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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}\,; \vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}\,; \vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}\,; \vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 20 juin 2013}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 20 juin 2013~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35\,\% des plants proviennent de l'horticulteur H$_{1}$, 25\,\% de l'horticulteur H$_{2}$ et le reste de l'horticulteur H$_{3}$. Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres : des conifères et des arbres à feuilles.
 
La livraison de l'horticulteur H$_{1}$ comporte 80\,\% de conifères alors que celle de l'horticulteur H$_{2}$ n'en comporte que 50\,\% et celle de l'horticulteur H$_{3}$ seulement 30\,\%.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.

On envisage les événements suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item $H_{1}$ : \og l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{1}$ \fg,
\item $H_{2}$ : \og l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{2}$ \fg,
\item $H_{3}$ : \og l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H$_{3}$ \fg,
\item $C$\phantom{$_{3}$} : \og l'arbre choisi est un conifère \fg,
\item $F$\phantom{$_{3}$} : \og l'arbre choisi est un arbre feuillu \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
		\item Calculer la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté chez l'horticulteur H$_{3}$.
		\item Justifier que la probabilité de l'évènement $C$ est égale à $0,525$.
		\item L'arbre choisi est un conifère.

Quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l'horticulteur H$_1$ ? On arrondira à $10^{-3}$.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard un échantillon de $10$~arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de $10$~arbres dans le stock.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale\index{loi binomiale} dont on précisera les paramètres.
		\item Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement $5$~conifères?

On arrondira à $10^{-3}$.
		\item Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ?

On arrondira à $10^{-3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $] 0~;~+ \infty[$. 

\begin{center}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-2)(9,2.5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(-1.5,-2)(9,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(1,0)(1,2)
\psline(-1.5,2)(9,2)
\uput[dr](1,0){A}\uput[u](1,2){B}\uput[ul](0,2){C}\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](8,0.8){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.278}{9}{x ln 2 mul 2 add x div}
\end{pspicture}
\end{center}

On dispose des informations suivantes :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1\,, 0), (1\,, 2), (0\,, 2);
\item la courbe $\mathcal{C}$ passe par le point B et la droite (BC) est tangente à $\mathcal{C}$ en B;
\item il existe deux réels positifs $a$ et $b$ tels que pour tout réel strictement positif $x$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\[f(x) = \dfrac{a+ b\ln x}{x}.\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le graphique, donner les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$. 
 
		\item Vérifier que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) = \dfrac{(b - a) - b \ln x}{x^2}$. 
		\item En déduire les réels $a$ et $b$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0\,, +\infty[,\: f'(x)$ a le même signe que $- \ln x$.
		\item Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$. On pourra remarquer que pour tout réel  
$x$ strictement positif, $f(x) = \dfrac{2}{x} + 2\;\dfrac{\ln x}{x}$.
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]0\,, 1]$. 
		\item Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il existe un unique réel $\beta$ de l'intervalle $]1\,, + \infty]$ tel que $f(\beta) = 1$.

Déterminer l'entier $n$ tel que $n < \beta < n + 1$.
	\end{enumerate}
\item On donne l'algorithme\index{algorithme} ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline 
Variables :& $a, b$ et $m$ sont des nombres réels.\\
Initialisation :& Affecter à $a$ la valeur $0$.\\
	&Affecter à $b$ la valeur 1.\\
Traitement :& Tant que $b - a > 0,1$\\
&\begin{tabular}{l|l}
~~& Affecter à $m$ la valeur $\dfrac{1}{2}(a + b)$.\\
~~& Si $f(m) < 1$ alors Affecter à $a$ la valeur $m$.\\
~~&Sinon Affecter à $b$ la valeur $m$.\\
~~&Fin de Si.\\
\end{tabular}\\
&Fin de Tant que.\\
Sortie :&Afficher $a$.\\
& Afficher $b$.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&étape 1 &étape 2 &étape 3 &étape 4 &étape 5 \\ \hline
$a$&0&&&&\\ \hline 
$b$&1&&&&\\ \hline 
$b - a$&&&&&\\ \hline 
$m$&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ?
		\item Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de $\beta$ d'amplitude $10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\item Le but de cette question est de démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ partage le rectangle OABC en deux domaines d'aires égales.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que cela revient à démontrer que $\displaystyle\int_{\frac{1}{\text{e}}}^1 f(x)\:\text{d}x = 1$.
		\item En remarquant que l'expression de $f(x)$ peut s'écrire $\dfrac{2}{x} + 2 \times \dfrac{1}{x}  \times  \ln x$, terminer la démonstration.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.

Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.\index{complexes}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Proposition 1 :} Dans le plan muni d'un repère orthonormé, l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie l'égalité $|z - \text{i}| = |z + 1|$ est une droite.

\medskip

\item \textbf{Proposition 2 :} Le nombre complexe $\left(1 + \text{i}\sqrt{3}\right)^4$ est un nombre réel. 

\medskip

\item Soit ABCDEFGH un cube.\\

\parbox{0.5\linewidth}{ 
\textbf{Proposition 3 :} Les droites (EC) et (BG) sont orthogonales.} \hfill  
\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}\begin{pspicture}(5.6,5.6)
\psframe(0.6,0.6)(3.7,3.7)%ABFE
\psline(3.7,0.6)(5,2.1)(5,5.2)(3.7,3.7)%BCGF
\psline(5,5.2)(1.9,5.2)(0.6,3.7)%GHE
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt](0.6,0.6)(1.9,2.1)(5,2.1)%ADC
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.4pt](1.9,2.1)(1.9,5.2)%DH
\uput[dl](0.6,0.6){A} \uput[dr](3.7,0.6){B} \uput[r](5,2.1){C}
\uput[l](1.7,2.1){D} \uput[l](0.6,3.7){E} \uput[r](3.7,3.7){F}
\uput[ur](5,5.2){G} \uput[ul](1.9,5.2){H} 
\end{pspicture}}

\medskip

\item L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. Soit le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne

$x + y + 3z + 4 = 0$. On note S le point de coordonnées $(1\,, -2\,, - 2)$.

\textbf{Proposition 4 :} La droite qui passe par S et qui est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$ a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l @{\;=\;} l}
x&\phantom{-}2 + t\\
y& - 1 + t\\
z&\phantom{-}1 + 3t
\end{array}\right.$, $t \in \textbf{R}$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Soit la suite\index{suite} numérique $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\textbf{N}$ par : 

\[u_{0} = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } \:n, \:u_{n+1} = \dfrac{2}{3}u_{n} + \dfrac{1}{3}n + 1.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ et $u_{4}$. On pourra en donner des valeurs approchées à $10^{- 2}$ près.
		\item Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$,

\[u_{n} \leqslant n + 3.\]
 
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$,
 
\[u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{1}{3} \left(n + 3 - u_{n}\right).\]
 
		\item En déduire une validation de la conjecture précédente.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $\left(v_{n}\right)$ la suite\index{suite} définie sur $\textbf{N}$ par $v_{n} = u_{n} - n$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$,
		
		\[u_{n} = 2\left(\dfrac{2}{3} \right)^n + n\]

		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate} 	
\item Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose:
 
\[S_{n} = \sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n}\quad \text{et}
\quad T_{n} = \dfrac{S_{n}}{n^2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(T_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

On étudie la population d'une région imaginaire. Le 1\up{er} janvier 2013, cette région comptait \np{250000}~habitants dont 70\,\% résidaient à la campagne et 30\,\% en ville.

L'examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à choisir de modéliser l'évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] l'effectif de la population est globalement constant,
\item[$\bullet~~$] chaque année, 5\,\% de ceux qui résident en ville décident d'aller s'installer à la campagne et 1\,\% de ceux qui résident à la campagne choisissent d'aller habiter en ville.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $v_{n}$ le nombre d'habitants de cette région qui résident en ville au 1\up{er}~janvier de l'année $(2013 + n)$ et $c_{n}$ le nombre de ceux qui habitent à la campagne à la même date.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_{n+1}$ et $c_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$ et $c_{n}$.
\item Soit la matrice\index{matrice} $A = \begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05& 0,99\end{pmatrix}$.

On pose $X = \begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ où $a,\: b$ sont deux réels fixés et $Y = AX$.

Déterminer, en fonction de $a$ et $b$, les réels $c$ et $d$ tels que $Y = \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$.
\end{enumerate}

Les résultats précédents permettent d'écrire que pour tout entier naturel $n$,

$X_{n+1} = AX_{n}$ où $X_{n} = \begin{pmatrix}v_{n}\\c_{n}\end{pmatrix}$. On peut donc en déduire que pour tout entier naturel $n,\: X_{n} = A^n X_{0}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item[\textbf{3.}] Soient les matrices $P = \begin{pmatrix}1&- 1\\5&1\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}1&1\\- 5&1\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $PQ$ et $QP$. En déduire la matrice $P^{-1}$ en fonction de $Q$.
		\item Vérifier que la matrice\index{matrice} $P^{-1}AP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera. 
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$, $A^n = P D^n P^{- 1}$.
	\end{enumerate}
\item[\textbf{4.}] Les résultats des questions précédentes permettent d'établir que
 
\[v_{n} = \dfrac{1}{6}\left(1 + 5 \times  0,94^n\right)v_{0} + \dfrac{1}{6}\left(1 - 0,94^n\right)c_{0}.\]

Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à long terme ?
\end{enumerate}
\end{document}