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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small 16  septembre 2011}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole--La Réunion~\decofourright\\16 septembre 2011}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un magasin vend des moteurs électriques tous identiques. Une étude statistique du service après-vente a permis d'établir que la probabilité qu'un moteur tombe en panne pendant la première année d'utilisation est égale à \np{0,12}.
 
Tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ 

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}
 
Une entreprise achète 20 moteurs électriques dans ce magasin.
 
On admet que le nombre de moteurs vendus dans ce magasin est suffisamment important pour que l'achat de 20 moteurs soit assimilé à 20 tirages indépendants avec remise.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que deux moteurs exactement tombent en panne durant la première année d'utilisation ? 
\item Quelle est la probabilité qu'au moins un des moteurs tombe en panne au cours de la première année d'utilisation ? 
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

On admet que la durée de vie sans panne, exprimée en années, de chaque moteur est une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda$ est un réel strictement positif.
 
On rappelle que pour tout réel positif $t,\:\: p(Y \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t~ \lambda\text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$.

\medskip
 
Dans les questions 1, 2, 3, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Exprimer $p(Y \leqslant 1)$ en fonction de $\lambda$. En déduire la valeur de $\lambda$.
 
Pour la suite de l'exercice, on prendra $\lambda = \np{0,128}$ .

\item Quelle est la probabilité qu'un moteur dure plus de 3 ans ? 
\item Quelle est la probabilité qu'un moteur dure plus de 4 ans sachant qu'il a duré plus d'un an ? 
\item On admet que la durée de vie moyenne $d_{m}$ de ces moteurs est égale à $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} F(t)$ où $F$ est la fonction définie sur 
l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par $F(t) = \displaystyle\int_{0}^t~ \lambda x \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $F(t)$ en fonction de $t$. 
		\item En déduire la valeur de $d_{m}$. On arrondira à $10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\begin{center}\textbf{Partie A - Étude du signe d'une fonction}\end{center}
 
On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = x^2 + 4\ln x.\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le tableau de variation de la fonction $f$ en précisant les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution $\alpha$ et une seule dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item En déduire le signe de $f(x)$ selon les valeurs du réel strictement positif $x$. 
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B - Une valeur approchée du réel \boldmath$\alpha$ \unboldmath défini dans la partie A } \end{center}

Sur le graphique fourni ci-dessous, on a tracé une partie de la courbe représentative $(\mathcal{C})$ de la fonction $g$ définie sur $\R$ par : 

\[g(x) = \text{e}^{- \frac{1}{4}x^2}\] 

On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par : 	

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0}&=&0,5\\
u_{n+1}&=&g\left(u_{n}\right) \quad \text{pour tout }\:n \in \N.
\end{array} \right.\] 

\begin{enumerate}
\item Vérifier que $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $g(x) = x$. 
\item Au moyen de la courbe $(\mathcal{C})$ et de la droite d'équation $y = x$, représenter les termes $u_{1},\:u_{2}$ et $u_{3}$ de la suite $\left(u_{n}\right)$ sur l'axe des abscisses.
 
Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
\item On admet que pour tout entier naturel $n,\quad  u_{2n} \leqslant \alpha \leqslant  u_{2n+1}$.
 
En utilisant la calculatrice, déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel les trois premières décimales de $u_{n}$ et $u_{n+1}$ sont identiques. 

En déduire que $0,838$ est une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près. 

\medskip

\psset{unit=5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-0.4,-0.2)(1.7,1.3)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,subgriddiv=5](-0.4,-0.2)(1.7,1.3)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.2,Dy=0.2,comma=true]{->}(0,0)(-0.39,-0.19)(1.7,1.3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.7}{1 2.71828 0.25 x dup mul mul exp div}
\psline(-0.2,-0.2)(1.2,1.2)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](-0.35,0.95){$(\blue\mathcal{C})$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie C - Un problème de distance} \end{center}
 
On appelle $(\Gamma)$ la courbe représentative, dans un repère orthonormal, de la fonction $\varphi$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[\varphi(x) = 2\ln x.\]
 
L'objectif de cette partie est de démontrer que parmi les points de la courbe $(\Gamma)$, il y en a un et un seul qui est plus proche de l'origine O que tous les autres.
 
\begin{enumerate}
\item Soient $M$ un point de la courbe $(\Gamma)$ et $x$ son abscisse. Exprimer O$M$ en fonction de $x$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 
		
\[h(x) = x^2 + 4(\ln x)^2.\]

Étudier les variations de la fonction $h$. On pourra utiliser la partie A. 
		\item En déduire qu'il existe un unique point A de la courbe $(\Gamma)$ tel que pour tout point $M$ de $(\Gamma)$, distinct de A, on ait O$M >$ OA.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que la droite (OA) est perpendiculaire à la tangente T$_{\text{A}}$ à la courbe $(\Gamma)$ au point A.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip  

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. 

\begin{center}\textbf{Partie A - Restitution organisée de connaissances} \end{center}
 
On désigne par $a,\: b,\: c,\: d$ quatre réels tels que le vecteur $\vect{n} = a\vect{\imath} + b \vect{\jmath} + c\vect{k}$ soit différent du vecteur nul. On appelle $P$ le plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$.
 
Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan $P$, c'est-à-dire que le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à tout vecteur $\vect{\text{AB}}$ où A et B sont deux points quelconques du plan $P$.

 
\begin{center}\textbf{Partie B - Questionnaire à choix multiples }  \end{center}

\emph{Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie ainsi que la justification de ce choix.}
 
\emph{Il est attribué $1$ point si la réponse est exacte et justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.}

\medskip
 
On désigne par $P$ le plan d'équation cartésienne $2x - y + 3z = 0$ et par A et B les deux points du plan $P$ de coordonnées respectives (1~;~2~;~0) et (0~;~3~;~1).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soient C, D, E les points de coordonnées respectives $(1~;~1~;~-1)$, $(-1~;~4~;~2)$, $(1~;~5~;~1)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Les points A, B, C définissent le plan $P$. 
		\item Les points A, B, D définissent le plan $P$. 
		\item Les points A, B, E définissent le plan $P$. 
	\end{enumerate}
\item La droite $D$ est définie par la représentation paramétrique : 

$\left\{\begin{array}{l c r} 
x &=&1 - t\\ 
y &=&\phantom{+}t, 	\\ 
z &=& 2 + t
\end{array}\right. \quad t \in \R.$ 
	\begin{enumerate}
		\item La droite $D$ est perpendiculaire au plan $P$. 
		\item La droite $D$ est strictement parallèle au plan $P$. 
		\item La droite $D$ est incluse dans le plan $P$.
	\end{enumerate}
\item Soit $S$ la sphère de centre $\Omega$, de coordonnées (2~;~5~;~1), et de rayon $\dfrac{1}{2}$. L'ensemble des points communs à la sphère $S $
et au plan $P$ est : 
	\begin{enumerate}
		\item vide, 
		\item constitué d'un seul point, 
		\item un cercle.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip
  
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.
 
On désigne par A le point d'affixe i et par $f$ l'application du plan dans lui-même qui à tout point $M$ d'affixe $z$, distincte de i, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = \dfrac{z - \text{i}}{\overline{z} + \text{i}}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer l'affixe du point B$'$, image du point B d'affixe $2 - \text{i}$ par l'application $f$. 

Placer les points B et B$'$ sur une figure que l'on fera sur la copie. 
\item Démontrer que l'application $f$ n'admet pas de point invariant. On rappelle qu'un point invariant est un point confondu avec son image. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout nombre complexe $z,\:\: \overline{z - \text{i}} = \overline{z} + \text{i}$. 
		\item Démontrer que $\text{O}M' = 1$ et interpréter géométriquement ce résultat. 
		\item Démontrer que pour tout point $M$ distinct de A, 

\[\left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M'}\right) = 2 \left(\vect{u}~;~\vect{\text{A}M}\right) + 2k\pi \:\: \text{où}\: k\: \text{est un entier relatif.}\]
 
		\item En déduire une méthode de construction de l'image $M'$ d'un point quelconque $M $ distinct de A. 
	\end{enumerate}
\item Soit $(d)$ la droite passant par le point A et dont un vecteur directeur est le vecteur $\vect{w}$ d'affixe $\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner la droite $(d)$. 
		\item Déterminer l'image par l'application $f$ de la droite $(d)$ privée du point A.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Ouv.

On note A et B les points de coordonnées respectives $(1~;~0)$ et $(6~;~1)$.
 
Pour tout point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$, on note $M'$ l'image du point $M$ par la symétrie orthogonale d'axe (AB) et $\left(x'~;~y'\right)$ ses coordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'existence de deux nombres complexes $a$ et $b$ tels que, pour tout point $M$ d'affixe $z$, l'affixe $z'$ du point $M'$ est donnée par 

\[z' = a \overline{z} + b.\]
  
		\item En utilisant les points A et B, démontrer que $\left\{\begin{array}{l c l}
1&=& a+b\\ 
6 + \text{i}&=& a(6 - \text{i}) + b
\end{array}\right.$ 

		\item En déduire que, pour tout nombre complexe $z$ : 

\[z' = \dfrac{1}{13}(12 + 5\text{i}) \overline{z} + \dfrac{1}{13}(1 - 5\text{i}).\] 

		\item Établir que, pour tout point $M$ de coordonnées $(x~;~y)$, les coordonnées $\left(x'~;~y'\right)$ du point $M'$ sont telles que : 

\[x' = \dfrac{1}{13}(12x + 5y + 1)\quad  \text{et} \quad  y' = \dfrac{1}{13}(5x - 12y - 5).\]
 
		\end{enumerate} 
\item On désigne par $\mathcal{E}$ l'ensemble des points $M$ dont les coordonnées $(x~;~y)$ sont des entiers relatifs et tels que le point $M'$ associé appartienne à l'axe des abscisses. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $M(x~;~y)$ appartient à $\mathcal{E}$ si et seulement si $5(x -1) = 12y$. 
		\item En déduire que $\mathcal{E}$ est l'ensemble des points de coordonnées $(1 + 12k~;~ 5k)$ où $k$ est un entier relatif.
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, on suppose que les coordonnées de $M$ sont des entiers relatifs et que l'abscisse de $M'$ est un entier relatif. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $x \equiv  5y + 1\quad  [13]$. 
		\item En déduire que $5x -12y - 5 \equiv 0\quad [13]$ et que l'ordonnée de $M'$ est un entier relatif.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Déterminer les points $M$ de la droite d'équation $x = 2$ tels que les coordonnées du point $M'$ soient des entiers relatifs.
 
On pourra montrer que l'ordonnée $y$ d'un tel point est un entier relatif et utiliser des congruences modulo 13. 
\end{enumerate}
\end{document}