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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small septembre 2004}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{Baccalauréat S Métropole septembre 2004}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\emph{L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.\\
Du papier millimétré est mis  à la disposition des candidats.\\
Le sujet est composé de $4$ exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un  résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions  suivantes,  à condition de l'indiquer clairement sur la copie.}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$ par : 

\[g(x) = \dfrac{1}{x\left(x^2 -1\right)}.\]

	\begin{enumerate}
		 \item Déterminer les nombres réels $a,~ b$ et $c$ tels que l'on    ait, pour tout $x  > 1$ :
    
\[g(x) = \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x+1} + \dfrac{c}
{x - 1}.\]

		\item Trouver une primitive $G$ de $g$ sur l'intervalle $]1~;~ + \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]1~;~ + \infty[$ 
par : 

\[f(x) = \dfrac{2x}{\left(x^2 - 1\right)^2}.\]

Trouver une primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle $]1~;~+ \infty[$.
\item En utilisant les résultats obtenus précédemment, calculer : 

\[I = \displaystyle\int_{2}^3  \dfrac{2x}{\left(x^2 - 1\right)^2} \ln 
x \:\text{d}x.\]

On donnera le résultat exact sous la forme $p \ln 2 +   q \ln 3$, 
avec $p$ et $q$ rationnels.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\emph{L'exercice comporte une annexe,  à rendre avec la 
copie.}

Le but de ce problème est d'étudier, pour $x$ et $y$ éléments 
distincts de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, les
couples solutions de l'équation $x^y = y^x$ (E) et, en particulier, les 
couples constitués d'entiers.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation (E) est équivalente  à 
$\dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{\ln y}{y}$.
\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par 

\[h(x) = \dfrac{\ln x}{x}.\] 

La courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $h$ est donnée en annexe ; $x_{0}$ est l'abscisse du maximum de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
	\begin{enumerate}
		 \item Rappeler la limite de la fonction $h$ en 
$+\infty$ et déterminer la limite de la fonction $h$ en $0$.
		\item Calculer $h'(x)$, où $h'$ désigne la fonction dérivée de la  fonction $h$ ; retrouver les variations de la fonction $h$.

Déterminer les valeurs exactes de $x_{0}$ et de $h(x_{0})$.
		\item Déterminer l'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
	\end{enumerate}
\item Soit $\lambda$ un élément de l'intervalle 
$\left]0~;~\dfrac{1}{\text{e}}\right[$.

Prouver l'existence d'un unique nombre réel $a$ de l'intervalle ]1 ; e[
et d'un unique nombre réel $b$ de l'intervalle $]\text{e}~ ;~ + 
\infty[$ tels que $h(a) =  h(b) = \lambda$.

Ainsi le couple $(a,~b)$ est solution de (E).
\item On considère la fonction $s$ qui,  à tout nombre réel $a$ de 
l'intervalle [1~;~e[, associe l'unique nombre réel $b$ de l'intervalle  $]\text{e}~;~+ \infty[$ tel que $h(a) = h(b)$ (on ne cherchera pas  à exprimer $s(a)$ en fonction de $a$).

Par lecture graphique uniquement et sans justification, répondre 
aux questions suivantes
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la limite de $s$ quand $a$ tend vers 1 par valeurs  supérieures ?
		\item Quelle est la limite de $s$ quand $a$ tend vers e par valeurs inférieures ?
		\item Déterminer les variations de la fonction $s$. Dresser le tableau  de variations de $s$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer les couples d'entiers distincts solutions de (E).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Un récipient contient un gaz constitué de deux sortes de 
particules : $75\,\%$ de particules A et $25\,\%$ de particules B.

Les particules sont projetées sur une cible formée de deux 
compartiments KI et K2.

L'expérience est modélisée de la façon suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  une particule au hasard parmi les particules de type A entre 
dans K1 avec la probabilité $\dfrac{1}{3}$ et dans K2 avec la probabilité
$\dfrac{2}{3}$ ;
\item  une particule au hasard parmi les particules de type B entre 
dans chacun des compartiments avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit une particule au hasard.
    
Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :

A1 : \og la particule isolée est de type A et elle entre dans K1 \fg,

A2 : \og la particule isolée est de type A et elle entre dans K2 \fg,

B1 : \og la particule isolée est de type B et elle entre dans K1 \fg,

B2 : \og la particule isolée est de type B et elle entre dans K2 \fg,

C1 : \og la particule entre dans K1 \fg,

C2 : \og la particule entre dans K2 \fg.

\item On procède cinq fois de suite et de façon indépendante  à 
l'épreuve décrite en introduction.

Le nombre de particules étant très grand, on admettra que les 
proportions $75\,\%$ et $25\,\%$ restent constantes.

Calculer la probabilité de l'évènement E suivant : \og il y a 
exactement deux particules dans K2 \fg.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un récipient contient le gaz décrit précédemment. Les particules A 
sont radioactives et se transforment spontanément en particules B ; chaque 
particule A  donne en se transformant une particule B.

On note $p(t)$ la proportion de particules A dans le gaz. Ainsi,  à 
l'instant $t = 0$, on a $p(0) = 0,75$.

Plus généralement, si $t$ est exprimé en années, on a $p(t) = 0,75 
\text{e}^{- \lambda t}$, où $\lambda$ est une constante réelle.

La demi-vie \footnote{temps au bout duquel le nombre de particules restantes est la moitié du nombre initial.} des particules de type A est égale  à \np{5730}~ans.
	\begin{enumerate}
		 \item  Calculer $\lambda$ ; on prendra une valeur approchée    décimale  à $10^{-5}$ près par défaut.
		\item Au bout de combien d'années $10\,\%$ des particules de type A se seront-elles transformées en particules de type B ?
		\item Déterminer la valeur de $t$ pour laquelle il y aura autant de particules de type A que de particules de type B (on arrondira  à l'unité). 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de 
spécialité}

\medskip

Le plan est rapporté  à un repère orthonormal direct \Ouv~ (unité 
graphique 1~cm).

\medskip

\begin{enumerate}
 \item Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes,
l'équation suivante :
    
\[z^2 -8z\sqrt{3} + 64 = 0.\]

\item On considère les points A et B qui ont pour affixes respectives 
les nombres complexes 

\[a = 4\sqrt{3} - 4\text{i} \qquad \text{et} \qquad b = 4\sqrt{3} + 
4\text{i}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Écrire $a$ et $b$ sous forme exponentielle.
		\item Calculer les distances OA, OB, AB. En déduire la nature du triangle OAB.
	\end{enumerate}
\item On désigne par C le point d'affixe $c = - \sqrt{3} + \text{i}$ et par D son image par la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$.

Déterminer l'affixe $d$ du point D.
\item On appelle G le barycentre des trois points pondérés $(\text{O}~;~- 1)$, (D~;~+ 1),

 (B~;~+ 1).
	\begin{enumerate}
		 \item Justifier l'existence de G et montrer que ce point a
    pour affixe  
    
$g = 4\sqrt{3} + 6\text{i}$.
		\item Placer les points A, B, C, D et G sur une figure.
		\item Montrer que les points C, D et G sont alignés.
		\item Démontrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme.
	\end{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle AGC ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textsl{L'exercice comporte une annexe,  à rendre avec la copie.}

\medskip

A et C sont deux points distincts du plan ; on note $\Gamma$ le cercle de diamètre [AC] et O le centre de $\Gamma$ ; $B$ est un point du cercle $\Gamma$
distinct des points A et C.

Le point $D$ est construit tel que le triangle $B$C$D$ soit équilatéral 
direct ; on a donc
$\left(\vect{B\text{C}},~\vect{BD}\right) = + \dfrac{\pi}{3} \quad  [2\pi]$.

Le point $G$ est le centre de gravité du triangle $B$C$D$.

Les droites (A$B$) et (C$G$) se coupent en un point $M$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points $D,~ G$ et $M$ sur la figure de la    feuille annexe.
\item Montrer que les points O, $D$ et $G$ appartiennent  à la médiatrice du segment [BC] et que le point $G$ est le milieu du segment [C$M$].
\item Déterminer l'angle et le rapport de la similitude directe $s$ de 
centre C transformant $B$ en $M$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette question, le plan est muni d'un repère orthonormé 
direct \Ouv{} choisi de telle sorte que les points A et C aient pour affixes respectives $- 1$ et 1.

Soit $E$ le point construit pour que le triangle AC$E$ soit 
équilatéral direct ; on a donc
$\left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{A}E}\right) = + 
\dfrac{\pi}{3} \quad  [2\pi]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'affixe du point $E$ et construire le point $E$
    sur la feuille annexe.
\item Soit $\sigma$	la similitude directe d'expression complexe $z' = 
\dfrac{3 + \text{i}\sqrt{3}}{4}z + \dfrac{1 - \text{i}\sqrt{3}}{4}$.

Déterminer les éléments caractéristiques de $\sigma$ et en déduire que $\sigma$ est la similitude réciproque de $s$.
\item Montrer que l'image $E'$ du point $E$ par $\sigma$ a pour 
affixe $- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et 
montrer que le point $E'$ appartient au cercle $\Gamma$.
\item On note $\mathcal{C}$ le lieu des points $M$ lorsque le point 
$B$ décrit le cercle $\Gamma$ privé des points A et C.

Montrer que le point $E$ appartient  à $\mathcal{C}$.

Soit O$'$ l'image du point O par la similitude $s$. Démontrer que le 
point O$'$ est le centre de gravité du triangle AC$E$. 

En déduire une construction de $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
    
\textbf{ANNEXE DE L'EXERCICE 2}
    
\vspace{0,5cm}
    
À rendre avec la copie
    
\vspace{0,5cm}
   
\psset{xunit=0.5cm,yunit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0,-0.8)(20,0.4)
\multido{\n=0+2}{11}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,-0.8)(\n,0.4)}
\multido{\n=-0.8+0.2}{7}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(20,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=0.2]{->}(0,0)(0,-0.8)(20,0.4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=0.2](0,0)(0,-0.8)(20,0.4)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.613}{20}{x ln x div}
\uput[d](10,-0.9){Courbe {\blue $\mathcal{C}$}, obtenue  à l'aide d'un 
traceur de courbes}
\end{pspicture}

\vspace{3,5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\SpecialCoor
\rput(3.4;90){\textbf{Annexe spécialité}}
\pscircle(0;0){3}
\uput[r](3;0){C}  \uput[l](3;180){A} \uput[ur](3;40){B}
\psline(2.9;0)(3.1;0) \psline(2.9;180)(3.1;180) \psline(2.9;40)(3.1;40)
\uput[dl](3;-120){$\Gamma$}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{document}