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% Tapuscrit Denis Vergès
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\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 12 septembre 2013}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Métropole 12 septembre 2013~\decofourright}}

 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère \Oij.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté la courbe $\mathcal{C}$ et trois autres courbes $\mathcal{C}_{1}$, $\mathcal{C}_{2}$, $\mathcal{C}_{3}$ avec la tangente en leur point d'abscisse $0$. 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-7.5,-1)(2,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-7.5,-1)(2,4.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(1,1)
\multido{\n=-7+1}{10}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-1+1}{6}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-7.5}{1.2}{x 2 add 2.71828 x 2 div exp mul}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[r](1,4.3){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}

\vspace{0.5cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3.5)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-3.5)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(1,1)
\multido{\n=-7+1}{10}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-1+1}{6}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{1.2}{ x 2 mul  2.71828 x 2 div exp mul 2 sub}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[r](1.4,0.8){$d_{1}$}
\uput[u](-2,-3.3){$\mathcal{C}_{1}$}
\psplot[linestyle=dashed]{-1}{1.5}{2 x mul 2 sub}
\end{pspicture*}&\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-3,-3.5)(1.8,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-3.5)(1.8,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(1,1)
\multido{\n=-7+1}{10}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-3+1}{6}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[r](0.9,1){$d_{2}$}
\uput[u](-2,-1.2){$\mathcal{C}_{2}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-3}{1}{4 x mul 2 sub 2.71828 x  exp mul}
\psplot[linestyle=dashed]{-1}{1.5}{2 x mul 2 sub}
\end{pspicture*}&\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture*}(-3,-2.5)(1.8,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-2.5)(1.8,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(1,1)
\multido{\n=-7+1}{10}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-3+1}{6}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[r](1.3,1){$d_{3}$}
\uput[u](1,1.2){$\mathcal{C}_{3}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-3}{0.9}{3.5 x mul 2 sub 2.71828 x  exp mul 0.5 add}
\psplot[linestyle=dashed]{-1}{1.5}{1.5 x mul 1.5 sub}
\end{pspicture*}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\index{lecture graphique}

\begin{enumerate}
\item Donner par lecture graphique, le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$. 
\item On désigne par $F$ une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.\index{primitive}
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la courbe $\mathcal{C}$, déterminer $F'(0)$ et $F'(- 2)$. 
		\item L'une des courbes $\mathcal{C}_{1}$, $\mathcal{C}_{2}$, $\mathcal{C}_{3}$ est la courbe représentative de la fonction $F$. 

Déterminer laquelle en justifiant l'élimination des deux autres.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on admet que la fonction $f$ évoquée dans la \textbf{partie A} est la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (x + 2) \text{e}^{\frac{1}{2}x}.\]

\begin{enumerate}
\item L'observation de la courbe $\mathcal{C}$ permet de conjecturer que la fonction $f$ admet un minimum. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x,\: f'(x) = \dfrac{1}{2}(x + 4)\text{e}^{\frac{1}{2}x}$. 
		\item En déduire une validation de la conjecture précédente.
	\end{enumerate} 
\item On pose $I =  \displaystyle\int_{0}^1  f(x)\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter géométriquement le réel $I$.  
		\item Soient $u$ et $v$ les fonctions définies sur $\R$ par $u(x) = x$ et $v(x) = \text{e}^{\dfrac{1}{2}x}$.
		 
Vérifier que $f = 2\left(u'v + uv'\right)$. 
		\item En déduire la valeur exacte de l'intégrale $I$.
	\end{enumerate} 
\item On donne l'algorithme ci-dessous.

\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
Variables: 	&$k$ et $n$ sont des nombres entiers naturels.\\ 
			&$s$ est un nombre réel.\\ 
Entrée : 	&Demander à l'utilisateur la valeur de $n$.\\ 
Initialisation :& Affecter à $s$ la valeur $0$.\\ 
Traitement :& 	Pour $k$ allant de $0$ à $n - 1$\\ 
	& \hspace{0,5cm}| Affecter à $s$ la valeur $s + \dfrac{1}{n}f\left(\dfrac{k}{n}\right)$.\\ 
	&Fin de boucle.\\ 
Sortie :& 	Afficher $s$.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
On note $s_{n}$ le nombre affiché par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre un entier naturel strictement positif comme valeur de $n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $s_{3}$ représente l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectangles ont la même largeur.
		
\begin{center}
\psset{xunit=4cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.2)(1.5,1.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(-0.5,-0.2)(1.5,1.25)
\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0,0.5)(0.333,0.65)(0.666,0.9)(1,1.15)
\psframe[fillstyle=vlines](0,0)(0.333,0.5)
\psframe[fillstyle=vlines](0.333,0)(0.666,0.65)
\psframe[fillstyle=vlines](0.666,0)(1,0.9)
\psline[linestyle=dashed](1,0.9)(1,1.15)
\uput[l](0,0.25){1}
\uput[ul](0.333,0.65){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}		 
		\item Que dire de la valeur de $s_{n}$ fournie par l'algorithme proposé lorsque $n$ devient grand ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.}

\medskip
 
Pour chaque question, trois réponses sont proposées et une seule d'entre elles est exacte.
 
\textbf{Le candidat portera sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie et justifiera son choix.}

\medskip
 
li est attribué un point par réponse correcte et convenablement justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.

\index{géométrie dans l'espace}

\medskip
 
Pour les questions 1 et 2, l'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. 
 
 ,  
La droite $\mathcal{D}$ est définie par la représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x	&=	&5 - 2t\\
y	&=	& 1 + 3t\\
z	&=	&4
\end{array}\right.,\: t \in \R.$\index{equation paramétrique@équation paramétrique}

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item On note $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne $3x + 2y + z - 6 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item La droite $\mathcal{D}$ est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$. 
		\item La droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$. 
		\item La droite $\mathcal{D}$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
	\end{enumerate} 
\item On note $\mathcal{D}'$ la droite qui passe par le point A de coordonnées $(3~;~1~;~1)$ et a pour vecteur directeur $\vect{u} = 2\vect{i} - \vect{j} + 2\vect{k}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont parallèles. 
		\item Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont sécantes. 
		\item Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ ne sont pas coplanaires.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	 
Pour les questions 3 et 4, le plan est muni d'un repère orthonormé direct d'origine O.

\medskip

\begin{enumerate}[resume] 
\item Soit $\mathcal{E}$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z + \text{i}| = |z - \text{i}|$.
	\begin{enumerate}
		\item $\mathcal{E}$ est l'axe des abscisses. 
		\item $\mathcal{E}$ est l'axe des ordonnées. 
		\item $\mathcal{E}$ est le cercle ayant pour centre O et pour rayon 1.
	\end{enumerate} 
\item On désigne par B et C deux points du plan dont les affixes respectives $b$ et $c$ vérifient l'égalité 

$\dfrac{c}{b} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\dfrac{\pi}{4}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Le triangle OBC est isocèle en O. 
		\item Les points O, B, C sont alignés. 
		\item Le triangle OBC est isocèle et rectangle en B.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Dans une usine, on utilise deux machines A et B pour fabriquer des pièces. 


\medskip

\begin{enumerate}
\item La machine A assure 40\,\% de la production et la machine B en assure 60\,\%.
 
On estime que 10\,\% des pièces issues de la machine A ont un défaut et que 9\,\% des pièces issues de la machine B ont un défaut.
 
On choisit une pièce au hasard et on considère les évènements suivants : 

\index{probabilité}

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $A$ : \og La pièce est produite par la machine A \fg
\item $B$ : \og La pièce est produite par la machine B \fg
\item $D$ : \og La pièce a un défaut \fg.
\item $\overline{D}$,  l'évènement contraire de l'évènement $D$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire la situation à l'aide d'un arbre pondéré. 
		\item Calculer la probabilité que la pièce choisie présente un défaut et ait été fabriquée par la machine A. 
		\item Démontrer que la probabilité $P(D)$ de l'évènement $D$ est égale à $0,094$. 
		\item On constate que la pièce choisie a un défaut.
		 
Quelle est la probabilité que cette pièce provienne de la machine A ?
	\end{enumerate} 
\item On estime que la machine A est convenablement réglée si 90\,\% des pièces qu'elle fabrique sont conformes.
 
On décide de contrôler cette machine en examinant $n$ pièces choisies au hasard ($n$ entier naturel) dans la production de la machine A. On assimile ces $n$ tirages à des tirages successifs indépendants et avec remise.
 
On note $X_{n}$ le nombre de pièces qui sont conformes dans l'échantillon de $n$ pièces, et  $F_{n} = \dfrac{X_{n}}{n}$ la proportion correspondante.
\index{loi binomiale}
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $X_{n}$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. 
		\item Dans cette question, on prend $n = 150$.
		 
Déterminer l'intervalle de \index{fluctuation asymptotique}fluctuation asymptotique $I$ au seuil de 95\,\% de la variable aléatoire $F_{150}$. 
		\item Un test qualité permet de dénombrer $21$ pièces non conformes sur un échantillon de $150$ pièces produites.
		 
Cela remet-il en cause le réglage de la machine ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\index{suite}
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par : 

\[u_{0} = 2\quad  \text{et pour tout entier naturel } n,\: u_{n+1} = \dfrac{u_{n}+ 2}{2u_{n} + 1}.\] 

On admet que pour tout entier naturel $n, u_{n} > 0$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}$. On pourra en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près. 
		\item Vérifier que si $n$ est l'un des entiers 0, 1, 2, 3, 4 alors $u_{n} - 1$ a le même signe que $(- 1)^n$. 
		\item Établir que pour tout entier naturel $n, u_{n+ 1} - 1 = \dfrac{- u_{n} + 1}{ 2u_{n} + 1}$. 
		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n, \:u_{n} - 1$ a le même signe que $(- 1)^n$	
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Établir que pour tout entier naturel $n, 
 v_{n+1} = \dfrac{- u_{n} + 1}{3u_{n} + 3}$. 
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$.
		
En déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item On admet que pour tout entier naturel $n, u_{n} =  \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$.
		  
Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre}

\medskip
 
Dans un village imaginaire isolé, une nouvelle maladie contagieuse mais non mortelle a fait son apparition.
 
Rapidement les scientifiques ont découvert qu'un individu pouvait être dans l'un des trois états suivants :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{description}
\item[ ] $S$ : \og l'individu est sain, c'est-à-dire non malade et non infecté \fg, 
\item[ ] $I$ : \og l'individu est porteur sain, c'est-à-dire non malade mais infecté \fg, 
\item[ ] $M$ : \og l'individu est malade et infecté \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm} 

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

\index{graphe}

Les scientifiques estiment qu'un seul individu est à l'origine de la maladie sur les $100$~personnes que compte la population et que, d'une semaine à la suivante, un individu change d'état suivant le processus suivant :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item parmi les individus sains, la proportion de ceux qui deviennent porteurs sains est égale à $\dfrac{1}{3}$ et la proportion de ceux qui deviennent malades est égale à $\dfrac{1}{3}$, 
\item parmi les individus porteurs sains, la proportion de ceux qui deviennent malades est égale à $\dfrac{1}{2}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
La situation peut être représentée par un \index{graphe} graphe probabiliste comme ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,4)
%\psgrid
\cnodeput(3,3){S}{$S$}
\cnodeput(1,1){I}{$I$}
\cnodeput(5,1){M}{$M$}
\nccircle{->}{S}{0.4cm}
\nccircle[angleA=-180]{<-}{I}{0.4cm}
\nccircle[angleA=-180]{->}{M}{0.4cm}
\ncarc{<-}{I}{S}\rput(1.55,2.2){$\dfrac{1}{3}$}
\ncarc{->}{S}{M}\rput(4.45,2.2){$\dfrac{1}{3}$}
\ncarc{->}{I}{M}\rput(3,0.7){$\dfrac{1}{2}$}
\rput(3.8,3.4){$\dfrac{1}{3}$}\rput(5.6,0.4){1} \rput(0.4,0.4){$\dfrac{1}{2}$}
\end{pspicture}
\end{center}
 
On note $P_{n} = \left(s_{n}\quad i_{n}\quad m_{n}\right)$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste au bout de $n$ semaines où $s_{n}, i_{n}$ et $m_{n}$désignent respectivement la probabilité que l'individu soit sain, porteur sain ou malade la $n$-ième semaine. 

On a alors $P_{0} = (0,99\quad 0\quad 0,01)$ et pour tout entier naturel $n$, 

\[\renewcommand\arraystretch{1.7}
\left\{\begin{array}{l c l}
s_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}s_{n}\\
i_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}s_{n} + \dfrac{1}{2}i_{n}\\
m_{n+1}&=&\dfrac{1}{3}s_{n} + \dfrac{1}{2}i_{n} + m_{n}
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item Écrire la matrice $A$ appelée \emph{matrice de transition}, telle que pour tout entier naturel $n,\:$

$P_{n+1} = P_{n} \times A$.
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ non nul, 
$P_{n} = P_{0} \times A^n$.
\item Déterminer l'état probabiliste $P_{4}$ au bout de quatre semaines. On pourra arrondir les valeurs à $10^{- 2}$.
 
Quelle est la probabilité qu'un individu soit sain au bout de quatre semaines ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La maladie n'évolue en réalité pas selon le modèle précédent puisqu'au bout de 4 semaines de recherche, les scientifiques découvrent un vaccin qui permet d'enrayer l'endémie et traitent immédiatement l'ensemble de la population.
 
L'évolution hebdomadaire de la maladie après vaccination est donnée par la matrice de transition : 

\renewcommand\arraystretch{1.7}
\[B = \begin{pmatrix}\dfrac{5}{12}&\dfrac{1}{4} &\dfrac{1}{3}\\
\dfrac{5}{12}&\dfrac{1}{4} &\dfrac{1}{3}\\
\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3}
\end{pmatrix}.\]
\renewcommand\arraystretch{1}
On note $Q_{n}$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste au bout de $n$ semaines après la mise en place de ces nouvelles mesures de vaccination. Ainsi, $Q_{n} = \left(S_{n}\quad I_{n}\quad M_{n}\right)$ où $S_{n},\: I_{n}$ et $M_{n}$ désignent respectivement la  probabilité que l'individu soit sain, porteur sain et malade la $n$-ième semaine après la vaccination. 

Pour tout  entier naturel $n$, on a alors $Q_{n+1}  = Q_{n} \times B$.

D'après la partie A, $Q_{0}  = P_{4}$. Pour la suite, on prend $Q_{0} = (0,01\quad  0,10\quad 0,89)$ où les coefficients ont été 
arrondis à $10^{–2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Exprimer $S_{n+1}, I_{n+1}$ et $M_{n+1}$ en fonction de $S_{n},\: I_{n}$ et $M_{n}$.
\item Déterminer la constante réelle $k$ telle que $B^2  = kJ$ où $J$ est la matrice carrée d'ordre 3 dont tous les coefficients sont égaux à 1.
 
On en déduit que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2,  $B^n  = B^2$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2, $Q_{n} = \left(\dfrac{1}{3}\quad \dfrac{1}{3}\quad 
\dfrac{1}{3}\right)$. 
		\item Interpréter ce résultat en terme d'évolution de la maladie. 
		
Peut-on espérer éradiquer la maladie grâce au vaccin ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 \end{document}