$ touristes vaut : $p=\dfrac{n}{2^{n-1}}$.

		\item \textbf{Application numérique :}
		
Lorsque le groupe comprend 10 personnes, exprimer la probabilité, arrondie au centième, qu'il y ait un touriste heureux parmi les 10.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\begin{center}
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}
\end{center}

\medskip

Dans le plan complexe muni du repère orthonormal \Ouv, on considère les points $M$ et $M'$ d'affixes respectives $z$ et $z'$. On pose $z = x + \mathrm{i}y$ et $z' = x' + \mathrm{i}y'$, où $x,~x',~y,~y'$ sont des nombres réels.

On rappelle que $\overline{z}$ désigne le conjugué de $z$ et que $|z|$ désigne le module de $z$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les vecteurs $\vect{\text{O}M}$ et $\vect{\text{O}M'}$ sont orthogonaux si et seulement si Re($z'\overline{z}) = 0$.

\item Montrer que les points O, $M$ et $M'$ sont alignés si et seulement si lm($z'\overline{z}) = 0$.\

\textbf{Applications}

\medskip

\item $N$ est le point d'affixe $z^2-1$. Quel est l'ensemble des points $M$ tels que les vecteurs $\vect{\text{O}M}$ et $\vect{\text{O}N}$ soient orthogonaux ?

\item On suppose $z$ non nul. $P$ est le point d' affixe $\dfrac{1}{z^2}-1$.

On recherche l'ensemble des points $M$ d'affixe z tels que les points O, $N$ et $P$ soient alignés.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(\dfrac{1}{z^2}-1\right)\left(\overline{z^2-1}\right)=-\overline{z}^2\left|\dfrac{1}{z^2}-1\right|^2$.
		\item En utilisant l'équivalence démontrée au début de l'exercice, conclure sur l'ensemble recherché.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
\begin{center}
\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation 

\[(\mathcal{E})\quad: \quad  17x - 24y = 9,\]

où $(x,~y)$ est un couple d'entiers relatifs.

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le couple $(9~;~ 6)$ est solution de l'équation $(\mathcal{E})$.
		\item Résoudre l'équation $(\mathcal{E})$.
	\end{enumerate}
\item Dans une fête foraine, Jean  s'installe dans un un manège circulaire représenté par le schéma de l'annexe 2. Il peut s'installer sur l'un des huit points indiqués sur le cercle.

Le manège comporte un jeu qui consiste à attraper un pompon qui, se déplace sur un câble formant un carré dans lequel est inscrit le cercle. Le manège tourne dans le sens des aiguilles d'une montre,  à vitesse constante. Il fait un tour à vitesse constante. Il fait un tour en 24 secondes. Le pompon se déplace dans le même sens à vitesse constante.  Il fait un tour en 17 secondes.

Pour gagner, Jean doit attraper le pompon,   et il ne peut le faire qu'aux points de contact  qui sont notés A, B, C et D sur le dessin.

À l'instant $t = 0$, Jean part du point H en même temps que le pompon part du point A.

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item  On suppose qu'à un certain instant $t$ Jean attrape le pompon en A. Jean a déjà pu passer un certain nombre de fois en A sans y trouver  le pompon. À l'instant $t$, on note $y$ le nombre de tours effectués depuis son premier passage en  A et $x$  le nombre de tours effectués par le  pompon. Montrer que $(x,~y)$ est solution de l'équation $(\mathcal{E})$ de la question 1.
		\item Jean a payé pour 2 minutes ; aura-t-il le temps d'attraper le pompon ?
		\item Montrer, qu'en fait, il n'est possible d'attraper le pompon qu'au point A.
		\item Jean part maintenant du  point E. Aura-t-il le temps d'attraper le pompon en A avant les deux minutes ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\begin{center}
\textbf{Commun à tous les candidats}
\end{center}

Dans tout l'exercice, $\lambda$ désigne un nombre réel de l'intervalle $]0~;~1]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On se propose d'étudier les fonctions dérivables sur $\left]-\infty~;~\dfrac{1}{2}\right[$ vérifiant l'équation différentielle (E$_{\lambda}$) : $y' = y^2 + \lambda y$ et la condition $y(0) = 1$.

On suppose qu'il existe une solution $y_{0}$ de (E$_{\lambda}$) strictement positive sur 

$\left]-\infty~;~\dfrac{1}{2}\right[$ et on pose sur $\left]-\infty~;~\dfrac{1}{2}\right[$ : $z=\dfrac{1}{y_{0}}$

Écrire une équation différentielle simple satisfaite par la fonction $z$.

\item \textbf{Question de cours}

\medskip

\textsc{Pré-requis}

\medskip

Les solutions de l'équation différentielle $y' = -\lambda y$ sont les fonctions 

$x\mapsto C\mathrm{e}^{-\lambda x}$ où $C$ est une constante réelle.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer l'existence et l'unicité de la solution $z$ de l'équation différentielle (E'$_{\lambda}$) : $z'=-(\lambda z+ 1)$ telle que $z(0) = 1$.
\item Donner l'expression de cette fonction que l'on notera $z_{0}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\emph{On veut maintenant montrer que la fonction $z_{0}$ ne s'annule pas sur l'intervalle $\left]-\infty~;~\dfrac{1}{2}\right[$.}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\ln (1 +\lambda) >\dfrac{\lambda}{\lambda +1}$.

\emph{On pourra étudier sur $]0~;~1]$ la fonction f définie par f$(x) =\ln (1 + x) -\dfrac{x}{x + 1}$.}
		\item En déduire que $\dfrac{1}{\lambda}\ln(1+\lambda)>\dfrac{1}{2}$.
	\end{enumerate}
\item En déduire que la fonction $z_{0}$ ne s'annule pas sur $\left]-\infty~;~\dfrac{1}{2}\right[$ .

Démontrer alors que (E$_{\lambda}$) admet une solution strictement positive sur $\left]-\infty~;~\dfrac{1}{2}\right[$ que l'on précisera.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\begin{center}
\textbf{Commun à tous les candidats}
\end{center}

On considère dans l'espace un cube de 3 cm de côté, noté ABCDEFGH et représenté sur l'annexe.

Soit I le barycentre des points pondérés (E ; 2) et (F ; 1), J celui de (F ; 1) et (B ; 2) et enfin K celui de (G ; 2) et (C ; 1).

\medskip

\emph{On veut déterminer l'ensemble des points $M$ équidistants de} I,  J \emph{et} K. \emph{On note }$\Delta$ \emph{cet ensemble.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points l, J et K sur la figure de \textbf{l'annexe qui sera rendue avec la copie.}
\item Soit $\Omega$ le point de $\Delta$ situé dans le plan (IJK). Que représente ce point pour le triangle IJK ?

\medskip

\emph{Pour la suite de l'exercice, on se place maintenant dans le repère orthonormal suivant :}

$\left(\text{A}~;~\dfrac{1}{3}\vect{\text{AD}}~;~\dfrac{1}{3}\vect{\text{AB}}~;~\dfrac{1}{3}\vect{\text{AE}}\right)$.
\item Donner les coordonnées des points I, J et K.
\item Soit P(2~;~0~;~0) et Q(1~;~3~;~3) deux points que l'on placera sur la figure. Démontrer que la droite (PQ) est orthogonale au plan (IJK).
\item Soit $M$ un point de l'espace de coordonnées $(x~;~y~;~z)$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $M$ appartient à $\Delta$ si, et seulement si, le triplet $(x~;~y~;~z)$ est solution d'un système de deux équations linéaires que l'on écrira. Quelle est la nature de $\Delta$ ?
		\item Vérifier que P et Q appartiennent à $\Delta$. Tracer $\Delta$ sur la figure.
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un vecteur normal au plan (IJK) et en déduire une équation cartésienne de ce plan.
		\item Déterminer alors les coordonnées exactes de $\Omega$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1}\end{center}
\begin{center}
\vspace{1cm}\textbf{À RENDRE AGRAFÉE À LA COPIE}

\end{center}
\vspace{2cm}
Figure de l'exercice 4

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-3)(8.5,9)
\uput[dl](0,0){A}\uput[d](3,-2){D}\uput[dr](8,-1){C}\uput[r](5,1.1){B}
\uput[dl](0.5,5.2){E}\uput[u](3.5,3){H}\uput[dr](8.5,4){G}\uput[r](5.4,6.2){F}
\psline(0,0)(3,-2)
\psline(3,-2)(8,-1)
\psline[linestyle=dashed](8,-1)(5,1)
\psline[linestyle=dashed](5,1)
\psline(0.5,5)(3.5,3)
\psline(3.5,3)(8.5,4)
\psline(8.5,4)(5.5,6)
\psline(5.5,6)(0.5,5)
\psline(0.5,5)(0,0)
\psline(3.5,3)(3,-2)
\psline(8.5,4)(8,-1)
\psline[linestyle=dashed](5.5,6)(5,1)

\end{pspicture}

\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2}


\vspace{2cm}
Schéma de l'exercice 2
\vspace{2cm}

\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\psframe(-5,-5)(5,5)
\psline(-5,-5)(5,5) \psline(-5,5)(5,-5) 
\pscircle(0,0){5}
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(-4,5)(-3.8,5)
\psline[linewidth=2.5pt]{->}(4,5)(4.2,5)
\psarc[linewidth=2.5pt]{<-}(0,0){5}{205}{208}
\uput[r](-3.5,3.5){E}  \uput[u](0,5){A}  \uput[l](3.5,3.5){F}  \uput[l](-5,0){D}  
\uput[r](5,0){B}  \uput[r](-3.5,-3.5){H}  \uput[l](3.5,-3.5){G}  \uput[d](0,-5){C}  
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}